復習課設計的分析與思考
——以“含參函數的單調性”教學設計為例

姚志富

(安徽省蕪湖市六洲中學，安徽 蕪湖 238321)

復習課設計的分析與思考
——以“含參函數的單調性”教學設計為例

姚志富

(安徽省蕪湖市六洲中學，安徽 蕪湖 238321)

“含參函數的單調性”是高中數學的一個重要內容，其中對于參數的分類討論是一個永恒的難點.在學習分類理論的指導下，把策略性知識化身高級規則知識，對此難點進行了適度突破.同時結合課例，研究了數學復習課設計的一般思路與方法.

學習分類；分類討論；含參函數的單調性；復習課

如何提升單位時間內復習課的效率一直是數學復習課的重點，根據學習分類理論，在其指導下，老師要明確復習的基本任務、復習內容蘊含的知識點和學生的學習力，與學生當前學習的實際情況進行結合，進入提升復習效率.

一、 數學復習課型分析

數學概念與解題的規則技巧是復習課型中的基礎知識，數學概念、解題策略性的知識是復習課型中的重難點.復習課的學習過程具體分為三個部分：首先，將復習包含的基本概念和規則進行歸納梳理，通過強化記憶降低知識遺忘率；其次，針對重難點知識點，通過典型例題的解題分析和同類型解題訓練形成技能；最后，強化解題訓練，靈活應用，通過提供題型類似與不同的數學題型進行解答，促進知識的理解和應用，提升復習課效果.

二、數學復習課設計案例

學習分類理論指出：針對不同的知識學習要點，采取不同的與之相適應的教學方法和復習方法，能夠提升復習的效果.因為不同類型的學習結果，學習的過程及條件也不相同.以學習分類理論為指導，結合復習課型的特點，本文以“含參函數的單調性”一課為例，從教學分析和具體的教學設計案例兩個方面進論論述，意在說明完整的設計過程及思路.

1.教學分析

(1)學習任務分析.根據課程要求，“含參函數的單調性”章節學習主要內容為：函數單調性的求解、參數分類討論.其中教學難點是參數分類討論，因為有了參數就有了變化，對于知識的理解應用有較高的要求.通過分析，分類討論需要通過長時間的解題經驗積累，很難通過一節課的學習達成既定的教學目標，因此在這一章節的這一節課的教學中，把分類討論當成是一個高級規則來學習，對于學生來說更容易掌握.

根據上述分析，本節課的學習目標如下：①掌握函數單調性求解的規范步驟；理解并能完成規范步驟的求解；②理解參數在函數單調性判斷中的重要性，借助導函數圖象突破含參函數單調性中的參數討論；③學會運用數形結合的方法進行判斷，體會數形結合的思想方法.重點是目標①，②；難點是目標②.

(2)學生學情分析. 經過前一階段的學習，掌握了函數單調性的求解步驟，有一定的概念和習題練習，圖像法有一定的基礎，通過分析，主要問題如下：①解題中書寫不規范.例如忽略定義域的討論，區間書寫不規范用并集表示； ②解題步驟缺乏靈活性，在求解過程中習慣分離參數，忽略X的范圍； ③畏難和粗心并存，害怕分類和不清楚分類的方法.

(3)學習策略分析.根據學習任務，結合學生學情，制定教學策略如下： ①規范求解步驟，并將關鍵步驟重點指出，以便于學生理解，通過同類題型解題分析，使學生形成求解的規范步驟習慣.同時給出解題的書寫范例和步驟示范，解決學生解題過程中解題步驟混亂、書寫不規范等問題； ②函數單調性的判斷主要根據導函數的值來進行判斷.若導函數中含有參數，因參數的變化性，則判定會更困難.教學中要提煉歸納參數分類討論的基本方向和討論類型，形成高價規則，便于學生理解和記憶；③在學生的解題過程中多指導，及時的進行鼓勵和表揚，幫助學生樹立信心；④教學互動：教師示范、學生嘗試解題、教師指導，直至學生獨立完成.

2.教學設計案例

【學生學情分析】

學生對于函數單調性的求解有一個基本認識，也熟悉求函數單調性的基本步驟，但是對于含參的函數求單調性有困難，主要在于參數的分類討論缺乏方向，體現在何時需要分類討論，以及如何進行分類討論并不清楚，學生亂分類、怕分類.

【三維目標】

1.知識與技能目標

理解“含參函數單調性”中突破分類討論的兩個基本步驟——“數零點”與“畫草圖”，并在此過程中體會數形結合的思想方法.

2.過程與方法目標

運用函數圖象的直觀性，讓學生通過觀察、分析，并在教師指導下進行歸納總結，培養學生數形結合解題思想和活用數學知識解題的數學思維.

3.情感、態度與價值觀

通過本節內容的學習，增強求知欲，對數學數形結合等解題方式的好奇心，從簡單到復雜，從一般到特殊，讓學生感受數學解題的趣味性和科學性；在教學過程中，培養學生多種方式解題的創新思想.

