明確高考數學試題特點 增強復習教學目標意識
——近五年高考理科數學全國Ⅰ卷試題分析與復習教學建議

王欽敏 余明芳

（福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

明確高考數學試題特點 增強復習教學目標意識
——近五年高考理科數學全國Ⅰ卷試題分析與復習教學建議

王欽敏 余明芳

（福建教育學院數學研修部，福建 福州 350025）

對近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷試題的內容進行統計分析，指出高三數學總復習教學中教師應著重增強的三個目標意識：立足基礎突出主干，構建完整知識體系；運算推理兩翼并重，增強求變轉化意識；通法為主特技為輔，力促解證周密有序。

高考數學；試題統計分析；復習教學；目標意識

近五年高考數學全國新課標Ⅰ卷在命題理念與試題特點方面，具有很強的穩定性和連貫性，對其的理科試題內容進行統計分析，有助于廣大教師進一步明確高考理科數學全國新課標Ⅰ卷試題特點，增強高三理科數學教學工作的針對性。

一、關于近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷試題內容與特點的統計分析

整體上看，近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷均遵循了《普通高中課程標準（2003實驗）》的要求，以歷年普通高等學校招生全國統一考試大綱及其說明為依據，對考生的數學知識與數學思維能力進行了綜合考查。逐類分析，可以發現試卷在所考查的知識內容的特點與題量分布等方面具有以下一些統計特征：

試卷的前9道選擇題與第1道填空題，所涉及的概念與知識較少，但解題時都需要進行運算與推理，過程并不簡單，因而，試卷在考查數學基礎知識時仍然十分關注數學思維能力的考查。統計可知，近五年試卷在這10道試題中高頻考查的知識點有：集合、復數、概率、程序框圖、雙曲線、函數、三視圖、向量等，具體內容按年記錄如下：

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試卷的后3道選擇題與后3道填空題，所涉及的概念與知識較多，解題時大都需要進行較復雜的運算與推理。統計可知，試卷在這6道試題中高頻考查的知識點有：圓錐曲線、導數、數列、三角函數、幾何計算等，具體內容按年記錄如下：

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整體地看，試卷在選擇題與填空題高頻考查的知識點有：集合、復數、概率、程序框圖、三視圖、線性規劃、二項式、函數、三角函數、幾何計算、向量、圓錐曲線、導數等，具有很強的穩定性和連貫性，使高三數學復習教學內容有具體明確的范圍。

近五年試卷在解答題部分，3次考查了正余弦定理的應用問題，2次考查了數列的計算問題，各年均考查了立體幾何、概率與統計、解析幾何、函數與導數等問題。

解答有關正余弦定理應用問題，需要考生能靈活運用正、余弦定理進行邊角互換，能通過對已知數式變形化簡求得三角形周長等數值；解答數列計算問題，需要考生具有較強的求變意識與化歸能力，能熟練處理數列通項an與前n項和Sn的關系式，掌握數列求和的常用方法，熟悉有關存在性問題的探究與證明思路。

5道立體幾何解答題中，所給幾何體的圖形底面均為菱形、矩形或正方形（如圖），試題第1問在近三年試卷中都是關于面面垂直的證明問題，第2問都是求線線、線面或面面所成角正、余弦值的計算問題。

5道概率與統計解答題的，閱讀量都很大，并有增多趨勢，其中，2017年的試題文字數量超過500個。各年試題的主要知識背景先后為：抽樣；頻率分布直方圖；散點圖；柱狀圖；正態分布，所要解答的問題涉及面廣，需要考生能耐心閱讀細致分辨，具備較強的數據處理和運算能力。各年試題涉及的知識內容記錄如下：

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5道解析幾何試題的解答難度相對以往福建自主命制的而言都有所降低，其中1道與拋物線有關，另4道均與橢圓有關且其中有2道出現圓的內容，有出現圓的內容，問題的圖形都比較復雜，需要予以充分重視。

有關函數與導數的5道解答題，題干都比較簡單，題設給出的函數解析式中頻繁出現ex與lnx，出現ex的有4道，出現lnx的有2道，函數圖象多為單峰；需要解答的問題涉及不等式證明、求取值范圍與求最值等，有3道需要解答與零點有關的問題。

