基于正規(guī)形法的結(jié)冰飛機(jī)著陸階段非線性穩(wěn)定域

鄭無(wú)計(jì)， 李穎暉， 屈亮， 徐浩軍， 袁國(guó)強(qiáng)

空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院， 西安 710038

基于正規(guī)形法的結(jié)冰飛機(jī)著陸階段非線性穩(wěn)定域

鄭無(wú)計(jì)， 李穎暉*， 屈亮， 徐浩軍， 袁國(guó)強(qiáng)

空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院， 西安 710038

結(jié)冰導(dǎo)致飛機(jī)飛行包線縮小、對(duì)飛行安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅，研究結(jié)冰后飛機(jī)非線性穩(wěn)定域?qū)吔绫Ｗo(hù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和飛行安全的提高極其重要。以某型運(yùn)輸機(jī)為研究對(duì)象，考慮飛機(jī)非線性氣動(dòng)特性建立飛機(jī)縱向非線性模型并進(jìn)行增穩(wěn)控制補(bǔ)償設(shè)計(jì)；然后通過(guò)流形和正規(guī)形理論刻畫(huà)結(jié)冰飛機(jī)縱向非線性穩(wěn)定邊界并得到穩(wěn)定邊界的解析表達(dá)式，通過(guò)仿真的手段驗(yàn)證了正規(guī)形理論確定的穩(wěn)定邊界和解析表達(dá)式的有效性和準(zhǔn)確性。最后，分析了飛機(jī)著陸過(guò)程中，結(jié)冰因子對(duì)結(jié)冰飛機(jī)穩(wěn)定域的影響以及結(jié)冰飛機(jī)發(fā)生事故的機(jī)理。研究結(jié)果表明，輕度結(jié)冰使飛機(jī)非線性穩(wěn)定域縮小；重度結(jié)冰導(dǎo)致飛機(jī)穩(wěn)定性發(fā)生改變；在未察覺(jué)飛機(jī)結(jié)冰的情況下，飛行員的常規(guī)操縱會(huì)使飛行狀態(tài)超出結(jié)冰飛機(jī)的非線性穩(wěn)定域、導(dǎo)致飛行事故。研究結(jié)果可為飛機(jī)結(jié)冰后的邊界保護(hù)提供一定的參考。

飛機(jī)結(jié)冰； 穩(wěn)定域； 非線性； 正規(guī)形理論； 運(yùn)輸機(jī)

飛機(jī)結(jié)冰是飛機(jī)在結(jié)冰條件下飛行時(shí)，大氣中的液態(tài)水在部件表面結(jié)冰并累積成冰的一種物理過(guò)程，在飛行實(shí)踐中廣泛存在[1]。飛機(jī)結(jié)冰破壞了飛機(jī)氣動(dòng)特性，使升力降低、阻力增加，且使飛機(jī)失速迎角大幅度降低，惡化了飛機(jī)的飛行性能，對(duì)飛行安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅。據(jù)美國(guó)聯(lián)邦航空管理局(FAA)和美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)統(tǒng)計(jì)，在1976—1994年間，發(fā)生的飛行事故中有近16起與飛機(jī)結(jié)冰有關(guān)，并導(dǎo)致139人死亡[2]。美國(guó)Safety Advisor[3]對(duì)1990—2000年的飛行事故進(jìn)行了詳細(xì)的統(tǒng)計(jì)，結(jié)果表明由氣象因素引起的飛行事故中僅結(jié)冰就占12%。1994年，美國(guó)鷹航公司的一架ATR72-212飛機(jī)在印第安納Roselawn地區(qū)由于機(jī)翼結(jié)冰而墜毀；隨后2002年在中國(guó)臺(tái)灣墜毀的一架貨機(jī)以及2006年在安徽失事的一架中國(guó)軍用運(yùn)輸機(jī)都是由于飛機(jī)結(jié)冰引起的。

國(guó)外對(duì)結(jié)冰現(xiàn)象的研究開(kāi)始于20世紀(jì)30年代。NASA在2000年關(guān)于結(jié)冰對(duì)現(xiàn)代飛機(jī)影響[4]的報(bào)告中系統(tǒng)地研究了二維翼型在不同結(jié)冰情況的氣動(dòng)特性。Miller和Ribeens[5]通過(guò)對(duì)飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行氣動(dòng)辨識(shí)的方法得到了結(jié)冰飛機(jī)的氣動(dòng)特性，并初步研究了結(jié)冰飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)特性。Bragg等[6]研究了結(jié)冰飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)特性。國(guó)內(nèi)以研究飛機(jī)結(jié)冰及防除冰機(jī)理[7]作為重點(diǎn)內(nèi)容，近年來(lái)，相關(guān)單位開(kāi)始對(duì)結(jié)冰飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究[8-9]。

