2021年高考數(shù)學(xué)全國乙卷(理)第4題的探究

朵天舉

甘肅省民樂縣第一中學(xué)

抽象函數(shù)是以中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)為背景抽象而得到的一類更具一般性的函數(shù)，此類函數(shù)簡單、抽象，更加靈活多變，是歷年高考中的一類常見考點，倍受關(guān)注.破解此類涉及抽象函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，從研究抽象函數(shù)的背景入手，通過直接代入、類比，猜想出它們可能為某種類型的基本初等函數(shù)，通常可找到解題的切入點，進(jìn)而加以解決.

1 真題呈現(xiàn)

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

2 真題分析

該題以一次分式函數(shù)為問題背景，結(jié)合函數(shù)圖象的平移變換來確定抽象函數(shù)的奇偶性.題目條件明了，難度中等及偏下.直接利用函數(shù)圖象的性質(zhì)、奇函數(shù)的定義、函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律等來破解，簡單易懂；也可以利用特殊點來加以巧妙驗證，或利用函數(shù)性質(zhì)來處理，都可以達(dá)到解題目的.

在實際破解過程中，在一個43人的高一新生班中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)知識(高一下學(xué)期)，結(jié)果五分鐘內(nèi)做錯該題的人數(shù)達(dá)到一半以上.當(dāng)然，由于學(xué)校層次、學(xué)生層次不一樣，可能這不代表所有學(xué)生的實際情況，但還是能說明此題看似簡單，學(xué)生在實際解答時還是有一定的困難，有必要對其加以認(rèn)真剖析，歸納解答方法，總結(jié)解題規(guī)律，探究拓展提升.

3 真題破解

方法1：平移變換法.

點評：先根據(jù)對函數(shù)f(x)解析式的變形處理，得到f(x)的對稱中心，然后通過函數(shù)圖象的平移變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對稱中心為(0，0)，從而得到答案.平移變換法處理此類圖象變換問題時，要注意平移的方向與符號的關(guān)系，關(guān)鍵是注意對稱中心或?qū)ΨQ軸的確定.

方法2：逐一代入分析法.

綜上分析，故選擇答案：B.

點評：根據(jù)題目條件中的函數(shù)解析式，通過各選項中的抽象函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行逐一代入處理，結(jié)合代入后所確定的函數(shù)解析式來判斷相應(yīng)函數(shù)的奇偶性.逐一代入分析法，方法直接“粗暴”，分析與處理過程相比較更為復(fù)雜一點，但更直觀、更具體，判斷起來更加簡單快捷.

方法3：奇函數(shù)定義法.

點評：抓住奇函數(shù)的定義，函數(shù)定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱時，滿足f(-x)=-f(x)即可判斷其是奇函數(shù).根據(jù)各選項中的抽象函數(shù)解析式，通過代入函數(shù)解析式進(jìn)行合理驗證，結(jié)合相應(yīng)的定義加以正確判斷.奇函數(shù)定義法是抓住定義本質(zhì)，通過建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式來合理運算，巧妙判斷.

方法4：特殊值驗證法.

對比相應(yīng)的函數(shù)值，則函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(0，0)成中心對稱的只有函數(shù)f(x-1)+1，即函數(shù)y=f(x-1)+1為奇函數(shù).故選：B.

點評：根據(jù)特殊點，分別取互為相反數(shù)的自變量(這里取3與-3，不能取使得分母沒有意義的自變量)，若所對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，則對應(yīng)的函數(shù)的圖象就是關(guān)于坐標(biāo)原點(0，0)成中心對稱.通過特殊點的選取與函數(shù)值的運算來驗證，雖然過程比較繁雜，但也是一種不錯的破解方法，特別是在沒有任何思路的情況下.

方法5：函數(shù)性質(zhì)法.

點評：根據(jù)題目條件，通過確定函數(shù)圖象的中心對稱點，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)來直接應(yīng)用加以解決問題函數(shù)圖象的平移變形處理.掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是破解此類問題的關(guān)鍵，而此類結(jié)論在教材中沒有具體要求，作為課外拓展與提升的知識，為進(jìn)一步的探究與變式提供條件.

4 變式拓展

探究：根據(jù)以上高考真題及其對應(yīng)的破解過程，進(jìn)一步將函數(shù)加以提升與抽象，化具體的函數(shù)為抽象函數(shù)，給出抽象函數(shù)的中心對稱點，進(jìn)而判斷對應(yīng)抽象函數(shù)的奇偶性，從而得到更具一般性的變式問題.

變式設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-1，-1)成中心對稱，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( ).

A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1

解析：根據(jù)以上問題的破解過程，當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-1，-1)成中心對稱，則有函數(shù)y-1=f(x-1)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(0，0)成中心對稱，即y=f(x-1)+1為奇函數(shù).故選：B.

結(jié)論：若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(m，n)(m，n∈R)成中心對稱，可知函數(shù)y+n=f(x+m)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，即函數(shù)y=f(x+m)-n為奇函數(shù).

5 教學(xué)啟示

(1)熟悉掌握函數(shù)圖象平移變換的方向與符號之間的關(guān)系

在具體的函數(shù)圖象的平移變換過程中，掌握“左+右-”的基本規(guī)律，即函數(shù)的圖象向左(或向右)平移1個單位，利用“x+1”(或“x-1”)來代替原來函數(shù)解析式中的“x”即可達(dá)到目的.

(2)注意函數(shù)圖象平移變換時的相對運動

在實際解決問題中，要注意函數(shù)圖象平移變換的運動規(guī)律，確定運動前后所對應(yīng)的函數(shù)解析式，特別注意在一些問題中的正向思維與逆向思維的應(yīng)用.

(3)掌握具有奇偶性、周期性函數(shù)圖象的基本特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(0，0)成中心對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱；周期函數(shù)的圖象關(guān)于最小正周期重復(fù)出現(xiàn).在實際破解問題時，要注意抓住此類特殊性質(zhì)函數(shù)圖象的基本特征與對應(yīng)定義之間的關(guān)系，合理構(gòu)建函數(shù)圖象的變化特征與對應(yīng)關(guān)系式之間的聯(lián)系.Z