談“解決問題”教學“數量關系”的關鍵性

范文武

【摘要】 “數量關系”是從一類有共同規律的數學問題中總結出來的，揭示某些數量之間的本質聯系，并以關系式的形式來表示這種聯系。“數量關系”是學生“解決問題”的一個有效工具，是發展學生思維能力，培養學生創新能力的有利載體，學生在“解決問題”中需要“數量關系”做理論基礎和思維支撐。讓學生明白“數量關系”，對培植學生數學觀念十分重要，掌握了“數量關系”就會使學生對數量的認識從感性認識上升到理性認識，從而為他們走入數學王國奠定基礎。

【關鍵詞】 解決問題 數量關系 關鍵性

【中圖分類號】 G623.5 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）10-019-02

小學《數學課程標準》中指出，“應使學生經歷從實際問題抽象出數量關系并運用所學知識解決問題的過程”。

“數量關系”是從一類有共同規律的數學問題中總結出來的，揭示某些數量之間的本質聯系，并以關系式的形式來表示這種聯系。“數量關系”是學生“解決問題”的一個有效工具，是發展學生思維能力，培養學生創新能力的有利載體，學生在“解決問題”中需要“數量關系”做理論基礎和思維支撐。讓學生明白“數量關系”，對培植學生數學觀念十分重要，掌握了“數量關系”就會使學生對數量的認識從感性認識上升到理性認識，從而為他們走入數學王國奠定基礎。

課改前的“應用題”教學過于重視“數量關系”的分析，忽視了學生發現問題、提出問題的過程，以及解決實際問題的能力；課改后的“解決問題”教學將重心過多地放在數學問題生活化，以及對信息的收集、整理上，反而對“數量關系”的形成與分析顯得比較單薄，導致教學從“生活情境”直接走向“實際應用”，忽視了“數量關系”形成這個重要的數學建模的過程。

一、案例分析

教學疑問：相對同一個練習里的其它題目，為什么這道題的列式錯誤率明顯偏高？

原因分析：心理學先入為主原則，第一次學習建立起來的“模型”表象，不僅會給學生留下深刻的印象，而且還具有導向作用。在一至四年級的除法“解決問題”中，都是被除數大于除數。有些老師教學時忽視“數量關系”的分析，缺少“平均每分鐘付費多少錢？”和“平均一元錢可以通話多少分鐘？”的對比練習，甚至有些老師為了追求成績，直接告訴學生：“記住你就用大數除以小數！”以至于到了五年級形成不分析“數量關系”憑直覺列式的壞習慣。

由此可見，只要求學生進行“列式解答”，而不分析“數量關系”，學生極容易出現僵化的思維定勢，要么“知其然而不知其所以然”，要么“不知所以然”。這就要求我們在“解決問題”時要先確定題目的“數量關系”，然后根據“數量關系”列式解答。

二、“數量關系”的類型

在中、低年級課程里，“數與代數”領域一步計算的“解決問題”的“數量關系”都起源于現實生活，產生于四則運算的意義，形成于對同一類現象的分析、比較、抽象和概括，我們把它們稱為基本“數量關系”。兩步計算的“解決問題”的“數量關系”又是由幾個基本“數量關系”經過交錯組合而形成的，我們把它們稱為復合“數量關系”。我們把這兩類統稱為一般“數量關系”。

在中、高年級課程里，“圖形與幾何”領域一步計算的“解決問題”的“數量關系”都基于圖形的計算公式，我們把它們稱為公式“數量關系”。兩步計算的“解決問題”的“數量關系”是公式“數量關系”和基本“數量關系”的組合。

在高年級課程里，“數與代數”領域的列方程解決問題，需要根據題意的敘述抽象概括出有關“等量關系”的等式。我們把這兩類統稱為特殊“數量關系”。

梳理小學階段的“解決問題”，“數量關系”的類型整理如下：

三、“數量關系”的建構

筆者在解讀“解決問題”三步教學模式時，“分析與解答”完成兩件事：數量關系、列式計算，以此加強“解決問題”教學時“數量關系”的分析。

在教學過程中四則運算意義的教學非常重要，我們要結合具體情境加強對四則運算意義的理解，通過積累和歸納，溝通數學問題與四則運算的聯系，建立基本“數量關系”的模型，提升學生分析問題、解決問題的能力。