對(duì)于結(jié)冰飛機(jī)已經(jīng)開(kāi)展的主要工作有結(jié)冰預(yù)警、防除冰以及結(jié)冰后邊界保護(hù)等，而對(duì)于結(jié)冰飛機(jī)而言為確保飛行安全,飛機(jī)結(jié)冰后進(jìn)行邊界保護(hù)措施是必要的，而結(jié)冰條件下飛機(jī)的飛行安全邊界會(huì)縮小[10]，根據(jù)實(shí)際結(jié)冰情況確定邊界范圍是進(jìn)行邊界保護(hù)的重要前提，該邊界范圍即結(jié)冰飛機(jī)的非線性穩(wěn)定域，它表示飛機(jī)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性能，反映了某一飛行狀態(tài)下的抗擾動(dòng)性，因此開(kāi)展結(jié)冰飛機(jī)穩(wěn)定域的研究具有重要意義。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于結(jié)冰飛機(jī)動(dòng)力學(xué)特性的研究主要集中在結(jié)冰因子[6,11]對(duì)飛機(jī)靜穩(wěn)定性的影響，而對(duì)于結(jié)冰飛機(jī)非線性穩(wěn)定域的研究較少，高浩和周志強(qiáng)[12]，何植岱和郭文[13]等利用分支突變理論研究了平衡點(diǎn)變化對(duì)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的影響，但研究?jī)?nèi)容未涉及到飛機(jī)的穩(wěn)定域問(wèn)題。Robert[14]和詹浩[15]等利用優(yōu)化控制和不變集理論研究得到了一定時(shí)間內(nèi)的飛行最大可控邊界集，但該種方法使用的初始狀態(tài)空間為一三維長(zhǎng)柱形，難以對(duì)飛機(jī)飛行范圍進(jìn)行精確地描述。

為得到結(jié)冰對(duì)飛行特性的影響以及飛機(jī)失速的機(jī)理，本文首次將正規(guī)形理論應(yīng)用到飛機(jī)穩(wěn)定域相關(guān)問(wèn)題的研究，并給出高階多項(xiàng)式形式的非線性映射的求解方法，具體研究?jī)?nèi)容如下：研究基于某型運(yùn)輸機(jī)，由于該型飛機(jī)采用放寬靜穩(wěn)定度技術(shù)，因此本文在考慮氣動(dòng)特性非線性建立飛機(jī)非線性動(dòng)力學(xué)模型的同時(shí)采用增穩(wěn)控制補(bǔ)償模型。然后，基于正規(guī)形[16-17](Normal Form, NF)理論，給出便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的高階非線性映射求解系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的方法并提出利用邊界參數(shù)w(x)w(xsep)判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否位于穩(wěn)定域內(nèi)的相關(guān)方法，利用高階正規(guī)形法(后文簡(jiǎn)寫(xiě)為高階NF法)求解了系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界，并對(duì)方法的有效性和正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上分析了結(jié)冰因子變化對(duì)飛機(jī)穩(wěn)定邊界的影響，并根據(jù)其對(duì)穩(wěn)定域的影響程度定義了飛機(jī)輕度結(jié)冰和重度結(jié)冰的結(jié)冰因子范圍。最后利用穩(wěn)定邊界及參數(shù)w(x)w(xsep)研究分析了著陸階段拉平減速過(guò)程中飛機(jī)輕度結(jié)冰和重度結(jié)冰情況對(duì)飛行安全的威脅，得到了在飛行員未察覺(jué)飛機(jī)結(jié)冰的情況下，對(duì)積冰飛機(jī)進(jìn)行常規(guī)操縱也會(huì)導(dǎo)致飛行事故的原因。

1 結(jié)冰飛機(jī)非線性模型的建立

為簡(jiǎn)化分析過(guò)程并得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果，本文采用如下形式的三維動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 飛機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

飛機(jī)結(jié)冰后的運(yùn)動(dòng)方程為狀態(tài)向量x、控制變量δe以及結(jié)冰程度參數(shù)η的函數(shù)，本文采用的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(1)

式中:狀態(tài)向量x包括飛行速度Vt、迎角α及俯仰角速度q,即

x=[Vtαq]T

(2)

其中：δe為升降舵偏角。

飛機(jī)三維(Vt、α和q)非線性常微分剛體運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(3)

式中：θ為俯仰角；D為飛機(jī)阻力；L為飛機(jī)升力；M為飛機(jī)縱向力矩；m為飛機(jī)質(zhì)量；Jy為飛機(jī)縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。飛機(jī)阻力、升力及力矩可表示為

(4)

