小議數形結合求最值

駱纖雨

(華中師范大學附屬中學高二(9)班，湖北 武漢 430000)

小議數形結合求最值

駱纖雨

(華中師范大學附屬中學高二(9)班，湖北 武漢 430000)

本文論述了通過直線的斜率、截距、距離以及函數的增減性求函數的最值，并在此基礎上通過數形結合讓其更形象、更直觀，進一步豐富數學數形結合的運用.

數形結合；最值

在數學問題的解決中，等價轉化與數型結合思想有著極其重要的應用，尤其在一定條件下，求某些式子的最值問題，就可利用數形結合的方法，轉化為求斜率、截距、距離等問題，從而使問題得到解決.

數形結合的思想在數學計算最值中有大量的應用，特別是在二次函數、三角函數等中求最值最為方便快捷，直觀性性也比較強，但是，數形結合求最值的最大難點是在如何把這些函數轉變成與幾何圖形相結合的等價變換，這不僅是個難點，還是重點.下面筆者簡要地對利用直線的斜率、截距、距離求最值進行了解題分析與例舉，希望讀者有所收獲.

一、轉化為直線的斜率求最值

例1 如圖1，若實數x、y滿足(x-2)2+y2=3，求y/x的最大值及最小值.

點撥點(2，0)滿足圓的方程，而y/x正是圓上的點與原點連線的斜率如果把(x,y)視為動點，借助圖形觀察，則y/x的最大值和最小值正是由原點向圓所引的兩條切線的斜率.

圖1 圖2

例題演練如實數x，y滿足(x-2)2+y2=2.89，求y/x的最大值及最小值.方法如上.

二、轉化為直線的截距求最值

例2 已知實數x，y滿足x2+y2=1(y≥0)，求2x+y的取值范圍.

點撥x2+y2=1(y≥0)是以原點為圓心位于x軸上半部分的一個半圓，設b=2x+y，問題就可以轉化為直線與半圓的關系.

例題演練如實數x，y滿足x2+y2=2.89(y≥0)，求4x+y的最大值及最小值.方法如上.

三、轉化為距離求最值

例3 已知x，y滿足x2+y2+4x-2y-4=0，求x2+y2的最大值.

數形結合求最值，直觀方便，但注意轉換的時候必須是等價轉換，自變量以及值域的范圍既不能縮小也不能擴大，否則，就會引起不等價轉換，會導致解題錯誤.

四、利用函數的增減性求最值

利用函數的增減性求最值，假如函數y=ax+b是增函數，那么在區間[c，d]上的最大值為x=d時y的值，最小值為x=c時y的值；假如函數y=ax+b是減函數，那么在區間[c，d]上的最大值為x=c時y的值，最小值為x=d時y的值.

例4 求y=6x+7在區間[-1，10]上的最大值與最小值.

解由于y=6x+7在區間[-1，10]為增函數，當x=-1時，y的最小為1；當x=10時，y的最大值為67.

例5 求y=-6x+7在區間[-1，10]上的最大值與最小值.

解由于y=-6x+7在區間[-1，10]為減函數，當x=-1時，y的最大為13；當x=10時，y的最大值為-53.

例題演練1.求y=5x+7在區間[1，9]的最大值與最小值.

五、利用函數圖象的頂點與增減性求最大值與最小值

如果二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象開口朝上，那么頂點就是其最小值，如開口朝下，那么頂點就是其最大值，如求最值的區間不包括頂點，只是在函數圖象的一側，這時可以運用增減性 ，求最值.

例題演練1.求函數y=2x2+6x+4在區間[1，5]的最大值與最小值.

[1]南開大學數學系.空間解析幾何引論[M].北京:人民教育出版社，1978.

[2]林崇德等.林崇德《學習與發展》觀介紹[N].中國教育報，1991(03)：31.

[3]袁桂珍等.高中數學解題方法與能力訓練[M].桂林:廣西師范大學出版社,1996:29.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

駱纖雨(2000.05-)，浙江省，華中師范大學第一附屬中學，高中在讀.

G632

A

1008-0333(2017)28-0014-02