輔助函數法求解非線性偏微分方程精確解

楊 健，賴曉霞

(陜西師范大學 計算機科學學院，陜西 西安 710119)

輔助函數法求解非線性偏微分方程精確解

楊 健，賴曉霞

(陜西師范大學 計算機科學學院，陜西 西安 710119)

在數學和物理學領域，將含有非線性項的偏微分方程稱為非線性偏微分方程。非線性偏微分方程用于描述物理學中許多不同的物理模型，范圍涉及從引力到流體動力學的眾多領域，還在數學中用于驗證龐加萊猜想和卡拉比猜想。在求解非線性偏微分方程的過程中，幾乎沒有通用的求解方法能夠應用于所有的方程。通常，可依據模型方程的數學物理背景來先驗地假設非線性偏微分方程解的形式，并根據解的特點給出輔助方程。非線性偏微分方程可通過行波變換轉化為常微分方程，再借助輔助方程來求解常微分方程。為此，借助行波變換及輔助方程的求解思路對BBM方程和Burgers方程進行了研究，并獲得了其雙曲正切函數及三角函數形式的精確解。研究結果表明，所采用的方法可廣泛應用于若干在數學物理中有典型應用背景的非線性偏微分方程的精確解求解中。

非線性偏微分方程；輔助函數法；BBM方程；Burgers方程；精確解

0 引 言

非線性方程廣泛應用于物理學和應用數學的許多分支，尤其在流體力學、固態(tài)物理學、等離子物理和非線性光學等。非線性方程的解能夠揭示物理模型的許多性質。

為了求解非線性方程，提出了很多方法，如反散射變換法[1]、Hirota方法[2]、B?cklund變換法[3]、Darboux變換法[4]、對稱約化方法[5]、混合指數法[6]、齊次平衡法[7]、推廣的tanh法[8]、Exp-函數法[9-10]、橢圓函數法[11]、輔助函數法[12]等。

利用現代計算機符號計算系統(tǒng)來尋找非線性偏微分方程的孤立波解，這是當前一個十分活躍的研究領域。為此，將使用輔助函數法并且借助符號計算系統(tǒng)Maple，在研究兩個非線性演化方程BBM[13-14]和Burgers[15-17]的基礎上，獲得了精確解，并且給出了具體實現步驟。

1 輔助函數法

步驟1：將偏微分方程轉化為常微分方程。給定的偏微分方程為：

P(u,ut,ux,uxt,uxx,utt…)=0

(1)

函數u=u(x,t)包含兩個自變量x,t，引入波變換：

u(x,t)=φ(ξ),ξ=kx-ct

(2)

可將方程(1)轉化為常微分方程：

P(φ,φ',φ'',φ''',…)=0

(3)

步驟2：假設方程(3)的精確解具有如下形式：

(4)

其中，ai為待定系數；而冪級數的最高次冪m可通過平衡常微分方程的最高階導數項和非線性項來確定；f(ξ)滿足如下輔助方程：

f(ξ)'=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

則對應輔助方程的解有：

解1：

當λ=0,μ=0時，有：

(6)

解2：

當λ=0,μ>0時，有：

(7)

(8)

解3：

當λ=0,μ<0時，有：

(9)

(10)

解4：

當λ≠0,μ=0時，有：

(11)

解5：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時，有：

(12)

(13)

解6：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時，有：

(14)

解7：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時，有：

(15)

(16)

其中，C0為積分常數。

步驟3：通過常微分方程獲得非線性代數方程組。把假設的具有式(4)形式的解和輔助函數(5)帶入方程(3)中，合并f(ξ)的同次冪項，并令其各項系數和等于零，由此得到關于形式解(4)中各項的系數ai和c,k的一個非線性代數方程組。

步驟4：利用吳消元法求解代數方程組，確定待定量ai,c,k。

步驟5：將上面求得的ai帶入解(4)中，即可得到方程的形式解。

步驟6：將c,k分別帶入式(6)～(16)，得出的精確形式再帶入式(4)的形式解中，可最終獲得方程解的精確解。

從上可以看出，非線性代數方程組，不僅計算量大，而且可能無法直接求解，而吳消元法為其求解建立了完備的理論。利用吳消元法，并借助符號計算系統(tǒng)Maple使求解成為可能。

2 方法應用

2.1Benjamin-Bona-Mahonye方程

考慮如下形式BBM方程：

ut+αux+βuux-γuxxt=0

(17)

將式(2)帶入式(17)，將其轉化為常微分方程：

(α-ck)φ'+βφφ'+cγk2φ'''=0

(18)

其中，φ'=dφ/dξ。

平衡式(18)中的φφ'和φ'''兩項,得到等式m+3=2m+1，解得m=2。

于是，可設方程解的形式如下：

φ(ξ)=a0+a1f(ξ)+a2f(ξ)2

(19)