1.2 多項(xiàng)式形式的空氣動(dòng)力學(xué)模型

本文主要研究運(yùn)輸機(jī)低速著陸階段，且該階段速度變化較小，因此為簡(jiǎn)化分析暫不考慮飛行馬赫數(shù)對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)特性的影響，但為了更好地體現(xiàn)低速著陸階段的特點(diǎn)，應(yīng)考慮增升裝置對(duì)運(yùn)輸機(jī)氣動(dòng)特性的影響，故選擇襟翼偏角為30°的情況進(jìn)行仿真模擬。根據(jù)飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合[5]可得到較為準(zhǔn)確的氣動(dòng)數(shù)據(jù)隨迎角α、俯仰角速度q以及升降舵偏角δe變化的多項(xiàng)式形式的解析表達(dá)式為

(5)

式中：多項(xiàng)式系數(shù)xi(i=1,2,3,4)、zi(i=1,2,3,4,5)和mi(i=1,2,3,4,5)為結(jié)冰程度參數(shù)η的函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[6,11]所述，可通過(guò)式(6)體現(xiàn)結(jié)冰程度參數(shù)η對(duì)氣動(dòng)特性的影響。

CA,iced=(1+ηficed)CA

(6)

式中：CA和CA,iced分別為結(jié)冰前、后飛機(jī)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)值；ficed為結(jié)冰系數(shù)，反映CA對(duì)結(jié)冰的敏感性，對(duì)于給定的飛機(jī)為常值。結(jié)冰影響模型式(6)是由Bragg等[6]通過(guò)對(duì)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、總結(jié)得到的，該模型具有簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，可以根據(jù)不同飛機(jī)的結(jié)構(gòu)及飛行條件較為準(zhǔn)確地反映出結(jié)冰對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)特性的影響情況，可用于研究結(jié)冰對(duì)飛機(jī)性能及品質(zhì)的影響，且具有一定的通用性。

本文使用的具體參數(shù)如表1所示。根據(jù)式(5)可以得到結(jié)冰前該型運(yùn)輸機(jī)縱向相關(guān)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，在本文飛行條件下該型運(yùn)輸機(jī)結(jié)冰前縱向相關(guān)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)如表1所示，不同結(jié)冰情況的相關(guān)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)可根據(jù)式(6)進(jìn)行計(jì)算。

表1結(jié)冰前后相關(guān)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)

Table1Aerodynamicderivativesforcleanandicedaircraft

AerodynamicderivativeCleancaseficedCLα7．8446-0．10Cmα-1．8661-0．5Cmq-38．1058-0．1754

1.3 增穩(wěn)控制補(bǔ)償模型

由于本文研究的背景飛機(jī)放寬了靜穩(wěn)定度，所以需要對(duì)飛機(jī)本體的操縱穩(wěn)定品質(zhì)進(jìn)行增穩(wěn)控制補(bǔ)償設(shè)計(jì)，擬采用狀態(tài)變量迎角α、俯仰角速度q反饋實(shí)現(xiàn)飛機(jī)結(jié)冰前后飛機(jī)系統(tǒng)的增穩(wěn)控制補(bǔ)償。

δe=kαΔα+kqΔq

(7)

式中:kα和kq為狀態(tài)反饋系數(shù)；Δα=α-α0，Δq=q-q0為系統(tǒng)狀態(tài)誤差；α0和q0分別為飛機(jī)本體平衡狀態(tài)的迎角和俯仰角。

2 正規(guī)形理論對(duì)穩(wěn)定域的估計(jì)

正規(guī)形理論以流形理論[18-19]估計(jì)穩(wěn)定域方法為基礎(chǔ)，通過(guò)多項(xiàng)式形式的非線性映射實(shí)現(xiàn)復(fù)雜非線性系統(tǒng)向簡(jiǎn)單線性系統(tǒng)的變換，并結(jié)合線性系統(tǒng)流形的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)給出原非線性系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的一種近似估計(jì)，且該近似邊界具有多項(xiàng)式形式的解析表達(dá)式。

2.1 流形理論估計(jì)穩(wěn)定域方法

流形理論是根據(jù)微分系統(tǒng)的空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)確定系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(Stable Equilibrium Point，SEP)吸引區(qū)的一種方法，它利用直接積分方法得到邊界上不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(Unstable Equilibrium Point，UEP)的穩(wěn)定流形作為穩(wěn)定邊界的一種精確估計(jì)。

文獻(xiàn)[18]指出，微分動(dòng)力系統(tǒng)在滿足條件1～條件3時(shí)，系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定邊界由邊界上不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形構(gòu)成。

條件1邊界上所有的平衡點(diǎn)為雙曲形式的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，雙曲平衡點(diǎn)即系統(tǒng)在該點(diǎn)線性化后特征值實(shí)部不為零。

條件2邊界上不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形保持橫截條件。

條件3邊界上的所有軌線最終趨近于特定平衡點(diǎn)。

下面給出基于流形理論估計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的一般方法。

考慮式(8)所示的非線性系統(tǒng)

(8)

