微課引路 互動通幽 理解建構

朱成燈

[摘 要] “農村初中數學微媒體下互動學習模式研究”課題組自2016年9月開始實踐和研究以來，取得一系列成果，本文結合“弧長及扇形的面積”的教學，對“三學互動”課堂教學模式下的公式教學進行初步梳理和反思：微課引路；互動通幽；理解建構.

[關鍵詞] “三學互動”；理解建構；公式教學

2016年度福建省基礎教育課程教學研究規劃立項課題“農村初中數學微媒體下互動學習模式研究”自2016年9月開題以來，按計劃扎實開展研究，取得階段性的成果. 2017年2月22日，課題組在筆者所在學校開展“三學互動”課堂教學模式專題研訓活動，推進了課題研究的進程. 筆者作為課題組的核心成員，利用“三學互動”課堂教學模式設計的“弧長及扇形的面積”得到大家的肯定和贊賞. 下面結合教學案例對“三學互動”課堂教學模式下如何開展公式教學進行簡單介紹，并對其設計思路進行梳理和反思.

教學分析

1. 教學背景

（1）標準分析

《全日制義務教育數學課程標準》（2011版）（以下簡稱《標準》）對本節課教學內容的要求如下：會計算圓的弧長、扇形的面積.可以看出“會”的同類詞是“理解”，是描述結果目標的行為動詞，即“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系”，因此，在教學過程中應引起教師的足夠重視.

（2）教材分析

本節課的教學內容是北師大版數學九年級下冊第三章“圓”中的第九節“弧長和扇形的面積”. 這是在小學已學習圓周長和面積計算、扇形的簡單知識和在前階段學完了與圓有關的知識的基礎上進一步探究弧長公式和扇形面積公式的推導過程及其在實際問題中的應用，是圓的有關計算中的一個重要問題，應讓學生感受類比、從特殊到一般的數學思想方法，并為學生今后的學習及生活更好地運用數學做準備.

（3）學情分析

學生已經學習了圓的有關基礎知識，有一定的知識水平和自主學習、解決問題的能力，但是筆者所在學校是一所農村中學，學生的數學學習水平參差不齊，大多數學生對數學的理解僅僅停留在計算和直接套用公式的水平，對稍難的數學問題缺乏深入思考和探索的勇氣. 因此，在教學中，筆者鼓勵并引導學生進行預學、獨立思考、合作互助、循序漸進，進一步探究弧長及扇形面積的計算公式和運用公式解決實際問題.

2. 教學目標

結合《標準》和教材結構與內容，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，制訂如下教學目標.

知識與技能：能推導，并熟記弧長、扇形面積的計算公式，理解公式中每個字母的含義，并能應用公式進行計算.

過程與方法：經歷用類比、聯想的方法探索弧長計算公式和扇形面積計算公式的過程，培養學生的自主探索能力.

情感態度與價值觀：通過預學、研學、助學，激發學生學習數學的興趣，提高其學習積極性.

3. 教學重、難點

從《標準》出發，在吃透教材的基礎上，確立了如下教學重點、難點.

重點：弧長、扇形面積計算公式的推導，并能應用公式進行計算.

難點：弧長和扇形面積計算公式的靈活運用.

4. 教法、學法

采用“三學互動”課堂教學模式，即讓學生通過課前個體預學、集體研學、群體助學，經歷數學公式發生、發展、形成的“再創造”活動，獲取廣泛的數學活動經驗，進而促進自身的發展.

凸顯學生主體地位：學生根據教師給出的任務清單，自主、主動地思考，尋找解決問題的途徑，完成教材閱讀、解讀微課（視頻）、當堂測試，并歸納和梳理知識的特點、知識間的聯系.

明晰教師主導作用：教師根據學生思維的起點預設問題，及時掌握課堂上生成的問題和存在的問題，針對性地組織研學、助學答疑解惑、歸納梳理.

教學過程

（一）第一環節：微課引路，個體預學

師生活動：課前，教師認真解讀教材內容，根據學生實際認知水平制作《弧長的計算公式煉成記》微視頻和學習任務單等學習材料，學生觀看微視頻進行自主學習，邊看邊思考，完成學習任務單，并在學習過程中記錄重要知識、方法和困惑.