（一）基本“數量關系”

在教學時完成了第一步的“示意圖”后，老師緊接著手指“示意圖”，通過問：要求“一共有幾只兔子？”和“原來有多少個口哨？”就是要怎樣？引導學生明確就是把“左邊的兔子和右邊的兔子合起來”，和把“領走的口哨和還剩的口哨合起來”。在滲透加法的意義“把兩個數合并成一個數的運算”的同時，建構出了題目的“數量關系”：“左邊+右邊=一共”和“領走的+剩下的=原來的”，這里雖然加法“數量關系”的模型沒有抽象出來，但是學生在分析和操作的過程中已經形成了一個表象：“部分數+部分數=總數”。需要強調的是，教師在教學時要引導學生從題目自身的情境出發去構建，而不是概括抽象的數量關系式。

（二）復合“數量關系”

教材循序漸進地呈現兩步計算的“解決問題”，也為兩步計算“解決問題”的“數量關系”建構提供了“跳板”。

二（上）32頁例5要解決兩個問題，第一個問題是第二個問題的基礎。教學第一步的“示意圖”時，可以先讓學生嘗試著自己畫；教學第二步時，可以讓學生根據“示意圖”找到題目的“數量關系”：“女生人數-男生比女生少的人數=男生人數”和“女生人數+男生人數=小組人數”，并根據“數量關系”列式計算。為了滲透兩步計算的解題策略，解答完之后教師可以把第一個問題“男生有多少人？”去掉，只留下“美術興趣小組一共有多少人？”問學生：如果只求“美術興趣小組一共有多少人？”你們能直接解答嗎？為什么？追問：那想求“美術興趣小組一共有多少人？”就要先求什么？學生在抽象變化中明白了兩步“解決問題”的關鍵所在。

三（下）52頁例3是連乘法“解決問題”，教學第一步的“示意圖”可以老師引領著畫；教學第二步時，可以讓學生根據“示意圖”想一想：要想求“一共賣了多少錢？”要先求什么？再讓學生根據自己的思路確定“數量關系”和列式計算。

在小學中、高年級課程里，“解決問題”的公式“數量關系”出現在“圖形與幾何”領域，有時是單獨出現（一步），有時是和基本“數量關系”聯合出現（兩步）。特殊“數量關系”則更多出現在方程“解決問題”和分數“解決問題”之中。

（三）公式“數量關系”

五（上）88頁例1是一道一步計算的“解決問題”，平行四邊形的面積公式：s=ah其實就是“數量關系”。解題時一定要先想這道題目的公式“數量關系”是什么？再解答。

六（上）68頁例1是一道三步計算的“解決問題”，用到了兩個“數量關系”，一個是公式“數量關系”：πr2=s，一個是基本“數量關系”：每份數×份數=總數（單價×數量=總價）。教學時要先思考“先求什么？再求什么？”，再確定對應的“數量關系”，并列式計算。

（四）等式“數量關系”

例2是方程“解決問題”，方程“解決問題”的解答關鍵是找準等量“數量關系”，學生根據“示意圖”確定“數量關系”，這里的“數量關系”不止一個，教師要引導學生依照題意選擇最容易理解和最容易列式解答的“數量關系”。

例4是分數“解決問題”，分數“解決問題”的解答關鍵是找準等量“數量關系”和判斷單位“1”是否知道？這道題目有多余信息，在確定“數量關系”時，其實就已經排除了多余信息。可見在“解決問題”分析題意中要求學生先確定題目的“數量關系”，然后再根據“數量關系”解答問題多么的關鍵。

“數量關系”貫穿小學數學“解決問題”的始終，在“解決問題”的教學過程中，教師要注意加強學生對“數量關系”的分析，讓學生從分析“數量關系”的角度來建立數學模型。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.

[2]義務教育數學課程標準（2011年版）解讀.endprint