式中：x=[x1x2…xN]T。

1) 通過(guò)求解非線性方程組f(x)=0，得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，并通過(guò)f(x)在平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣特征值的情況判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì)。

2) 判斷不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是否屬于穩(wěn)定平衡點(diǎn)邊界上的點(diǎn)。

3) 利用穩(wěn)定邊界上的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形估計(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界。

2.2 非線性映射的構(gòu)造

設(shè)系統(tǒng)式(8)的平衡點(diǎn)滿足雙曲特性，那么存在同胚非線性映射[20]使非線性系統(tǒng)式(8)映射為線性系統(tǒng)：

(9)

式中：z與x具有相同的維數(shù)；Jr為非線性系統(tǒng)式(1)在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的Jacobian矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，即矩陣A與Jr滿足：

(10)

式中：矩陣P為矩陣A的特征向量矩陣。

根據(jù)正規(guī)形理論，非線性系統(tǒng)式(8)映射為線性系統(tǒng)式(9)的具體過(guò)程如圖1所示。

1) 將非線性系統(tǒng)式(8)在UEP進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，使其轉(zhuǎn)變成為多項(xiàng)式形式的非線性系統(tǒng):

(11)

2) 利用線性映射x=Py將系統(tǒng)式(11)映射為

(12)

3) 構(gòu)造高階多項(xiàng)式形式的非線性映射

(13)

通過(guò)非線性映射式(13)可將系統(tǒng)式(12)映射為線性系統(tǒng)式(9)。

圖1 非線性映射流程圖
Fig.1 Flow chart of nonlinear mapping

2.3 非線性映射的求解

下面利用待定系數(shù)法求解非線性映射式(13)的系數(shù)。

結(jié)合式(9)，取式(13)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，可得

(14)

將式(13)代入式(12)可得

(15)

聯(lián)立式(14)和式(15)可得恒等式

(16)

令

(17)

(18)

(19)

根據(jù)式(19)可知式(13)的2次項(xiàng)系數(shù)a2可通過(guò)解線性方程組b2=0得到；得到2次項(xiàng)系數(shù)a2后系統(tǒng)的3次項(xiàng)系數(shù)a3可通過(guò)解線性方程組b3=0得到；以此類推便可得到式(13)的所有項(xiàng)的系數(shù)，其求解流程如圖2所示。

圖2 多項(xiàng)式系數(shù)求解流程圖
Fig.2 Flow chart of solving polynomial coefficients

通過(guò)構(gòu)造和求解非線性映射的過(guò)程可知，非線性映射具有統(tǒng)一的表達(dá)形式，且求解過(guò)程具有一定的程式化，便于計(jì)算機(jī)編程求解。

2.4 穩(wěn)定邊界的確定

考慮線性系統(tǒng)式(9)，由于狀態(tài)矩陣為對(duì)角形式，因此每一特征值對(duì)應(yīng)的特征向量Pi(i=1,2，…,N)有且僅有一個(gè)非零元素，即

Pi=[0 … 1(i)… 0]

(20)

設(shè)Jr具有負(fù)實(shí)部特征值為λ1,λ2，…,λN1，特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為ζ1,ζ2，…,ζN1；具有正實(shí)部特征值λ1,λ2，…,λN2，特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為η1,η2，…,ηN2，且N1+N2=N，那么線性系統(tǒng)式(2)的不變穩(wěn)子空間由向量ζ1,ζ2,…,ζN1張成，不穩(wěn)定子空間由η1,η2,…,ηN2張成[21]。根據(jù)不同特征值對(duì)應(yīng)特征向量正交的特點(diǎn)可得特征向量ηj(j=1,2,…,N2)與穩(wěn)定子空間的每一特征向量ζj(j=1,2,…,N1)正交。

(21)

因此，特征向量ηj與系統(tǒng)穩(wěn)定子空間的向量z正交。

zTηj=0j=1,2,…,N2

(22)

結(jié)合式(20)可知式(22)等效為

zj=0j=1,2,…,N2

(23)

所以，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定子空間即穩(wěn)定流形可表示為式(23)形式的N1維超曲面。因此結(jié)合式(13)、式(23)和線性映射x=Py可得非線性系統(tǒng)式(8)在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定流形為

(24)

根據(jù)2.1節(jié)流形理論估計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定域的方法可知，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)式(8)SEP穩(wěn)定邊界上所有UEP進(jìn)行分析便可得到系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界?A

(25)

令w(x)滿足：

(26)

則可通過(guò)邊界參數(shù)w(x)w(xsep)判斷系統(tǒng)狀態(tài)是否為穩(wěn)定平衡點(diǎn)吸引區(qū)內(nèi)的狀態(tài)。如果w(x)w(xsep)=0，則系統(tǒng)狀態(tài)x位于穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP穩(wěn)定邊界上；如果w(x)w(xsep)>0，則系統(tǒng)狀態(tài)x位于穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP吸引區(qū)內(nèi)；如果w(x)w(xsep)<0，則系統(tǒng)狀態(tài)x位于穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP吸引區(qū)外。

