淺談數形結合思想方法

張建榮

(重慶市墊江縣坪山小學校 重慶 408317)

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淺談數形結合思想方法

張建榮

(重慶市墊江縣坪山小學校 重慶 408317)

數形結合由來已久，早在數學被抽象、分離為一門學科之前，人們在生活中度量長度、面積和體積時，就已經把數和形結合起來了。在宋元時期，我國古代數學家系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關系描述成代數關系。17世紀上半葉，法國數學家笛卡爾通過坐標系建立了數與形之間的聯系，創立了解析幾何學。

數與形是貫穿整個中學數學教材的兩條主線,數與形的結合更是解題的重要方法。恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”它包含“以形助數”和“以數助形”兩個側面。

下面主要從“以形助數”這個側面在解題中的應用來進行研究，“以形助數”是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，借助圖形的生動和直觀來闡明數與數之間的聯系，以形為手段，數為目的。使抽象思維與形象思維結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有利于中學數學教學的發展。

運用數形結合方法研究解決有理數和方程、函數、不等式、三角函數、幾何等數學問題，有利于溝通代數、三角與幾何的聯系，具有重要的意義。

1 數學課程中蘊涵著數形結合思想方法

數形結合思想方法是現行數學課程所滲透的重要思想方法之一。教材中的內容可以很好地培養和發展學生的數形結合思想，加強對現實生活的認識與理解，提高學生解決數學問題的能力。

在有理數的內容里，數軸是學生理解“相反意義的量”、“正數與負數”、“絕對值”等一些基本概念的數形結合的工具。數軸上的“點”與“數”對應的數形關系使“直線上的點”與“有理數”兩個截然不同的概念得到了完美的統一，為我們解決有關數的問題提供了新的空間。一元一次方程的解可以用坐標系中直線和x軸的交點表示，一元二次方程的解可以用拋物線和x軸交點來討論，這些方程的解與圖象的點的數形結合思想方法在解題中有著明顯的優勢，關于高中數學課程中的數形結合思想的內容更是處處可見。當然教材并沒有明確指出來，但是就這樣才能潛移默化地影響學生的思維，無聲無息地滲透到學生的大腦，與已有的思想方法融為一體，建立數形結合思想。教材中的數形結合思想方法的滲透對發展學生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導性的作用，可以從思想層面上指引思維進行正確的分析、比較、合理聯想，逐步形成正確的解題觀；教材中的數形結合思想方法的滲透還可以在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，迅速建立新舊概念之間的聯系，提高數學認識能力，并由此提升已有的對現實世界的認識能力，從而提高數學素養，不斷完善自己。

2 數形結合思想方法的基本思路

數形結合思想方法的基本思路是，一方面根據數的結構特征，構造出與之相適用的集合圖形后圖象，然后利用圖形的基本性質和直觀明了的特點去處理解答數的問題；另一方面也可以依據幾何圖形的有關信息轉化為相應的代數關系，利用代數關系的確定性和易于變形處理的特點討論幾何問題。下面就由數化形這個思想方法進行討論。

在平時的課堂教學中，充分利用教材內容滲透數形結合思想，優化解題思路，提高數學創新意識，發展解題能力。數形結合思想不是一朝一夕就能領悟的，要在平時教學、練習中加強培養，鼓勵自覺運用數與形的關系，課堂上加深對數學概念的幾何意義的理解和學習，訓練啟發學生用數形結合思想指導自已的解題行為。要從具體的數學學習中提煉總結，形成數形結合思想，然后繼續研究并應用于學習，逐步使這種思想方法具有一般意義和相對穩定的特征，最終成為學生思想和能力的一部分。

在數形結合思想方法的教學滲透中，有兩個值得重視的問題。第一要用理性思維看待數形結合思想方法。任何一種思想方法都不是萬能的，數形結合思想方法同樣也不是萬能的，學習中千萬不可牽強附會，認為只要畫個幾何圖形就是數形結合思想方法的體現。我們必須要求學生進入更高的理性思維階段，充分運用辨證思維區分哪些適合數形結合思想方法，哪些不是數形結合思想方法，這樣辨證的思考問題會更有利于數形結合思想的形成。第二是培養數形結合思想要有扎實的基礎知識，真正掌握數形結合思想方法的精髓必須有雄厚的基礎知識和熟練的基本技巧，那種只依賴于幾個典型習題的理解就認為可以領會數形結合思想方法的做法，只能是一種舍本逐末的短視之舉。為此要認真上好每一堂課，深入學習教材的系統知識，掌握各種函數的圖象特點，理解各種幾何圖形的性質，只有這樣數形結合思想方法才能應運而生，才能不斷深化提高。

3 數形結合思想解題的常用思維方法

“以形助數”的思想方法是數形結合思想的常用思維方法，它是根據題設條件通過數軸或坐標系的建立，引入數量化靜為動，以動求解正確繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數量關系，表示出數與式的本質特征。然后根據“數”與“形”既對立，又統一的特性，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀及揭示隱含的數量關系。

總之，數形結合思想是中學數學思想中最基本，最重要的一種，是提高學生數學素養不可缺少的內容之一。中學數學就思想方法而言主要有方程和函數思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉換思想。數形結合思想是思想觀。方法觀中主要的一種。數學的進步與活力，總是依賴于具體對抽象的幫助，數形結合建立在數與形之間對應的基礎上，而數軸和直角坐標系的建立使這種對應成為現實。引進坐標，建立數〔或數對〕與點、方程與曲線的聯系，就可用幾何形象來表現代數問題，用代數運算代替幾何推理，使代數性質圖示化，使抽象問題變得直觀易懂。

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1672-5832(2017)07-0087-01