融合學科內(nèi)外知識的計算機圖形學教學研究

馬燕，張玉萍，李順寶，李魯群，張波

摘要：由于計算機圖形學課程算法抽象，學生掌握知識困難，教學效果不理想，文章從理論與實驗教學兩方面分析了如何融合學科內(nèi)外知識，提出在理論教學過程中，構(gòu)建“樹型”知識結(jié)構(gòu)，將學科內(nèi)外知識加以貫穿與融合。本文提出在實驗教學中，按實驗?zāi)康摹⒁蠛碗y度，將其分為基礎(chǔ)、綜合和拓展三類實驗，通過不同類型的實驗，進一步融合各學科的內(nèi)外知識，鼓勵學生在掌握基礎(chǔ)理論的同時，大膽創(chuàng)新，深入實踐，幫助學生建立起更為全面、寬廣的知識體系。

關(guān)鍵詞：計算機圖形學；樹型知識結(jié)構(gòu)；知識融合

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）45-0166-04

一、引言

什么是計算機圖形學？在維基百科上的定義是利用計算機生成圖形和動畫[1]。這樣一個看似簡單的定義，真正展開的話，其內(nèi)涵極其豐富。僅就圖形而言，就包括各種形式的圖形，如二維的、三維的、直線的、曲線的、有陰影的、有光照的等。討論其中最簡單的二維圖形，也有多種情況，有線框圖、彩色圖、灰度圖，還可以對二維圖形加上裁剪、仿射變換、投影等效果。這些不同形式的圖形如果在屏幕上顯示的話，需要學生掌握大量的相關(guān)算法。如果在教學中，按照書中的算法照本宣讀，學生不容易理解，掌握知識困難，這勢必會影響學生學習的效果，甚至會使學生對課程產(chǎn)生厭煩心理，最終造成教學效果不理想。為了提高學生學習的積極性與主動性，需要對計算機圖形學中的各個知識點做一一分析，理清各知識點間的內(nèi)在關(guān)系，從向?qū)W生灌輸知識逐步向培養(yǎng)學生的能力轉(zhuǎn)變[2]。

計算機圖形學是一門綜合性的學科，從其基本理論來講，它以數(shù)學、物理等學科為支撐，又與數(shù)字圖像處理、模式識別和計算幾何等學科息息相關(guān)，互為支撐。從學生需掌握的操作技能來講，除了要求學生具備較強的編程能力之外，還需要學生具有一定的數(shù)學建模思想[3]。對于這樣一門屬于交叉學科的課程，如果在理論和實驗教學過程中，能將本學科內(nèi)有關(guān)的知識前后貫穿與融合，同時又打破學科壁壘，將其他學科的知識也做到有機融合，這對于學生理解與掌握知識將大有裨益，更能夠激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，使其在更高層次的交叉學科領(lǐng)域有所作為[4，5]。

二、融合學科內(nèi)外知識，構(gòu)建“樹型”知識結(jié)構(gòu)

計算機圖形學教材的主要任務(wù)是把圖形學的基本原理與算法交代清楚，而這些算法的來龍去脈、支撐理論等這些相關(guān)內(nèi)容則需要教師在授課前做仔細分析。我們可以按實際情況，分別采用金字塔結(jié)構(gòu)、線性結(jié)構(gòu)、“樹型”結(jié)構(gòu)和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)來表示知識點之間的關(guān)系[6]。

圖1所示是以Bezier曲線知識點為例構(gòu)建的“樹型”知識結(jié)構(gòu)。下面以此為例，說明在進行理論教學的過程中，如何融合學科內(nèi)外知識，激發(fā)學生學習的興趣，提高課堂效果與效率。

1. 0層。0層對應(yīng)根結(jié)點曲線，從曲線與直線、曲面前后銜接關(guān)系來看，我們可以將其簡化為一個線性結(jié)構(gòu)：直線→曲線→曲面，直線的生成方法是生成曲線的基礎(chǔ)，兩者的生成原理有相通的地方。比如，Bresenham直線生成算法是一種最佳逼近的過程，而Bezier曲線或B樣條曲線生成算法也是一種最佳逼近的過程。教師如果能夠指出這兩個知識點的共通之處，對于學生掌握較難理解的曲線生成方法就可以起到事半功倍的作用，同時又進一步鞏固了直線知識點。曲線又可以作為后續(xù)課程中曲面的背景知識，通過介紹曲線的應(yīng)用為曲面知識點的引入作好鋪墊。