3 著陸階段結(jié)冰飛機(jī)的穩(wěn)定域研究

3.1 高階NF法估計(jì)穩(wěn)定邊界的有效性驗(yàn)證

高階NF法以流形理論為基礎(chǔ)，為說(shuō)明高階NF法的正確性，首先給出基于流形方法估計(jì)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定域的準(zhǔn)確性，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3為基于流形方法得到的穩(wěn)定邊界與相同情況下系統(tǒng)真實(shí)邊界的對(duì)比，用于證明流形方法估計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定邊界的有效性。其中彩色平面為流形法估計(jì)的穩(wěn)定邊界形狀；圖中紅色點(diǎn)是通過(guò)仿真方法得到系統(tǒng)在特定范圍內(nèi)位于穩(wěn)定域內(nèi)或邊界上的點(diǎn)，可準(zhǔn)確反映出系統(tǒng)邊界的位置和形狀，可反映出系統(tǒng)穩(wěn)定域的真實(shí)情況。圖中所示穩(wěn)定域內(nèi)所用紅點(diǎn)均位于流形法計(jì)算得到的穩(wěn)定邊界或包含于流形法的穩(wěn)定邊界內(nèi)，因此可說(shuō)明利用流形法估計(jì)穩(wěn)定邊界是有效的，且估計(jì)的邊界具有較高精度。由于NF法估計(jì)的穩(wěn)定域在多項(xiàng)式階數(shù)達(dá)到一定水平時(shí)(有效階數(shù))將無(wú)限趨近于流形理論估計(jì)的穩(wěn)定域，因此可以說(shuō)明利用高階NF法估計(jì)系統(tǒng)穩(wěn)定域是有效的。下面以流形方法估計(jì)的穩(wěn)定域作為參照，利用仿真的手段通過(guò)逐漸增加非線性映射階數(shù)的方法確定利用NF法有效且能較為精確估計(jì)該統(tǒng)穩(wěn)定域的階數(shù)。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖3 流形方法有效性驗(yàn)證
Fig.3 Feasibility verification of manifold method

圖4 NF法估計(jì)穩(wěn)定域的有效階數(shù)確定
Fig.4 Effective order of stability region estimation by NF method

圖5 7階NF法估計(jì)的穩(wěn)定域
Fig.5 Stability region estimation by 7-order NF method

圖4為NF法估計(jì)的穩(wěn)定邊界隨多項(xiàng)式階數(shù)變化情況，圖5為7階NF法估計(jì)的穩(wěn)定邊界與流形方法估計(jì)的穩(wěn)定邊界的對(duì)比。綜合考慮圖4和圖5可知多項(xiàng)式階數(shù)越高，NF法估計(jì)的穩(wěn)定邊界越接近真實(shí)情況，對(duì)于本文情況7階NF法估計(jì)的穩(wěn)定邊界與系統(tǒng)真實(shí)邊界情況基本吻合，因此后文將采用7階NF法對(duì)結(jié)冰飛機(jī)的穩(wěn)定邊界變化及運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析。

3.2 不同結(jié)冰程度對(duì)飛機(jī)穩(wěn)定域的影響

首先計(jì)算干凈飛機(jī)本體系統(tǒng)的平衡點(diǎn)并選取符合飛機(jī)飛行情況，且滿足低速著陸狀態(tài)要求的平衡狀態(tài)作為工作點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定域的分析，本文選擇(47.00,0.156 5,0.170 5)為工作點(diǎn)，該點(diǎn)的特征值為

λ1,2=-0.599 7±2.249 0i

λ3=-0.097 8

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)此狀態(tài)下系統(tǒng)的阻尼比ζ=0.257 7 較小，不滿足國(guó)軍標(biāo)GJB185-86起降設(shè)計(jì)要求(該背景飛機(jī)采用放寬靜穩(wěn)定度技術(shù))，因此利用式(7)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行增穩(wěn)控制補(bǔ)償設(shè)計(jì)。通過(guò)設(shè)計(jì)可得控制參數(shù)為kα=-0.8，kq=-0.3，此時(shí)工作點(diǎn)特征值為

