巧算直線與圓錐曲線的位置關系

田青璇

摘要：直線和圓錐曲線的位置關系的判定向來是考察的重點和難點。由于涉及的運算繁冗復雜，需要較強的運算能力，令人頭疼。所以，筆者在學習的過程中總結了一點心得體會和變形技巧，運用于直線和圓錐曲線的位置關系的判定中，可以簡化運算，節省時間，降低運算難度。

關鍵詞：直線和圓錐曲線的位置關系 技巧 效率

在學習圓錐曲線的概念和性質，直線與圓錐曲線的位置關系這部分知識的過程中，了解到：直線與圓錐曲線的位置關系為高考重點考察內容，是重難點。直線和圓的位置關系，由于可以通過比較圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系來得到是相切，相交，還是相離的位置關系，但是在處理直線與圓錐曲線的位置關系時，只能將直線圓錐曲線和方程聯立，組成方程組，利用代入消元法消去y，出現一個關于x的一元二次方程，判斷此方程的Δ>0，還是Δ=0，或者Δ>0的情況，得到直線和圓錐曲線的交點個數。由于這部分知識，計算繁雜，運算量大，大家普遍感覺困難，為此我們有必要在平常的解題變形過程中發現，積累一些常用的變形技巧，降低運算難度，減少錯誤。

我在學習過程中，通過自己摸索，實踐，總結出了一些心得，體會，和大家交流如下。下面，看一道例題：

例一：橢圓 與直線 相切，求k值。

看到這個題，思考難度不大，將直線和橢圓方程聯立，組成方程組，利用代入消元法消去y，出現一個關于x的一元二次方程，讓此方程的Δ=0，即可解出k的值。下面是解題過程。

解： ①

②

①代入②得：

，整理這個方程，得到：

，由于直線與這個橢圓相切，所以這個方程的Δ=0，即：

從上面的解題過程，不難看出，計算繁雜，運算量巨大，極易出錯。所以，在學習過程中，為了解決此類問題，簡化運算過程，以直線和橢圓的位置關系舉例，總結出了解題技巧如下：

①

②

①代入②，整理得：

所以，小結： ，

這個公式的記憶竅門如下： ，從直線里得到三個分子的寫法，分別是 ，從橢圓 中，得到三個分母的寫法，依次是 ，這樣就很容易記住這個公式了。

用這個公式解例題一得：

①

②

①代入②得：

，由于直線與這個橢圓相切，所以這個方程的Δ=0，即：

這樣一來，大大簡化運算過程，減少出錯概率，得分率高。減少了大家在解題過程中的畏難恐懼心理，輕輕松松去算題。

下面，附加相關練習題：

1.已知橢圓 與直線 沒有交點，求m的取值范圍。

略解：

2.已知橢圓 與直線 有兩個交點，求m的取值范圍。

略解

3.若橢圓 與直線 相切，求t值。（解題過程略） 從以上幾道題的計算過程中看到，運用Δ公式計算，化繁為簡，輕輕松松來算數，高高興興去做題。為了Δ公式快捷使用，特意總結：以直線 為例，根據橢圓和 雙曲線的不同方程形式，得到不同Δ公式，列表如下：

注意觀察公式中分母的寫法技巧。

通過使用公式，能有效的降低運算難度，減少運算量，是計算直線和圓錐曲線（橢圓和雙曲線）的位置關系的一個常用技巧，大家在學習中注意掌握使用。

（作者單位：河北省張家口市第一中學）endprint