選答題中的“坐標系與參數方程”問題，題設中出現參數方程的有4道，出現極坐標的有3道，第1問均有坐標或方程的互化問題，第2問中出現求最值問題的有2道。

選答題中的“不等式選講”問題，有4道題在題設中出現含2個絕對值的函數，有7個問題與求解集或求取值范圍有關。

二、高三數學總復習教學工作中應增強的三個目標意識

相對各省自主命題的試卷而言，近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷對基礎知識的考查更加全面系統，對數學思維能力的考查更為自然地滲透在各個問題的解答過程中，試卷在考查應用數學知識能力的同時，更深入地考查了學生對數學思想方法理解和掌握的程度，以更多的方式考查了學生在分析與解決問題時的求變意識與化歸能力。因此，在高三數學總復習教學工作中，教師應著重增強以下三個復習教學目標意識：

1.立足基礎突出主干，構建完整知識體系

從題量、分值與內容上看，近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷對解析幾何、函數與導數、向量與幾何、概率與統計等模塊的考查是全面與深入的。例如，解析幾何中的直線、圓、拋物線、橢圓和雙曲線等問題都是高頻考點，且多為壓軸問題；導數在函數中的應用問題多為選擇與解答題的壓軸題，與函數性質有關的問題是高頻考點，對三角與數列問題的考查則有相互彌補調和的特點：若試卷第1道解答題考查的是正余弦定理的應用，選填題部分就會出現1道有關三角函數圖象與性質的問題，還有2道以上的數列問題；若第1道解答題考查的是數列問題，選填題就會出現3道有關三角函數的問題。對概率與統計模塊的考查，都是選擇題與解答題各1道，選擇題多為概率計算，解答題則可能涉及到模塊內的所有知識，屬于中難題。

試題全面體現以能力立意的命題導向，需要考生具備更為扎實的知識基礎；試題對主干章節全覆蓋式的考查在題量與難易方面有明顯傾斜，需要考生對其章節內容有較深刻的系統認識，因而，“立足基礎突出主干，構建完整知識體系”是教師在高三復習教學中首要增強的一個目標意識。復習教學不僅要引導學生全面掌握各章節知識內容與基本方法，還要多渠道引導學生深刻理解核心概念，更廣泛地認識知識間的縱橫聯系，構建更完整的知識體系，進一步領悟章節知識所蘊含的主要思想，促使知識融會貫通，知識結構得到更新優化。幫助學生構建完整的知識體系，可以提高學生解題時的化歸能力，讓學生能迅速地找到與問題有關的可能用得上的公式與定理，更易于通過類比與聯想，將問題轉化為一個已解決的問題、一個更簡單的問題、一個更普遍或更特殊的問題。

（二）運算推理兩翼并重，增強求變轉化意識

運算與推理是解答高考每一道試題都需要的數學能力，也是導致考生出現解題障礙與題解錯誤的兩個主要因素，因而也是復習教學中必須關注與提升的主要思維能力。提升學生運算與推理的能力，需要讓學生在運算與推理中養成良好的思維習慣與品質，還需要增強學生在運算和推理時運用相關數學公式定理與思想方法的意識。例如，在一元二次函數、方程與不等式問題的運算與推理過程中，應有運用配方法、判別式法和韋達定理的意識；在數列問題的運算與推理過程中，應有運用基本量法、累加法、倒寫法、錯項和裂項相消法的意識；在三角形問題的運算與推理中，應有運用化異為同思想、正弦定理、余弦定理、面積公式等的意識，等等。運算與推理在解題思維中有相互依存與相互推進的關系，在復習教學中須兩翼并重，不可偏廢。