2. 1層。1層包括B樣條曲線和Bezier曲線子結(jié)點。對于這種呈并列關(guān)系的知識點，可以通過概念平移與對比，在教學中分析B樣條曲線和Bezier曲線兩個知識點的異同，并加以比照分析。例如，圖2中列出三次Bezier曲線和B樣條曲線的矩陣表達式，兩個4行4列矩陣中對應(yīng)位置不相同的數(shù)字用黑框標出。正是由于這兩條曲線的矩陣表達式的這種細微差別，造成最終生成曲線的不同，并使其特征也各不相同。作了這種對比分析后，有利于學生對B樣條曲和Bezier曲線的深入理解。

3. 2—4層。從1層中的Bezier曲線一直到4層中的所有結(jié)點構(gòu)成了曲線結(jié)點的一棵子樹。2層中主要涵蓋了Bezier曲線中包括的知識點：常用生成算法、De Castaljau算法以及Bezier曲線特點，這些知識點又以3層和4層中的學科外知識作為支撐。常用的Bezier曲線的生成算法需要用到3層中的Bernstein基函數(shù)，而基函數(shù)的概念來自于工程數(shù)學，Bezier曲線又可以表示為矩陣形式，而矩陣的概念又源于線性代數(shù)。在理清了不同學科間知識點的關(guān)系后，在講授Bezier曲線的生成算法時，可以從基函數(shù)的特點引入，進而介紹Bernstein基函數(shù)，最后闡述Bezier曲線的常用生成算法，將不同學科間的知識進行有機地融合，逐步深入到所要闡明的Bezier曲線生成算法，這可以使得教學變得富有條理性與邏輯性，同時也能使學生體會到，每一門學科不是孤立存在的，不同學科之間存在相互關(guān)系。

作為與常用Bezier曲線生成算法呈并列關(guān)系的De Castaljau算法，其理論基礎(chǔ)來自于計算數(shù)學中的遞推法，而遞推法是組合數(shù)學中的解題方法之一。在教學過程中，可以采用啟發(fā)式教學法，先通過幾個常見的遞推例子作為引子，比如數(shù)列、秦九韶算法等，啟發(fā)學生在生成Bezier曲線這類復(fù)雜問題時，不妨先從最簡單的情況入手，如圖3所示，可以按下面步驟由淺入深地解釋利用De Castaljau算法找到曲線的中點位置。

第一步：在2個控制點P0與P1的情況下，生成的Bezier曲線就是一條直線，中點位置就是直線P0P1的中點。第二步：在第一步2個控制點的基礎(chǔ)上，增加第3個控制點P2，先采用第一步的方法，分別求出直線P0P1與P1P2的中點P01與P11，然后遞推求出直線P01P11的中點P02。第三步：在第二步3個控制點的基礎(chǔ)上，增加第4個控制點P2，先采用類似于第一步和第二步的方法，分別求出直線P0P1、P1P2與P2P3的中點P01、P11與P21，接著遞推求出直線P01P11與P11P21的中點P02與P12，最后通過遞推求出直線P02與P12的中點P03。endprint

在這個求解曲線中點的例子中，從由2個控制點構(gòu)成的直線到由3個控制點構(gòu)成的Bezier曲線，一直到4個控制點構(gòu)成的Bezier曲線，不斷拓展，層層深入，將直線與曲線這2個知識點聯(lián)系起來，可以讓學生深入掌握曲線生成的一般方法，從而達到舉一反三、活學活用的教學目的。

三、合理設(shè)計多種類型實驗，強調(diào)不同學科知識的融合

在計算機圖形學教學過程中，既要注重其理論性，同時又要強調(diào)實踐性。對于課程中抽象的算法，如果沒有大量的實踐去練習的話，恐怕學生聽過就會忘記，不能形成一個感性的、直接的認識。計算機圖形學的先修課程包括程序設(shè)計、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法設(shè)計等，這些計算機學科課程構(gòu)成了計算機圖形學的背景知識，但計算機圖形學又與其先修課程有很大區(qū)別，需把握的關(guān)鍵是：計算機圖形學的最終目的是通過編程來顯示圖形，當學生實現(xiàn)算法親手編程顯示圖形后，又能讓學生體會到將抽象的算法轉(zhuǎn)換為形象化圖形的成就感，學生就會慢慢從厭煩圖形學算法的心理轉(zhuǎn)變成為迫切實現(xiàn)算法的強烈愿望。而這種成就感的培養(yǎng)，主要依賴于好的實驗設(shè)計，需要我們圍繞知識點設(shè)計各種類型的實驗。在這里，我們按實驗的要求、目的和難度，設(shè)計了基礎(chǔ)實驗、綜合實驗和拓展實驗三類實驗。

1.基礎(chǔ)實驗?；A(chǔ)實驗是為了幫助學生了解和掌握一些基本算法，算法本身較為簡單，編程實現(xiàn)相對容易。學生掌握基本編程知識，具備一定的算法設(shè)計能力就能順利完成基礎(chǔ)實驗。

