導數(shù)復習幾點例談

馮厚發(fā)

(南京市雨花臺中學,江蘇 南京 210000)

導數(shù)復習幾點例談

馮厚發(fā)

(南京市雨花臺中學,江蘇 南京 210000)

導數(shù)教學是函數(shù)教學的升華，運用導數(shù)知識可以將函數(shù)模型的研究上升到更高的層面，解決各種高次函數(shù)、復合函數(shù)等一系列復雜函數(shù).如何運用導數(shù)解決相關問題，在復習中注重哪些知識層面，本文做一番簡單的梳理．

導數(shù)；函數(shù)；基礎；單調性；最值；分類；多元降解

有了導數(shù)，中學數(shù)學對于函數(shù)的學習向前大大推進了一大步．以往的初等基本函數(shù)可以各式各樣的進行整合，對于學生理解函數(shù)、解決函數(shù)問題有了更廣闊的空間．導數(shù)的基本知識并不是太復雜，如何利用好這些基本知識以及所涉及到的其他相關數(shù)學思想，才是導數(shù)復習最為關注的地方．本文結合基本的知識使用，利用一定的知識層面、數(shù)學思想方法，將導數(shù)復習做一番合理的梳理，力爭讓導數(shù)知識在解決函數(shù)問題時更為有效．

一、注重幾何意義

導數(shù)最基本的幾何意義是切線的斜率，對于基本知識的理解需要從幾何意義出發(fā)．

問題1 若曲線y=x4的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為________．

分析導數(shù)的幾何意義是在該點處切線的斜率，中學數(shù)學教材對此有明確的推導和證明，要掌握和理解幾何意義是問題解決的最基本保障．與直線x+4y-8=0垂直的直線l為4x-y+m=0，即y=x4在某一點的導數(shù)為4，而y′=4x3，所以y=x4在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為4x-y-3=0．

二、注重單調最值

導數(shù)的作用在于方便地解決了函數(shù)單調性，與定義研究單調性不同的是，導數(shù)站在更高的系統(tǒng)的角度思考了函數(shù)的變化，進而方便地獲得了函數(shù)的最值．

x00，1/2()1/21/2，1()1f′(x)-0+f(x)-7/2↘-4↗-3

三、注重分類討論

對于定值研究，學生并沒有特別的困難，但是對于變量的引入，往往產(chǎn)生了大量的討論，這也是很多學生開始陷入導數(shù)復習困擾的地方．學會變量的如何介入討論，是導數(shù)復習的關鍵．

1.二次項系數(shù)的切入

問題3 已知函數(shù)f(x)=plnx+(p-1)x2+1，當p>0時，討論函數(shù)f(x)的單調性．

顯然，本題的討論主要是從二次項系數(shù)出發(fā)的，與二次函數(shù)討論一致，二次項系數(shù)是突破本題的關鍵．

2.對稱軸引發(fā)的思考

分析由已知得g(x)=ln(x+1)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(x+1)+2x2-4ax，

綜上,實數(shù)a的取值范圍是a≤0．

對于導函數(shù)來說，二次項系數(shù)為定值時，一次項系數(shù)為變量，從而從這里介入討論是最為合適的．

四、注重多元降解

導數(shù)考查的更高層次是多元變量的介入，當遇到多元變量時，我們如何利用導數(shù)解決問題？從思想角度來說，筆者將其稱之為多元變量講解，即多元轉少元．

問題5 函數(shù)f(x)=alnx+x2+bx存在極大值．(1)若a=1，求b的取值范圍；(2)求a的最大值，對滿足題意的所有的b而言，函數(shù)f(x)的極大值恒小于0．

總之，導數(shù)是一種工具性的知識，和向量知識一樣，其解決初等數(shù)學問題的時候，大大向前推進了一大步，這是我們學習導數(shù)的主要目的．復習導數(shù)最為關鍵的是依賴其本質出發(fā)，本文闡述的前兩個方面就是點出了這兩點，即如何思考運用幾何意義和單調性最值的解決，是導數(shù)最基本的工具性作用；進一步運用導數(shù)是借助其工具性作用和思想方法的結合，筆者認為比較重要的是分類討論思想和多元降解方式的處理，這是導數(shù)復習問題中較難掌控的因此值得復習教學多加以關注．

[1]柴賢亭.數(shù)學教學中的導數(shù)問題設計[J].數(shù)學教學研究,2015(10).

[2]鮑建生等.導數(shù)變式教學研究[J].數(shù)學教學,2013(1).

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

馮厚發(fā)(1971.04-)，男，江蘇南京人，大學本科，從事數(shù)學教學.

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