【教學重點】：掌握函數單調性求解的規范步驟、書寫規范；借助導函數圖象解題方式進行含參函數單調性的討論；

【教學難點】：借助導函數圖象突破含參函數單調性中的參數討論.

【教學方法】：啟發式教學

【課時安排】：1 課時

【教學準備】：多媒體課件，幾何畫板

【教學設計說明】

根據新課程標準及核心素養培養的要求，本節課的知識目標定在兩個方面：一是分析問題、告知目標；二是探究新知、形成技能.

本節課的教學設計也是圍繞這些目標，利用多媒體和信息技術讓學生自主探究，充分參與課堂，并從中體會學習的成功和快樂.

【教學過程】

一、復習回顧

提出問題:(1)求函數單調性的基本步驟：①確定定義域；②求導；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得單調性.(2)參數對函數圖象的基本影響.

二、探究新知、形成技能

目標1：掌握函數單調性的規范求解步驟及書寫規范

【設計意圖】 從簡單到復雜，從不含參數函數的單調性求解出發，總結和歸納規范的解題步驟和書寫規范，從例題講解規范求解著手，使學生形成規范步驟求解和書寫規范. (例 1 是例 2 的特殊求解之一，在分析例 2 時容易代入，學生也容易理解)

課堂策略：老師講解后學生做例題，然后師生討論過程，對解題步驟和書寫進行糾錯，最后討論歸納出基本步驟，形成規范，并在關鍵求解步驟重點提示，以免出錯.

課堂生成：

步驟總結：①明確定義域；②求導；③化乘除；④令f′(x)>0(f′(x)<0)；⑤解出x；⑥得單調性

口訣提煉：定域求導化乘除，令導正負解x.

解：f(x)的定義域為(0，+∞)，

令f′(x)>0，得x>2或0

令f′(x)<0，得1

故f(x)的單調遞增區間為(0,1)，(2，+∞)；單調遞減區間為(1,2)

學生書寫容易出錯，要對區間的正確書寫方式進行提示，例如：多個區間的書寫之間用“，”連接，區間括號內也是用“，”.

目標2：參數分類討論的基本方法及步驟

【設計意圖】借助例2的求解，鞏固函數單調性求解的規范步驟和書寫規范；其次引導學生對參數分類討論建立基本的概念；然后在解題示范中運用數形結合的方法進行求解，讓學生對數形結合的數學思想(目標3)建立認知，教師要做好解題示范和引導討論，然后，通過一定的變式練習，如變式1(二次項系數含參數)、變式2(二次函數變為一般的指數函數)、變式3(定義域含參數)等來促進已學規則的掌握，并形成一定的應用解題能力.課后練習布置兩道難度略低于課堂例題及變式的作業，鞏固本節課學習的知識點.

變式2：求函數f(x)=ex+ax(a∈R)的單調性.

【設計意圖】題型拓展到其他函數(一次函數、指數函數、對數函數冪函數、三角函數均可)，強化訓練用函數圖象來找零點的方法.

變式3：已知函數f(x)=ln(x+a)+x2，討論f(x)的單調性

【設計意圖】定義域從確定的(不含參數)到變化的(含參數)，畫函數圖形草圖的圖形結合解題方法都適用.當定義域及零點都未知時，要靈活運用分類討論的方法，通過比較定義域端點及零點的大小進行解題.

課堂策略：老師示范解題步驟時做好板書，提醒學生做筆記和分析，梳理分類討論的基本方法.

三、課堂小結

分類討論的基本方法與步驟：⑴確定分類對象；⑵確定分類標準，正確進行合理分類，做到不重不漏；⑶對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；⑷進行歸納總結，綜合得出結論.

四、課后作業

2. 已知函數f(x)=lnx-ax(a∈R)，討論f(x)的單調性.

3.對教學設計難點突破的思考

參數的分類討論是教學中的難點問題，為了達到更好的教學效果，在教學設計中以學習分類理論為指導，把策略性知識化作高級規則，讓學生便于理解和掌握.把分類討論方向用找零點和畫草圖兩種程序化方法進行轉化，根據零點個數建立不同的分類，當零點個數確定時，根據圖象建立不同的分類等具象化的圖形結合方法進行求解，以此突破分類討論中對參數的分類標準問題.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)M.北京：人民教育出版社，2003.

[2]李偉.基于學習分類理論的高中數學解題課設計[J].中國數學教育(高中版)，2014(10):34-38.

[3]王珂.數學設計的返璞歸真[J].數學教學研究，2014(7).

[4]吳成海.高中數學創新教育應著力于思維培養[J].新課程(教育學術)，2011(7).

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

姚志富(1979.9-)，男，安徽省蕪湖市，中學一級，本科，從事高中數學教學研究.

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