學習任務單

1. 半徑為R的圓，周長是多少？圓可以看作是幾度圓心角所對的??？

2. 完成下面的表格.

（二）第二環節：探索新知，集體研學

1. 探究弧長計算公式

活動1：建構弧長計算公式

師生活動：學生相互交流自學中遇到的困惑. 教師巡查并參與交流，掌握學生的預學情況. 針對存在的疑惑，組織學生進行集體研討，請預學充分的同學到講臺前展示，其他學生補充，教師適當點撥或有針對性地講解. 通過討論得到結論：圓心角對于周角，弧長對于圓周長，都是部分對于整體的關系，弧所對的圓心角是周角的幾分之幾，那么弧長就是圓周長的幾分之幾，所以弧所對的圓心角與周角的比值等于它與圓周長的比值，用這個比值乘以圓周長就能

設計意圖 教師根據學生的預學情況，對學生生成的問題、存在的問題精心設計數學活動，組織學生集體研討，暴露思維過程，分享所思所想的成果. 教師對重難點知識進行指導性梳理，基于部分對于整體的關系，體會從特殊到一般再到特殊的認知過程，自主建構出弧長計算公式. 這樣能喚起學生的參與意識、問題意識，產生探究交流的學習渴望. 師生、生生之間互動研學、交流溝通，多次思維碰撞、反思，這樣獲得的知識會更深刻，也會為下面探究扇形的面積公式打下基礎.

活動2：應用弧長計算公式

例題 制作彎形管道時，需要先按中心計算“展開長度”再下料. 如圖1，試計算圖中所示的管道的展直長度，即弧AB的長（結果精確到0.1 mm）.

練習 （1）已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12 cm，求該扇形的弧長.endprint

（2）如果一條弧的長是π，半徑是6，求這條弧所對的圓心角度數.

（3）求圓心角為120°、弧長為12π的弧的半徑.

師生活動：學生先獨立思考，接著同桌交流，最后進行全班展示. 教師進行適時評價和點撥，并強調：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義.

設計意圖 通過例題和練習的剖析，在加深對弧長公式的理解基礎上，學生學會表達和交流，并學會創新應用弧長計算公式，熟練掌握公式中l，R，n三個量之間的換算關系，滲透方程思想.

2. 探究扇形的面積公式

活動1：建構扇形的面積公式

（1）教師引導學生類比探索弧長公式的方法，合作互助探究扇形面積公式.

（2）比較扇形面積公式和弧長公式，如何用弧長和半徑表示扇形的面積？

設計意圖 有了前面對弧長計算公式的探究，用部分和整體的思想，再去推導扇形面積公式，就迎刃而解了.在推導扇形面積計算的第二種方法時，要關注多種推導方法，鍛煉學生探索新知識的能力，讓其體驗成功的快樂，形成類比思維能力.

活動2：應用扇形的面積公式

（1）課本第101頁例2.

（2）已知扇形的圓心角為60°，扇形的面積為24π，則這個扇形的半徑是多少？

（3）已知扇形的半徑為2，扇形的面積為π，則這個扇形的圓心角是多少？

設計意圖 通過練習，學生能熟練掌握扇形面積公式中S，R，n三個量的轉化關系，只要知道其中兩個就可以求第三個，滲透方程思想.

（三）第三環節：鞏固提升，群體助學

活動內容：（1）如果扇形的半徑為9，弧長為4π，那么扇形的面積是______.

（2）在田徑二百米跑比賽中，有一段彎道是圓弧形的，它的半徑為20米，所對的圓心角是90°，你能求出這段彎路的展直長度嗎？ （π取3.14）

（3）已知圓上一段弧長為240π，半徑為180，則這段弧所對的圓心角的度數是______.

（4）如圖2，以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心、2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是______.

師生活動：學生先獨立思考，小組合作互助完成上面4個問題. 教師巡視，發現學生存在的典型錯誤，用投影儀展示部分學生有代表性的作品，并適時點評. 學生集體交流訂正答案后互講，并進行解后反思.

