高中數學教學中運用化歸思想的案例分析

王志雄

(福建省平潭第一中學,福建 福州 350400)

高中數學教學中運用化歸思想的案例分析

王志雄

(福建省平潭第一中學,福建 福州 350400)

化歸思想是數學教學和學習中最重要的數學思想之一.化歸思想可以將復雜問題簡單化，充分合理地利用化歸思想能夠有效地對題目進行解析.教師應在教學過程中將重點轉移到引導學生思維的方向上.本文對化歸思想進行分析，闡述其在數學教學中的重要性.

高中數學；化歸思想；案例分析

很多數學問題非常復雜，每當遇到這種復雜問題時都會打斷我們的思路，需要花費大量的時間去分析問題，進而解決問題.如果僅僅從解題技巧的角度對數學問題進行分析，那么將無法有效的應對各類問題，所以化歸思想的重要性就體現了出來.

一、什么是化歸思想

化歸思想的核心可以分為兩點，一是轉化，二是歸納.化歸思想的解題模式通常為：分析問題之后提出新的問題，通過解決新的問題轉而解決原有問題.這種思想重在轉化，通過問題與問題之間的聯系進行轉化，用變通的方法解決問題.

化歸思想有很明顯的特征，具體包括三個方面，分別是：1.層次性.2.重復性.3.多向性.化歸思想的多向性體現在：在解題過程中通過變換問題的已知條件，并且轉變問題的結論，從而改變問題的形式和結構.重復性體現在：化歸思想可以有效的利用各種方法和解題技巧，從細微處解決問題，與此同時在大的問題上進行知識點之間的有效轉化[1].

二、化歸思想的原則及其應用

1.直觀化原則

化歸思想的直觀化就是將抽象的問題具體化、具體化.這樣就可以明確的表示出問題之中所隱藏的概念，從而解決一系列的相關問題.譬如說：換元法.

例1 已知tanβ和tanα是方程x2-3x-3=0的兩根，試求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.

這個問題的解答過程就是將問題從抽象化問題向直觀化問題轉變，通過換元法使整個問題變得更加直觀化，從而解決問題.解題如下所示.

2.熟悉化的原則

解答由韋達定理得：tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3

由和角公式知：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=3/4.

式子sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)是sin(α+β)與cos(α+β)的二次齊次式,又因為sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,

則原式可化簡為

[sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)]/[sin2(α+β)+cos2(α+β)]

=[tan2(α+β)-3tan(α+β)-3]/[tan2(α+β)+1]

=-3.

熟悉化原則就是在解題的過程中，將所遇到的，相對陌生的問題進行轉化，將其變成自己相對較熟悉的問題，從而完成問題的解答.當轉變成熟悉的問題之后，很多已經掌握了的解題思路和技巧，便可以得到充分的應用[2].這樣便能更加有效地完成題目的解析任務，譬如：

1.將復數類型的問題進行轉化，將其變成實數類的問題.

2.將非等比數列或者是非等差的數列轉化成為等比數列和等差數列的形式，這些都是熟悉化原則的典型例子.

3.配方法

配方法是高中數學在解題的過程中應用最多的方法.配方法可以有效的將復雜的問題簡單化，能夠讓學生在解題的過程中更好地找到切入點和解題所需要的.

熟練配方法的使用規則，可以讓學生面對難題時能夠更好的分析和解決.

這道題的已知條件中所給出的兩個方程之間并沒有太大的聯系.遇到這種情況時就需要轉變以下思維，改變現在已知條件的形式.我們可以通過將x與y進行配方，將x與y的形式進行標準化，通過這樣的解題思路來解決問題.這樣就能對未知數n的值進行更加容易的解答.

4.分解法

分解法要求對已知條件進行分解，使其成為幾個相對簡單的部分以便于解答.簡而言之就是將復雜的問題進行分解，成為幾個容易解答的小問題，再對這些簡單的小問題進行分析和計算，最終得出整個大問題的答案.

例3 分解因式：m15+m12+m9+m6+m3+1.

解原式=(m15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6+1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3).

當解題時遇到多項式，并且此多項式中包含的項數非常多的時候，我們可以通過分組的方式將多項式分解.通過這樣的解題方法將多項式簡單化和規范化，從而便于分步解題，使解題難度降低，達到順利解題的目的.分組的方法要根據具體題型的形式來進行實際判斷.

結語數學問題的計算過程和分析方式有自己固定的模式，一般都是通過分析已知條件，明確其中的具體可用之處，之后再進行分析和轉化，將已知條件和問題都進行簡化，最終達到解題目的.所以能夠熟練地掌握化歸思想及其解題方法，可以快速找到解題思路.

[1] 蘇芳，覃學文.在“數學分析”中滲透數學思想的教學意義——化歸與轉化思想 [J]. 梧州學院學報，2013(06)：14-15.

[2]洪善嘯.化歸思想在日常數學課堂教學中的滲透 [J].科教文匯(上旬刊),2013(07):12-13.

[3]張權.關于中學數學教學中化歸思想方法的應用分析 [J].讀與寫(教育教學刊)，2012(01):12-13.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

王志雄 (1973.3-)，男,福建省福州人,中學數學一級教師,從事數學教學研究.

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1008-0333(2017)28-0002-02