例如，要對多邊形進行填充，可以采用種子填色算法：①從（x，y）開始檢測相鄰位置以確定它們是否是邊界顏色，若不是，則用填充顏色涂色，并檢測其相鄰位置。②直至檢測完所有象素。我們在講授完該算法后，就可以設(shè)計實驗：利用種子填充算法在一個三角形中涂上指定的顏色。對于這樣一個實驗，學生只需具備遞歸編程經(jīng)驗并掌握圖形顯示函數(shù)就可以順利完成該實驗。

2.綜合實驗。如果說基礎(chǔ)實驗強調(diào)的是基礎(chǔ)的話，那么綜合實驗則強調(diào)綜合，也就是要求學生能綜合運用所學的知識來完成實驗，而這里所包含的知識點既有計算機圖形學，又有其他相關(guān)學科的知識，要求學生將各學科的知識點融會貫通、靈活運用。這種綜合實驗對學生的動手能力和綜合運用知識的能力都有較高要求。在設(shè)計綜合實驗時，應(yīng)盡可能地把學生已學過的知識點包含在其中，使學生在編程實現(xiàn)的過程中，把已有知識點鞏固復(fù)習一遍，當學生最終完成作品后，就會很自然地獲得成就感。

例如，我們設(shè)計了如圖4所示的綜合實驗：要求學生利用透視變換畫出3幢高樓。如表1所示，這個綜合實驗涉及透視變換、投影和消隱等計算機圖形學學科內(nèi)的知識，又涉及坐標變換、函數(shù)等代數(shù)及程序設(shè)計學科外的知識，通過完成這種綜合實驗，學生很自然地將學科內(nèi)、外的知識加以融合并靈活使用，從而提高其知識綜合能力。

3.拓展實驗。拓展實驗是不局限于計算機圖形學教材中原有的知識點，圍繞實驗中的特定要求，需要補充學科內(nèi)或?qū)W科外的新的知識點，或者對原有的知識加以擴充與延伸。拓展實驗設(shè)計的目的是鼓勵學有余力的學生大膽創(chuàng)新、深入實踐，激發(fā)學生對計算機圖形學乃至其他相關(guān)學科的興趣，為將來從事研究工作打下基礎(chǔ)。

在課堂教學中，許多學生對于自然界中不存在的，只能通過人工生成的分形圖形非常感興趣，我們就設(shè)計了這樣的拓展實驗：繪制基于分形的自然景物圖，這道拓展實驗題目中，融合了教材中未加以展開的分形理論，重點是分形圖形的建模方法，這部分屬于學科外的知識，在課堂教學與教材中都未加以展開說明。學有余力的學生可以通過課外時間去自學相關(guān)的分形圖形生成方法，再結(jié)合計算機圖形學中的相關(guān)知識完成。隨著移動終端的廣泛使用，甚至可以要求學生將這樣的拓展實驗利用JAVA語言在手機終端完成，并通過微信群發(fā)布。這樣，將主流的開發(fā)技術(shù)與計算機圖形學學科知識做到有機融合，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性思維。

四、相關(guān)教學成果

筆者在計算機圖形學的教學實踐中不斷開拓創(chuàng)新，打破學科壁壘，將圖形學知識與多學科知識加以融合，啟迪學生在學習圖形學知識時，不拘泥于本學科領(lǐng)域知識，鼓勵學生在交叉學科領(lǐng)域有所拓展。例如，2016屆計算機系吳慶帆同學通過圖形學課程的學習，對圖形圖像領(lǐng)域產(chǎn)生濃厚的興趣，進而主攻機器學習領(lǐng)域，完成的“基于MXNet深度學習框架的圖像分類軟件的實現(xiàn)”畢業(yè)論文被評為校優(yōu)秀畢業(yè)論文，目前他在美國約翰霍普金斯大學攻讀碩士學位；2017屆計算機系陳祖凱同學在學習計算機圖形學課程后，不斷研究相關(guān)圖形學算法，獲得上海市大學生創(chuàng)新活動項目，他已被上海交通大學計算機系錄取繼續(xù)攻讀碩士學位。

五、結(jié)語

筆者長期從事計算機圖形學的教學工作，通過在理論與實驗教學中不斷發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)經(jīng)驗，已系統(tǒng)地為計算機圖形學課程中的各重要知識點分別構(gòu)建了“樹型”知識結(jié)構(gòu)，并設(shè)計了完整的基礎(chǔ)實驗、綜合實驗和拓展實驗，在教學過程中，鼓勵學生將學科內(nèi)外知識加以融合、靈活運用，幫助學生建立起更為全面、寬廣的知識體系。今后，我們將以學科內(nèi)外知識融合的角度看待所講授的其他專業(yè)課程，在理論與實驗教學兩方面做進一步的探索研究。

參考文獻：

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