λ1,2=-1.500±1.823 7i

λ3=-0.039 6

此時(shí)阻尼比ζ=0.635 7滿足設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。

其次，計(jì)算受控系統(tǒng)的平衡點(diǎn)并利用系統(tǒng)的Jacobian矩陣A的特征值判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì)。干凈飛機(jī)在該工作點(diǎn)下存在兩個(gè)平衡點(diǎn)A(47.00, 0.156 5, 0.170 5)和B(48.68, 0.125 2, 0.190 9)，通過(guò)上述方法可判斷A為穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP，B為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)UEP1，下面通過(guò)仿真的方法驗(yàn)證該UEP1為SEP邊界上的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，具體方法為對(duì)UEP1施加小擾動(dòng)量Δα=0.05，如果系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定在SEP，則可證明UEP1為SEP邊界上的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，否則UEP1不在SEP邊界上，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6為在UEP1添加擾動(dòng)后系統(tǒng)狀態(tài)x的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圖，可知添加擾動(dòng)后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)x趨近于SEP，因此可以證明UEP1為SEP邊界上的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。利用同樣的方法計(jì)算受控飛機(jī)在相同的工作點(diǎn)SEP，不同結(jié)冰程度下的平衡點(diǎn)，并判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)SEP(47.00,0.156 5,0.170 5)保持不變，且在其邊界上都僅存在一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，UEP計(jì)算結(jié)果如表2所示。

最后利用7階NF方法求解結(jié)冰飛機(jī)在不同結(jié)冰情況的穩(wěn)定邊界，即UEP的穩(wěn)定流形。根據(jù)本文2.3節(jié)和2.4節(jié)內(nèi)容可得結(jié)冰飛機(jī)不同結(jié)冰程度的穩(wěn)定邊界表達(dá)式ws(xuep)，由于此過(guò)程通過(guò)計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，故在此不進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明。具體結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖6 擾動(dòng)后的狀態(tài)曲線
Fig.6 Dynamic response curves after disturbing

ηEPVt/(m·s-1)α/radq/(rad·s-1)0UEP148．680．12520．19090．07UEP248．400．12970．18750．12UEP348．200．13310．18510．20UEP447．880．13870．1814

圖7 結(jié)冰因子對(duì)飛機(jī)穩(wěn)定域的影響
Fig.7 Effect of icing factor on aircraft stability region

圖8 結(jié)冰因子對(duì)UEP的影響
Fig.8 Effect of icing factor on UEP

圖7為結(jié)冰飛機(jī)穩(wěn)定域隨結(jié)冰程度的變化情況，隨著結(jié)冰程度的加劇，穩(wěn)定域逐漸收縮，穩(wěn)定邊界下邊緣逐漸接近平衡點(diǎn)，且結(jié)冰飛機(jī)穩(wěn)定邊界具有相似結(jié)構(gòu)。圖8為系統(tǒng)UEP隨結(jié)冰程度的運(yùn)動(dòng)情況，隨著結(jié)冰程度的加劇，UEP逐漸接近SEP，且結(jié)冰程度η=0.217 時(shí)，UEP與SEP重合，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)微小的擾動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致飛機(jī)的失穩(wěn)；繼續(xù)增加結(jié)冰程度(η>0.217)，此時(shí)系統(tǒng)SEP轉(zhuǎn)變?yōu)閁EP即系統(tǒng)穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生變化，而系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)沿速度減小方向逐漸遠(yuǎn)離原工作點(diǎn)，即系統(tǒng)工作狀態(tài)發(fā)生漂移，此時(shí)飛機(jī)仍然處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，但在此結(jié)冰程度情況下，飛機(jī)的飛行因喪失對(duì)原平衡狀態(tài)的抗干擾能力而顯得十分危險(xiǎn)(將在后文進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明)。

3.3 基于穩(wěn)定域的結(jié)冰飛機(jī)動(dòng)態(tài)性能分析

隨著飛機(jī)結(jié)冰程度的加劇飛機(jī)的飛行穩(wěn)定性將發(fā)生變化，因此根據(jù)結(jié)冰飛機(jī)飛行穩(wěn)定性是否發(fā)生變化定義積冰對(duì)飛機(jī)影響的嚴(yán)重程度具有一定的意義，也從本質(zhì)上反映出結(jié)冰的危害程度。

對(duì)于本文研究的飛行器而言定義飛機(jī)結(jié)冰后工作狀態(tài)不發(fā)生漂移(SEP不變、飛行穩(wěn)定性不變)的情況為輕度結(jié)冰情況，此時(shí)結(jié)冰因子η<0.217；定義結(jié)冰飛機(jī)工作狀態(tài)發(fā)生漂移(SEP轉(zhuǎn)變?yōu)閁EP、飛行穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生變化)的情況為嚴(yán)重結(jié)冰情況，此時(shí)結(jié)冰因子η>0.217。下面利用高階NF法給出兩種結(jié)冰情況對(duì)飛行安全的威脅。