設計意圖 這四道習題涵蓋本節的知識點、疑難點、關鍵點，并且從易到難，注重考查學生對其中所蘊含的數學本質的理解，對學生基礎知識和基本技能達成情況進行評價. 通過教師助學、學生一對一的互助學習，能及時解決學生存在的問題，力爭做到“題題清、堂堂清、人人清”.

（四）第四環節：課堂反思，總結歸納

師生活動：教師引導學生回顧“弧長和扇形面積公式怎么來”“怎么記”“怎么用”，以及所包含的數學思想. 教師根據情況進行補充、糾正或點評，出示知識體系，并強調知識的重難點，及時激勵表現好的學生，樹立典型，使學習氛圍更加和諧.

設計意圖 引導學生在總結知識點的同時，注意推導數學公式的學習過程和所涉及的數學思想方法，學會表達和交流，使學生真正學會學習，提高分析、歸納、總結的能力.

（五）第五環節：課后作業

必做：課本第102頁第1、2、3題.

選做：課本第102頁第4題.

設計意圖 對作業進行分層，對不同的學生提出不同的要求，使“人人都能獲得良好的數學教育，使不同的人在數學上得到不同的發展”，從作業中了解學生基礎知識與基本技能的掌握情況.

（六）第六環節：板書設計

設計意圖 在多媒體的教學下，結構清晰、重點突出的板書具有不可替代的作用. 必要的板書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內容脈絡.

感悟與反思

1. 微課引路，個體預學

傳統的數學公式教學大多是教師講解、學生聽練的模式，停留在機械記憶、反復操練公式上，而對公式的形成過程不夠重視. 其實，數學公式教學應該讓學生經歷公式的形成過程，揭示公式的本質，掌握公式的結構特征. 在課堂教學中，受制于教學內容和時間，教師難以用大量的時間實施探究，因此，我們認為微課導學無疑是一種有效的途徑，能給學生自主預習提供十分便利、快捷的學習環境. 本節課教學前，筆者精心制作符合學生認知水平的短小精悍的微視頻——《弧長的計算公式煉成記》，配上2017年最火的民謠《成都》的伴奏音樂，為學生的預學創設生動活潑的教學情境. 課前，學生根據學習任務單，通過閱讀教材內容進行文本預學，同時觀看微視頻，思考教師推送的預設問題，將困惑的、不理解的問題記錄下來. 經歷了再現弧長的計算公式的探索過程，學生積極主動地參與高層次思維的過程性學習活動，感悟到部分與整體的思想，自主生成、主動建構了弧長的計算公式，積累活動經驗，內化知識間的聯系，前后連貫，使后面對扇形的面積公式的探究水到渠成.

2. 互動通幽，意外精彩

在建構扇形的面積公式活動中，通過集體交流討論，學生1指出：要求扇形的面積，可以先求圓的面積，再乘一個分數，這個分數就是圓心角的度數與周角的比值. 這一推導過程涵蓋整式、分式的運算，對運算的基本技能要求較高. 師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍和有效的學習活動，喚起了學生的參與意識、問題意識，暴露了其思維過程，分享其所思所想的成果，使得學生對知識的理解更深刻，生成不期而遇的精彩. 筆者為精彩生成喝彩，又及時因勢利導，讓學生經過對比、思考，總結出一個更具有普遍性的規律：在同圓中，圓心角的度數與周角的比值、圓心角所對的弧長與圓周長的比值、扇形面積與圓面積的比值是相等的. 這種部分與整體的關系是弧長、扇形面積有關計算的重要依據和數學思想，能使教學活動收到較好的效果.

結束語

“三學互動”課堂教學模式是數學教學內容與信息技術有機融合的產物，通過個體預學、集體研學、團體助學，完成所需知識的三次內化，形成學習共同體. 學生逐步學會學習、學會探究、學會合作、學會創造，這是農村學校提高課堂教學效益的有效途徑. 當然，教學是一門藝術，不應當也不能僅依賴一種教學方式來涵蓋它的全部功能. 在實際教學活動中，教師應注重學生的認知水平，根據課型和教學內容、教學條件等因素，采用各種教學方式的優勢與之深度融合，相互補充，相得益彰，形成自如駕馭課堂的教學風格.endprint