小題大做
——一道向量小題的解法探究與教學(xué)反思

莫利琴 官 欣

(昆明一中，云南 昆明 650030；昆明市西山區(qū)粵秀中學(xué)，云南 昆明 650031)

小題大做
——一道向量小題的解法探究與教學(xué)反思

莫利琴 官 欣

(昆明一中，云南 昆明 650030；昆明市西山區(qū)粵秀中學(xué)，云南 昆明 650031)

通過一道向量小題的解法與錯誤分析，想到在數(shù)學(xué)具體內(nèi)容教學(xué)和解題教學(xué)過程中的情景，提出學(xué)生在學(xué)習(xí)、考試中表現(xiàn)出的問題，其實(shí)是教師平時知識教學(xué)和解題教學(xué)中的問題.

平面向量；小題；解法；反思

命題解析本題以選擇題的形式出現(xiàn)，是一道以三角形為背景的平面向量問題. 平面向量在高考中的考查通常是簡單題到中檔題，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)(有時在解答題中和三角函數(shù)一起考查)，常考三方面的內(nèi)容：1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.平行四邊形法則(三角形法則)；3.一個向量在另一個向量上的投影問題.應(yīng)該說考查內(nèi)容、考察形式和難度基本都是相對固定的，屬于必得分題.但本題學(xué)生普遍感覺比較困難，得分率很低.

解法、原理、錯誤分析

原理平面向量基本定理告訴我們：平面內(nèi)的任一向量可以由這個平面內(nèi)任意兩個不共線的向量表示.選擇好基底后,平面任一向量都可用這組基底來唯一表示.

錯誤原因思維定勢，沒有合理地選擇基底.學(xué)生按照習(xí)慣選擇以三角形的某一頂點(diǎn)引出的兩條邊所成的向量為基向量，而忽視了這兩個向量的模和夾角都未知，從而無法求解.通常選基底的原則是這兩個向量有盡量多的已知元素.

原理根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則：如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)，那么a·b=x1x2+y1y2.

錯誤原因?qū)ξ粗獢?shù)(量)的恐懼 .學(xué)生們對于運(yùn)算過程中的未知量總是覺得別扭，不敢主動設(shè)未知數(shù)，不敢?guī)е粗獢?shù)運(yùn)算.

原理設(shè)θ為a與b的夾角，則acosθ叫做向量a在b方向上的投影

錯誤原因?qū)ο蛄客队暗母拍畈皇欤瑢χ苯侨切沃械倪吔顷P(guān)系不敏感.

解法4 (特殊值法)由于題中△ABC沒有限制條件，可以設(shè)為等腰直角三角形(A為直角頂點(diǎn))，建系，則其余各點(diǎn)坐標(biāo)可得，計算即可.

原理從特殊到一般是高中數(shù)學(xué)主要思想方法之一，對于沒有太多限制的題目，特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形是我們找到答案的快速方法，尤其選擇題填空題，省時省力，是得分利器.

錯誤原因?qū)Ω咧袛?shù)學(xué)思想方法理解掌握不夠，拿到題就做，沒有養(yǎng)成“一慢，二想，三動手”的習(xí)慣，也沒有歸類總結(jié)題型、做法的習(xí)慣.

反思提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力(包括運(yùn)算能力)，一直是我們高中數(shù)學(xué)教學(xué)中想達(dá)到的目標(biāo)之一，但很多時候，往往教師一眼可以看穿，覺得容易的題目，學(xué)生卻問題多多.反思自己的教學(xué)過程，覺得問題大半在日常教學(xué)上：模式化明顯，人為痕跡重；重講授，輕啟發(fā)；重縱向練習(xí)，輕橫向聯(lián)系；往往圍繞一個問題，一種題型，甚至于一種做法反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生機(jī)械訓(xùn)練，疲于奔命.往往滿足于完成老師拿來的題目，到后來，連單純的解題，也會陷入題海，落入“見樹不見林”的境地，思路越練越窄.最后形成教師“凌絕頂”，學(xué)生卻“只在此山中，云深不知處”.