3.3.1 飛機(jī)輕度結(jié)冰情況

以著陸階段飛機(jī)輕度結(jié)冰為例，分析輕度結(jié)冰的危害，選擇結(jié)冰因子η=0.1進(jìn)行分析。根據(jù)3.2節(jié)分析可知，飛機(jī)輕度結(jié)冰后，工作點(diǎn)SEP不會(huì)發(fā)生漂移，即飛機(jī)仍能保持原工作狀態(tài)不變，但如果此時(shí)飛行員增加桿力使飛機(jī)快速改平，則飛機(jī)將面臨失速危險(xiǎn)，其飛行仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9為著陸拉平減速階段飛機(jī)輕度結(jié)冰后的運(yùn)動(dòng)情況。圖中黃線為干凈飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況，而對(duì)于輕度結(jié)冰飛機(jī)而言，相同的操縱情況下使結(jié)冰飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況首先沿黃線運(yùn)動(dòng)后繼續(xù)沿紅線運(yùn)動(dòng)，最終導(dǎo)致飛機(jī)失穩(wěn)。原因是相同的操縱情況對(duì)于干凈飛機(jī)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)始終位于穩(wěn)定域范圍內(nèi)，而對(duì)于輕度結(jié)冰(η=0.1)飛機(jī)，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穿越其穩(wěn)定域，飛機(jī)進(jìn)入不穩(wěn)定飛行狀態(tài)，如不采取措施最終將導(dǎo)致飛行事故。綜上所述，輕度結(jié)冰導(dǎo)致飛機(jī)非線性穩(wěn)定域縮小，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性變差、抗干擾能力減弱、可操縱性變差。

下面給出高階NF法中相關(guān)參數(shù)w(x)w(xsep)對(duì)飛行狀態(tài)穩(wěn)定性判斷的方法。

圖10為飛行過(guò)程中參數(shù)w(x)w(xsep)的變化情況，根據(jù)2.4節(jié)所述，對(duì)于干凈飛機(jī)飛行過(guò)程中始終滿足w(x)w(xsep)>0，因此干凈飛機(jī)的飛行是安全穩(wěn)定的；對(duì)于輕度結(jié)冰(η=0.1)飛機(jī)在臨界穩(wěn)定時(shí)間tc(critical time)以前參數(shù)w(x)w(xsep)>0，而當(dāng)飛行時(shí)間t>tc時(shí)，參數(shù)w(x)w(xsep)<0，飛機(jī)進(jìn)入不穩(wěn)定飛行狀態(tài)，如不采取措施最終將導(dǎo)致飛行事故，綜上可知利用參數(shù)w(x)w(xsep)的飛行穩(wěn)定性分析結(jié)果與利用NF法繪制穩(wěn)定域的直觀分析方法相同，而參數(shù)w(x)w(xsep)給出了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與穩(wěn)定邊界之間的定量關(guān)系，分析過(guò)程不需借助圖像，方法簡(jiǎn)單。

圖9 輕度結(jié)冰后飛行動(dòng)態(tài)
Fig.9 Flight dynamic of aircraft with mild icing

圖10 基于NF法的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析
Fig.10 Stability analysis of movement by NF method

3.3.2 飛機(jī)嚴(yán)重結(jié)冰情況

以著陸階段飛機(jī)嚴(yán)重結(jié)冰為例，分析嚴(yán)重結(jié)冰的危害，選擇結(jié)冰程度η=0.25進(jìn)行分析。根據(jù)3.2節(jié)分析可知，飛機(jī)嚴(yán)重結(jié)冰后，工作點(diǎn)SEP會(huì)發(fā)生漂移，原工作點(diǎn)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，即飛機(jī)很難維持原工作狀態(tài)，飛機(jī)受微小擾動(dòng)將進(jìn)入失穩(wěn)或趨近于另一平衡狀態(tài)，但如果飛機(jī)經(jīng)擾動(dòng)后系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定工作狀態(tài)，由于工作發(fā)生漂移，為保持原有工作狀態(tài)，飛行員將進(jìn)行相應(yīng)的操縱，此時(shí)的操縱將成為飛機(jī)失穩(wěn)的致命因素，上述情況的飛行仿真結(jié)果如圖11所示。

圖中UEP為原工作點(diǎn)，SEP為嚴(yán)重結(jié)冰后飛機(jī)的新穩(wěn)定平衡點(diǎn)。藍(lán)線為擾動(dòng)后狀態(tài)位于穩(wěn)定域外時(shí)飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況，由于狀態(tài)位于穩(wěn)定域之外，飛機(jī)在此后的運(yùn)動(dòng)將迅速失穩(wěn)；綠線為擾動(dòng)后狀態(tài)位于穩(wěn)定域內(nèi)飛行員不進(jìn)行操縱時(shí)飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況，此時(shí)飛機(jī)將改變工作狀態(tài)進(jìn)入新的穩(wěn)定情況；紅線為擾動(dòng)后狀態(tài)位于穩(wěn)定域內(nèi)飛行員進(jìn)行操縱時(shí)飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況，由于新的狀態(tài)變化較大，飛行員進(jìn)行操縱以保持原飛行狀態(tài)，此時(shí)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穿越穩(wěn)定域，飛機(jī)將面臨失速的危險(xiǎn)。利用參數(shù)w(x)w(xsep)對(duì)嚴(yán)重結(jié)冰危害的分析過(guò)程與輕度結(jié)冰類似且同樣可以得到上述結(jié)論，在此不進(jìn)行重復(fù)說(shuō)明。

