“外接球”問題的解題策略

崔紅光 楊蒼洲

(1.福建省泉州實驗中學(xué)，2.福建省泉州第五中學(xué),福建 泉州 362000)

“外接球”問題的解題策略

崔紅光1楊蒼洲2

(1.福建省泉州實驗中學(xué)，2.福建省泉州第五中學(xué),福建 泉州 362000)

本文通過近年來部分高考試題中外接球的問題，利用化歸思想，最終都轉(zhuǎn)化為四個模型，通過對模型的求解來求幾何體外接球的半徑．

外接球；球心；構(gòu)造；幾何體

有關(guān)外接球的立體幾何問題是近年高考試題的難點之一，這與學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力有關(guān).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學(xué)生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認(rèn)識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系；……”由此可見，長方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，掌握長方體模型，對于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問題起著非常重要的作用.

幾何體的外接球問題實質(zhì)是解決球的半徑或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵．而利用球心定義或球心與其截面的圓心連線垂直于截面這一性質(zhì)，就是確定球心位置的理論依據(jù).即球心可以通過作出過幾何體某兩個面的外接圓圓心，且垂直于相應(yīng)面的垂線，則兩直線交點即為球心.

我們可以將幾何體的外接球問題分為以下幾類題型.

一、柱體的外接球

1.圓柱的外接球球心為上下底面圓心連線中點；

2.直棱柱的外接球球心為上下底面外接圓的圓心連線中點；

特別的，長方體，正方體的外接球的球心是其體對角線中點.

二、椎體的外接球

1.正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．

2.構(gòu)造長方體或正方體或直棱柱確定球心

(1) 有一組線面垂直的棱錐，以該線為側(cè)棱，該面為底補成直棱柱；

(2) 構(gòu)造長方體確定球心，構(gòu)造策略：長方體的八個頂點可以構(gòu)造出三棱錐或四棱錐.

① 有一個面是直角三角形或矩形，一條側(cè)棱和該面垂直的三棱錐或四棱錐；

② 有共斜邊的兩個直角三角形的三棱錐，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心；

③ 對棱相等的三棱錐，特別的，正四面體可轉(zhuǎn)化到正方體中；

④ 底面是矩形，一個側(cè)面是直角三角形且垂直于底面， 這兩個面的交線是三角形的斜邊，滿足上述條件的四棱錐.

3.過幾何體的兩個面的外接圓的圓心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為球心.

4.圓錐的外接球： 圓錐的軸截面的外接圓的圓心為球心 .

三、例題分析

例1 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CA=AB=2，AA1=6，∠ACB=120°．若三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為( )

A．20π B．42π C．52π D．56π

解設(shè)底面△ABC的外接圓半徑為r，球O的半徑為R,則

例2 (2014高考全國大綱卷)正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為( ).

例5 在四面體ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，求四面體ABCD外接球的表面積.

A．10π B．4π C．16π D．8π

A.25π B．26π C．27π D．28π

例8 已知一個幾何體的正視圖及側(cè)視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓，求該幾何體的外接球的表面積.

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書( 必修)數(shù)學(xué)4(A版)[M]. 北京:人民教育出版社,2014.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-07-01

崔紅光(1981-10)，女，黑龍江，任職于福建泉州實驗中學(xué)，中學(xué)一級，大學(xué)本科，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

楊蒼洲(1979,12)，男，福建惠安，福建省泉州第五中學(xué)，中學(xué)高級，大學(xué)本科，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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