1.對于數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)的反思“要使學(xué)生感到自己是一個研究者、思考者，而不是消極的知識“掌握者””.我們的課堂教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的發(fā)展過程，逐步體驗和學(xué)會從直觀感知到觀察發(fā)現(xiàn)，從抽象概括到推理證明，再到反思和構(gòu)建的學(xué)習(xí)過程.然而在實(shí)際的課堂教學(xué)中，有時為了趕進(jìn)度，有時懷疑學(xué)生的能力，有時是對教學(xué)目的認(rèn)識有偏差，甚至為了省時省事，不敢不愿放手讓學(xué)生自己探究，往往直接告訴學(xué)生：知識是什么樣的，怎樣用，用時應(yīng)注意什么，然后開始大量的訓(xùn)練，還覺得課堂比較高效. “將數(shù)學(xué)作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品來教，留給學(xué)生活動的唯一機(jī)會就是所謂的應(yīng)用，其實(shí)就是做問題.這不可能包含真正的數(shù)學(xué)，強(qiáng)有力作問題的只是一種模仿的數(shù)學(xué)……長期以來所教的沉悶的模仿數(shù)學(xué)，不是有效的數(shù)學(xué)，而是無價值的數(shù)學(xué).”在這樣的教學(xué)模式下學(xué)生知識之間沒有聯(lián)系，對知識理解不系統(tǒng)，知識結(jié)構(gòu)沒有建立起來，所以凡出現(xiàn)在知識點(diǎn)交匯處出的題目，就覺得困難重重，是似而非，畏手畏腳，更不要說自己探究什么數(shù)學(xué)問題了.

2.對于解題教學(xué)反思

“解題是一種實(shí)踐性的技能…我們是通過模仿和實(shí)踐來學(xué)會任何一種實(shí)踐性技能的…在學(xué)習(xí)解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學(xué)會了解題.

想要提高學(xué)生的解題能力的教師，必須逐漸地培養(yǎng)學(xué)生思維里對題目的興趣，并且給他們足夠的機(jī)會去模仿和實(shí)踐.…當(dāng)教師在課堂上解一個題目時，他應(yīng)當(dāng)對他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在幫助學(xué)生時使用的同樣一些問題.受益于這樣的引導(dǎo)，學(xué)生最終將發(fā)現(xiàn)這些問題和建議的正確用法.而且通過這樣去做，學(xué)生將學(xué)到一些比任何具體的數(shù)學(xué)知識更重要的東西.”這兩段話很好地闡述了作為教師應(yīng)該怎樣進(jìn)行解題教學(xué).“模仿-實(shí)踐-興趣-思路引導(dǎo)”，學(xué)生在此題中出現(xiàn)的問題，是在以前的學(xué)習(xí)中，光有模仿和實(shí)踐，沒有關(guān)于解題思路的真正理解，由于疲于解題，忙于應(yīng)付，更談不上興趣，所以實(shí)際操作中，題目條件、問法、表述方法稍有變化，就處理不了.想想課堂上，如果我們僅僅是讓學(xué)生反復(fù)地練習(xí)而忽視對思路的分析、對解題原理的探討、對涉及到的知識點(diǎn)的再加工，必然會導(dǎo)致學(xué)生的思想僵化，方法單一，失去做題的動力和興趣.形成課堂上“學(xué)生皆醉，老師獨(dú)醒”，考試時，老師覺得簡單，學(xué)生感覺痛苦的局面.

學(xué)生表現(xiàn)出來的問題，是以往教學(xué)中問題的堆積，而通過學(xué)生表現(xiàn)出的問題，老師更應(yīng)該反思自己的問題，從而不斷提高，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長.

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書：數(shù)學(xué)必修[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] [蘇]B.A.蘇霍姆林斯基著.給教師的建議[M]杜殿坤編譯.教育科學(xué)出版社1984年第二版,537.

[3] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，李士锜，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

莫利琴(1974.11-)，女，云南省昆明人，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

官欣(1975.12-)，男，云南省昆明人，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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1008-0333(2017)28-0032-02