圖11 嚴(yán)重結(jié)冰情況后飛行動(dòng)態(tài)
Fig.11 Flight dynamic of aircraft with severe icing

綜上所述，在嚴(yán)重結(jié)冰情況下，飛機(jī)受到小擾動(dòng)后，飛機(jī)將面臨失速的危險(xiǎn)，原因是嚴(yán)重結(jié)冰導(dǎo)致飛機(jī)在該工作點(diǎn)的穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生變化，惡化了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性能，使系統(tǒng)喪失了在原平衡狀態(tài)的抗干擾能力、且可操縱范圍大大縮小。

4 結(jié) 論

本文基于高階NF法研究了飛機(jī)的穩(wěn)定域變化情況，并利用參數(shù)w(x)w(xsep)分析了不同結(jié)冰程度對(duì)飛機(jī)飛行安全產(chǎn)生的威脅，得到如下結(jié)論：

1) 高階NF法可得到穩(wěn)定邊界的解析表達(dá)式，所估計(jì)的穩(wěn)定邊界具有較高精度，且適用于飛機(jī)結(jié)冰情況的穩(wěn)定域研究。

2) 高階NF法中參數(shù)w(x)w(xsep)可作為評(píng)估系統(tǒng)飛行安全性的指標(biāo)，用于分析結(jié)冰程度對(duì)飛行運(yùn)動(dòng)的影響具有一定的優(yōu)越性。

3) 不同結(jié)冰程度對(duì)飛機(jī)飛行穩(wěn)定性質(zhì)產(chǎn)生不同的影響，以此為依據(jù)定義輕度結(jié)冰和嚴(yán)重結(jié)冰情況，該定義方法從本質(zhì)上反映出結(jié)冰對(duì)飛行安全的影響程度，因此該定義方法具有一定的科學(xué)性和可行性。輕度結(jié)冰導(dǎo)致飛機(jī)穩(wěn)定域收縮、動(dòng)態(tài)性能下降，抗干擾能力減弱；嚴(yán)重結(jié)冰情況導(dǎo)致飛機(jī)在平衡狀態(tài)的飛行穩(wěn)定性質(zhì)發(fā)生變化，動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性能惡化，喪失了對(duì)該工作點(diǎn)的抗干擾能力。

4) 飛機(jī)結(jié)冰對(duì)飛行安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅，尤其是在未察覺(jué)飛機(jī)結(jié)冰情況下，飛行員的操縱是加快結(jié)冰飛機(jī)失穩(wěn)的主要原因和決定性因素。

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(責(zé)任編輯： 李明敏)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20161103.1633.004.html

Nonlinearstabilityregionoficingaircraftduringlandingphasebasedonnormalformmethod

ZHENGWuji,LIYinghui*,QULiang,XUHaojun,YUANGuoqiang

AeronauticsandAstronauticsEngineeringCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710038,China

Icingcancauseflightenvelopeshrinkandthusposesagreatthreattoflightsafety;therefore,researchonnonlinearstabilityregionofanaircraftaftericingissignificantlyimportantforthedesignofflightenvelopeprotectionsystemandtheimprovementflightsafety.Atransportistakenasanobjectofthisstudy.Takingthenonlinearaerodynamiccharacteristicsintoaccount,thelongitudinalnonlineardynamicmodelwithstabilityaugmentationcontrolisobtained.Basedonthetheoryofmanifoldandnormalform,thelongitudinalnonlinearstabilityboundaryanditsanalyticexpressionareobtained.Viadynamicsimulation,thestabilityboundarybasedonnormalformisjustifiedtobefeasibleandaccurate.Finally,icingfactorimpactingonaircraftstabilityregionandthemechanismforaccidentsofanicingaircraftisstudiedatthelandingphase.Resultsshowthatmildicingconditioncancausetheshrinkofnonlinearstabilityregion,whilesevereicingconditioncanchangetheaircraftstability.Whenicingofanaircraftisnotdetected,regularmanipulationcanresultinflightaccidentastheaircraftstatecanbeoutoftheicingnonlinearstabilityregion.Theresultscanprovidesomereferenceforflightenvelopeprotectionundericingcondition.

aircrafticing;stabilityregion;nonlinear;normalformtheory;transportaircraft

2016-08-25；Revised2016-09-20；Accepted2016-10-25；Publishedonline2016-11-031633

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2016-08-25；退修日期2016-09-20；錄用日期2016-10-25； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

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國(guó)家自然科學(xué)基金 (61374145)； 國(guó)家“973”計(jì)劃 (2015CB755805)

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V328

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