基于VaR的最優金融投資問題

何世宇　譚紅　任意飛

【摘 要】本文運用VaR即在險價值的概念，針對現實生活中的金融投資問題，運用歷史數據模型和偏t正態分布模型對公司下一個收益周期的收益情況進行預測，并給出最優的投資金額。運用歷史數據方法得出，在投資1000萬元的前提下能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少9萬元，并且若使一個周期內 VaR>=10萬元的可能性不大于5%，初始投資額最多應為1111.11萬元。運用偏t正態分布模型得出，當投資1000萬元時，可以保證虧損值在95%的置信區間內，不超過7.95萬元；如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為1257.86萬元。

【關鍵詞】金融投資；非參數檢驗；歷史數據模擬法；VaR

Research on the optimal financial investment base on the VaR

HE Shi-yu Tan Hong Ren Yi-fei

（Department of Computer and Information， Hohai University College，Nanjing Jiangsu，211100，China）

【Abstract】Uses the VaR（Value at Risk） to solve the financial problem in our daily life. We use the historical data model and skewed distribution model to forecast the profit of the next financial period， and provide the best plan to invest. Use the historical data model can draw a conclusion that when the confidence is 95% and put 10 million. The lost no more than 90 thousand yuan. If we want to control the lost under 100 thousand yuan， the best plan is investing 11.1111 million yuan. Use the skewed distribution model can draw a conclusion that when the confidence is 95% and put 10 million. The lost no more than 79.5 thousand yuan. If we want to control the lost under 100 thousand yuan， the best plan is investing 1257.86 million yuan.

【Key words】Financial investment；Non-parametric test；Historical data model；Skewed distribution model；VaR

0 前言

如今，金融投資可謂與我們生活息息相關，通過合理的資產配置，投資者會獲得良好的回報。而就企業而言，投資過程中風控顯得尤為重要。某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個問題：

1）準備用數額為1000萬元的資金投資某種金融資產（如股票，外匯等）。它必須根據歷史數據估計在下一個周期（如1天）內的損失的數額超過10萬元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保證損失的數額不會超過多少。

2）如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為多少。

給出該公司在過去一年255個交易日的日收益額（單位為萬元）的統計數據， 假定每天結算一次，保持每天在市場上的投資額為1000萬元。（具體數據見河海大學數學建模練習題）

1 模型一：歷史數據模擬模型

歷史數據模擬是最方便快捷的非參數求解VaR方法。其原理是用給定歷史時段上所觀測到的市場因子變化來表示市場因子的未來變化， 采用全值估計方法即根據市場因子的未來價格水平對資金進行重新估計 ， 計算出資金的價值變化，最后將損益從小到大排列得到損益分布， 通過置信度T分位數求VaR。

至此我們可以得到公式：

Li/N=α（2）

其中Li：收益額從小到大排序對應的序列號；N：表示總的交易日。

首先，我們要對所給的255個交易日進行排序，排序的結果見表1：

表1 收益額升序排名

由表中數據可知，在255個交易日中，收益為-10萬元以上的次數有8個，帶入公式（2）中，算得p為3.14%。

之后，我們將概率p固定，解方程x/255=p=5%，求得x=12.75，我們比較表1中排名第12和13位的數據，兩者VaR相等，為-9萬元，有此可得出結論：以95%的置信度保證VaR<=9萬元。

經過查閱資料可知，在購買量大于一定數量的情況下，不考慮中介收取的交易服務費，股票與外匯的收益與投資量成正比。因此，我們通過比例關系可以得出，在一個周期內VaR>=10萬元的可能性不大于5%的情況下，初始投資額最多應為1111.11萬元。

雖然歷史數據模擬法方便計算便于理解，但由于其對數據的依賴程度大，即靈敏度過高，其中一個數據的改變可能會對結果產生很大的影響，而且精確度不高因此我們需要建立一個更加可靠的模型。在此之前，我們需要對數據進行一些處理分析。

2 數據處理和分析endprint

由于題目給出的數據較多，我們首先對數據進行預處理，判斷這些數據是否符合某種已知的分布，由于正態分布在日常生活中比較常見，我們首先判斷其是否符合正態分布。

首先我們通過MATLAB的hist函數畫出該組數據的頻數直方圖（見圖1），判斷其大體趨勢符合正態分布：

之后我們使用cftool對該直方圖進行正態擬合得出下圖：

該擬合的擬合度R^2=0.6292 ，擬合度較差，最后使用SPSS進行非參數檢驗，得出結果如下表：

由表中的漸進顯著性參數（Asymp. Sig）可得知，其取值為0.028，小于極限值0.05，顧不屬于正態分布，其特點是“尖峰厚尾”，對此，我們通過查閱資料，建立了如下模型。

3 模型二：偏t正態分布模型

偏t正態分布模型具有尖峰厚尾特征，因此可以更好的擬合該題所提出的數據，偏t正態分布的密度函數可以表示為：

其中tv為自由度為v的分布，Φ（·）是標準正態分布函數，參數ε，？酌∈R，σ>0，分別是位置參數，形狀參數和尺度參數，偏t正態分布記為X～STN（ε，σ2，？酌，v）。顯然，當自由度v→∞時，上述概率分布函數即為SN分布的概率密度函數。當偏度參數？酌=0時，將得到自由度為v的t分布的概率密度函數，當自由度v→∞和？酌=0時，該分布為正態分布。經過查閱資料，本文討論自由度為5的情況，當自由度未知時，可通過極大似然的方法來對其進行估計。在偏正態分布中，有：

其中，V～gamma.

通過matlab我們畫出了分布函數：

通過計算，我們得出數據的均值ε=7.4863，標準差σ=9.8520，偏度φ=-0.1307，峰度δ=3.2195，最大值max=33，最小min=-25。

由此我們計算得出下一個周期內的損失的數額超過10萬元的可能性為4.48%，以95%的置信度保證損失的數額不會超過9.35萬元，并且如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為1069.5萬元。

4 結論

針對第一問，我們分別建立了歷史模擬法和偏t正態分布兩種模型，用歷史模擬法求出在下一個周期內的損失額超過10萬元的可能性為3.14%，以95%的置信度保證損失的數額不會超過9萬元，如果要求在一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應為1111.11萬元；運用偏t正態模型求出的在下一個周期內的損失額超過10萬元的可能性為4.48%，以95%的置信度保證損失的數額不會超過9.35萬元，在下一個周期內的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資最多應為1069.5萬元。

【參考文獻】

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[3]朱志娥.《偏t正態數據下混合線性聯合位置與尺度模型的參數估計》，高校應用數學學報，2016.31（4）：379-389.endprint