高考試題在考查運算與推理能力的同時，也在考查考生運用數學知識與思想方法的水平，進而考查考生的求變意識與化歸能力。命題變更是解決數學問題的基本思路，解題中需要進行的因果、數形、整零、和積與動靜等轉換，需要考生具備較強的求變意識，配方法、消元法、待定系數法、換元法、反證法、面積法、構造法、降次法、參數法、割補法、拼湊法等常用數學方法，以及模型化、簡單化、坐標化等重要數學思想在解題中的應用，都存在轉化與化歸的流程，需要考生具備一定的化歸能力。因而，致力強化學生解題時的求變意識與化歸能力，是教師在高三數學復習教學要增強的一個重要目標意識。例如，在圓錐曲線部分的復習教學中，要引導學生理解和掌握坐標化、簡單化等思想方法；在函數與導數部分復習教學中，要引導學生了解和體會化動為靜、化曲為直、化無限為有限等思想意識；在坐標系與參數方程部分的復習教學中，要從化歸與轉化思想的角度引導學生理解章節知識內容，等等。

（三）通法為主特技為輔，力促解證周密有序

相對而言，高考理科數學全國新課標Ⅰ卷壓軸題的解題技巧均有所減少，但在更多試題中考查了數學解題時中的求變意識與化歸能力，更加注重考查具有普適性的數學思想方法。因而，高三數學復習教學應增進學生關于數學基本思想方法的理解，提高學生在解題中運用數學思想方法的能力，讓學生在解題中能有意識地結合常用的數學思想方法對問題進行思考與分析。研究提高備考復習教學效益與學生考場答題水平的主要策略，是師生在高三數學復習教學中要增強的另一重要目標意識。通法為主特技為輔，在備考解題教學中更多地選取與常用數學思想方法相關的中難度習題，在講解時更多地揭示數學思想方法在問題解決過程中的引領與導向作用，逐步養成學生在思考分析問題時運用數學思想方法的意識、習慣與能力，是提高備考復習教學效益與學生考場答題水平的主要策略之一。

在高考中，大部分學生在中難題的解答中頻繁出現“會而不對”的現象，是備考復習教學和學生在考場上最需要關注的問題。周而不疏、密而不漏，是體現在數學解題過程中的大智慧，輕慢、懈怠與疏忽是解題時最需要克服的心理弱點，周密有序地進行運算與推理是最重要的考場答題策略，因而，力促解證周密有序，是教師備考復習教學中不可或忘的重要工作。力促解證周密有序，就是要養成學生縝密思維的習慣，使之在解題時能較快分辨未知數、已知數據、條件各是什么，能通過畫圖或引入適當的符號審清題意，能在解題中整體關注包含在問題中的所有概念，融合使用所有的已知數據與條件，懂得在易發生錯誤的地方放慢運算速度，力求推理步步有據，并在完成解答后懂得檢驗一些可疑的運算與推理步驟。

三、結語

在近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷中，很難發現有脫離中學數學知識體系的試題，沒有出現與遞推公式、函數的凹凸性、二階導數等內容有關的超綱試題，試卷更加注重考查高中數學的主干知識內容與基本思想方法，規避了許多沒有數學意義的偽問題，以及許多特殊的、無實際背景的、人為編造的問題，壓軸試題中也很少出現純粹形式演算與技巧演繹的問題。

無論是命題理念還是試題特點方面，近五年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷與各省自主命題的試卷都有很大差異，因而，教師在復習教學中應格外明確其試題特點，增強復習教學目標意識，加強高中數學主干知識與基本思想方法的教學，進一步研究提高備考復習教學效益與學生考場答題水平的主要策略。在解題教學中，不能一味地讓學生沒有目標地大量做題，而應選用有數學意義的好問題，大膽刪去練習和教輔材料中偏離章節知識系統思想指向的無意義問題，刪去那些無助于促進學生數學理解無助于學生掌握數學基本思想方法的問題，刪去超綱的怪題和純粹玩花樣與技巧的難題。

［1］張飴慈,王尚志,薛文敘.體現課標理念突出導向作用［J］.數學通報，2012（2）.

［2］張飴慈.解數學題不應是公式、規則的演繹游戲［J］.數學通報，2010（6）.

［3］楊恩彬.穩中求變，凸顯素養，貼近實際，彰顯品質［J］.福建教育:中學版，2016（8）.

（責任編輯：萬丙晟）