“分類假設法”解決相對問題

■貴州省桐梓縣第二高級中學 侯光喜

“分類假設法”解決相對問題

■貴州省桐梓縣第二高級中學 侯光喜

綜觀近幾年的高考全國理綜卷我們可以發現,2013年、2015年、2017年均有滑塊—滑板模型的能力考查題出現。在此類問題中,二者的速度相同一定是個臨界點,且速度相同后兩物體的相對運動只有三種可能,即滑塊相對滑板向左滑,滑塊相對滑板向右滑,或二者相對靜止。求解這類問題,我們可以采用“分類假設法”進行分析討論。

第一類:滑塊以一定的初速度滑上靜止的滑板

如圖1所示,質量為m的滑塊以初速度v滑上質量為M的靜止長木板,滑塊與長木板間的動摩擦因數為μ1,長木板與水平地面間的動摩擦因數為μ2,長木板足夠長。

圖1

分析:開始時滑塊受到長木板對它的摩擦力f=μ1mg,長木板受到地面對它的摩擦力為f',且最大靜摩擦力f'max=μ2g(M+m)。若f＜f'max,則長木板靜止不動,滑塊做減速運動,直至停止;若f＞f'max,則滑塊做減速,長木板做初速度為零的加速運動,此后一定有二者速度相同時,當二者速度相同后兩物體的運動只有三種情況。運用“分類假設法”逐一討論如下:(1)假設滑塊相對長木板向右滑,根據受力分析可以得出滑塊的速度小于長木板的速度,即滑塊相對長木板向左滑的結論,則假設不成立;(2)假設滑塊相對長木板向左滑,根據受力分析可以得出滑塊的速度大于長木板的速度,即滑塊相對長木板向右滑的結論,則假設不成立;(3)根據以上分析可知,當二者速度相同后,滑塊只能相對長木板靜止,二者一起做減速運動直到停止。

例1一質量m=2kg的物塊以水平初速度v0=9m/s滑上置于水平桌面上的長木板。長木板的質量M=1kg,長度l=8m,物塊與長木板間的動摩擦因數μ1=0.4,長木板與桌面間的動摩擦因數μ2=0.1,取重力加速度g=10m/s2。在整個運動過程中,物塊與長木板間產生的摩擦熱為多少?

解:分別對物塊與長木板進行受力分析,如圖2所示。

圖2

開始時,物塊以加速度大小am=μ1g=4m/s2做減速運動,長木板以加速度大小做加速運動。假設二者達到相同速度v,所需時間為t,則v=v0-amt=aMt,解得t=1s,v=5m/s。在這一過程中,物塊相對長木板的位移說明物塊在二者速度相同前沒有從長木板上掉下來,此后二者將相對靜止一起減速運動直到停止。因此在整個過程中,物塊與長木板間產生的摩擦熱Q=μ1mgd=36J。

第二類:在運動的滑板上無初速度地釋放滑塊

如圖3所示,一質量為M的長木板向右運動,當其速度為v時,無初速度地釋放一質量為m的滑塊到長木板右端,滑塊與長木板間的動摩擦因數為μ1,長木板與水平地面間的動摩擦因數為μ2,長木板足夠長。

圖3

分析:當滑塊放到長木板上后,滑塊做初速度為0,加速度大小a1=μ1g的加速運動,長木板做加速度大小減速運動直到二者速度相同。當二者速度相同后,兩物體的相對運動仍然只有三種可能,同樣運用“分類假設法”逐一討論如下:(1)假設滑塊相對長木板向左滑,根據受力分析可以得出滑塊的速度大于長木板的速度,即滑塊相對長木板向右滑的結論,則假設不成立;(2)假設滑塊相對長木板向右滑,則長木板的受力可能為μ2(m+M)g＜μ1mg,μ2(m+M)g＞μ1mg,μ2(m+M)g=μ1mg,其中僅當μ1＜μ2時,滑塊相對長木板向右滑的假設成立;(3)根據以上分析可知,當二者速度相同后,若μ1≥μ2,則滑塊相對長木板靜止一起做減速運動直到停止。

例2(2017年高考全國理綜Ⅲ卷)如圖4所示,兩個滑塊A和B的質量分別為mA=1kg和mB=5kg,放在靜止于水平地面上的木板的兩端,兩者與木板間的動摩擦因數均為μ1=0.5。木板的質量m=4kg,與地面間的動摩擦因數μ2=0.1。某時刻A、B兩滑塊開始相向運動,初速度大小均為v0=3m/s。兩滑塊相遇時,滑塊A與木板恰好相對靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,取g=10m/s2。求:

圖4

(1)滑塊B與木板相對靜止時,木板的速度。

(2)A、B兩滑塊開始運動時,兩者之間的距離。

解:(1)分別對A、B兩滑塊和木板進行受力分析,如圖5所示。

圖5

滑塊A以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aA=5m/s2向右做減速運動,滑塊B以初速度大小v0=3m/s、加速度大小aB=5m/s2向左做減速運動,木板以加速度大小am=2.5m/s2向右從靜止開始做加速運動。設從兩滑塊開始運動到滑塊B與木板相對靜止所需的時間為t,滑塊B與木板相對靜止時的速度為v,則v=v0-aAt=amt,解得t=0.4s,v=1m/s。

(2)當滑塊B與木板的速度相同后,滑塊B與木板的相對運動分為三種情況。

a.假設滑塊B相對木板向右滑,受力分析如圖5所示。滑塊B向右做減速運動,木板向右做加速運動,與假設矛盾,故假設不成立。

b.假設滑塊B相對木板向左滑,受力分析如圖6所示。滑塊B向右做加速運動,木板向右做減速運動,與假設矛盾,故假設不成立。

圖6

c.因為上述兩種情況不成立,所以滑塊B只能相對木板靜止。受力分析如圖7所示。

圖7

滑塊A向右做減速運動直到速度為0后反向做加速運動,滑塊B與木板一起向右做減速運動。設從滑塊B與木板的速度相同到滑塊A的速度減小為0所需時間為t',從滑塊B與木板的速度相同到滑塊A與木板恰好相對靜止所需時間為t″,此時滑塊A的速度為v',則0.2s,v'=v-at″=-1+aAt″,解得v'=0.5m/s,t″=0.3s。作出滑塊A與滑塊B的v-t圖像如圖8所示。因此兩滑塊開始運動時,兩者之間的距離

圖8

(責任編輯 張 巧)