淺談函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系

楊美香　陳向陽(yáng)

【摘 要】函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)的重難點(diǎn)，準(zhǔn)確把握三者的關(guān)系是學(xué)好微分學(xué)的關(guān)鍵，本文就函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系進(jìn)行歸納整理，有利于更準(zhǔn)確地理解函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；連續(xù)；可導(dǎo)；可微

0 引言

函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)的重難點(diǎn)，準(zhǔn)確把握三者的關(guān)系是學(xué)好微分學(xué)的關(guān)鍵，而這正是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難以理解易于混淆的重要知識(shí)點(diǎn)，本文具體就函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系進(jìn)行歸納整理，對(duì)準(zhǔn)確有效的理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系起到重要的作用，讓高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者對(duì)此理解得更透徹。

1 一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系

1.1 可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)

定理1 若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f（x）在該點(diǎn)處必連續(xù)；反之，不成立。

證明：因=f'（x），由函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系得=f'（x）+α，其中α=0于是Δy=[f'（x）·Δx+α·Δx]=0，因此，函數(shù)y=f（x）在該點(diǎn)處必連續(xù)。

但反之，連續(xù)未必可導(dǎo)。

例如函數(shù)f（x）=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但極限==不存在，即函數(shù)f（x）=|x|在點(diǎn)x=0不可導(dǎo)。

1.2 可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)，即可導(dǎo)與可微等價(jià)

定理2若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f（x）在該點(diǎn)處必可微；反之也成立。

證明：由于函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，有=f'（x），由函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系得=f'（x）+α，其中α=0，于是Δy=f'（x）·Δx+α·Δx，=α=0，即α·Δx=o（Δx），由可微的定義知，函數(shù)在點(diǎn)x處可微。

反之，若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處可微，即Δy=A·Δx+o（Δx），得==A，即函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)。即一元函數(shù)中可導(dǎo)與可微等價(jià)。

3 二元函數(shù)及二元以上函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）、可微的關(guān)系

3.1 可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）未必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）

例1函數(shù)f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在點(diǎn)（0，0）處對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在該點(diǎn)函數(shù)不連續(xù)。

解：fx（0，0）==0=0 f（0，0）=

但f（x，y）==，即極限f（x，y）不存在

因此，函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處不連續(xù)，即多元函數(shù)中偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)不連續(xù)。

例2函數(shù)f（x，y）=在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，但在該點(diǎn)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)不存在。

解：由于f（x，y）==0=f（0，0），故函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)；但因=，=，極限都不存在，即函數(shù)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在

3.2 可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）未必可微，但可微必可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）

例3函數(shù)f（x，y）=x+y≠0 0 x+y=0在點(diǎn)（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微[1]。

解：fx（0，0）==0=0，同理，fy（0，0）=0，但=≠0，即在該點(diǎn)不可微。

定理3如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)，必定存在，且函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分微為dz=dx+dy[1]。即可微必可導(dǎo)

3.3 可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)存在）且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)必可微

定理4如果函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分[1]。

4 結(jié)論

一元函數(shù)可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；可導(dǎo)與可微等價(jià)。對(duì)于多元函數(shù)，可導(dǎo)未必連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)；可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)未必可微；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則必可微。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]滕勇，付連魁，黃江.高等數(shù)學(xué)（上、下冊(cè)）[M].東北大學(xué)出版社，2006.endprint