將式(19)和式(5)帶入式(18)，然后合并f(ξ)的同次冪項系數，得到非線性代數方程組：

(20)

求解式(20)可得：

(21)

其中，k,a2為任意常數。

將所求得的式(21)帶入式(19)中得到BBM方程的形式解：

(22)

再將式(6)～(16)的結果分別帶入式(22)，可獲得如下七組解：

解1：

當λ=0,μ=0時

(23)

解2：

當λ=0,μ>0時

(24)

a2μcot[(ξ+C0)]2

(25)

解3：

當λ=0,μ<0時

a2μtanh[(ξ+C0)]2

(26)

a2μcoth[(ξ+C0)]2

(27)

BBM方程是刻畫波隨時間演化的模型方程，該精確解析解不但給出了波的形狀，也精確刻畫了解隨時間的演化圖。

當α=1,β=1,γ=5,μ=-1,a2=0.002,k=0.8,C0=0時，式(26)精確解析解如圖1所示。

圖1 式(26)精確解析解

α=1,β=2,γ=1,μ=-1,a2=2,k=1,C0=0時，式(27)精確解解析如圖2所示。

圖2 式(27)精確解析解

解4：

當λ≠0,μ=0時

a2λf(ξ)+a2f(ξ)2

(28)

解5：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時

(29)

(30)

解6：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時

a2λf(ξ)+a2f(ξ)2

(31)

解7：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時

(32)

2.2Burgers方程

考慮如下形式的Burgers方程：

ut+uux+puxx=0

(33)

將式(2)帶入式(32)，將其轉化為常微分方程：

-cφ'+kφφ'+k2pφ''=0

(34)

其中φ'=dφ/dξ。

平衡(33)式中的φφ'和φ''兩項，得到等式m+2=2m+1，解得m=1。于是設方程解的形式為：

φ(ξ)=a0+a1f(ξ)

(35)

將式(34)和式(5)帶入式(33)，然后合并f(ξ)的同次冪項系數，同樣可得如下非線性代數方程組：

(36)

求解非線性代數方程組(35)可得：

(37)

其中，a0,k為任意常數。

將所求得的式(36)帶入式(34)中可得Burgers方程的形式解：

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(38)

再將式(6)～(16)的結果分別帶入式(37)，可獲得Burgers方程如下七組解：

解1：

當λ=0,μ=0時

(39)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數。

解2：

當λ=0,μ>0時

(40)

(41)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數。

解3：

當λ=0,μ<0時

(42)

(43)

其中，ξ=kx-ka0t，k,a0為任意常數。

這兩個解也給出了波的形狀，精確刻畫了解隨時間的演化圖。

a0=0.05,p=1,k=2,μ=-1,C0=0時，式(42)精確解析解如圖3所示。

圖3 式(42)精確解析解

a0=2,p=1,k=2,μ=-1,C0=0時，式(43)精確解析解如圖4所示。

圖4 式(44)精確解析解

解4：

當λ≠0,μ=0時

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(44)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數，f(ξ)為式(11)。

解5：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ>0時

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(45)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數，f(ξ)為分別為式(12)、(13)。

解6：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ=0時

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(46)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數，f(ξ)為式(14)。

解7：

當λ≠0,μ≠0,λ2-4μ<0時

u(x,t)=a0-2pkf(ξ)

(47)

其中，ξ=kx-(pk2λ+ka0)t，k,a0為任意常數，f(ξ)分別為式(15)、(16)。

3 結束語

為了求解非線性偏微分方程的精確解，基于方程形式解假設，通過行波變換并引入輔助方程得到了一個代數方程組，可獲得相關的精確解。所提出的輔助方程在系數λ,μ取值不同時，所獲得的解的形式也不相同，其中包括了可較好刻畫波的演化性質的孤立波解。研究結果表明，所提出的輔助函數方法已可適用于一部分非線性偏微分方程和方程組的構造和分析中。

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AuxiliaryFunctionMethodforExactSolutionofNonlinearPartialDifferentialEquation

YANG Jian，LAI Xiao-xia

(School of Computer Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710119,China)

In mathematics and physics,a nonlinear partial differential equation is a partial differential equation with nonlinear terms，which can describe many different physical models ranging from gravitation to fluid dynamics,and have been adopted in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture.There are almost no general solutions that can be applied for all equations.Nonlinear partial differential equation usually originates from mathematical and physical fields,such that the ansatz of the solutions has been given and an auxiliary function has been provided according to its mathematical and physical features.They can be transmitted to an ordinary differential equations via a traveling wave transformation.Through introduction of the auxiliary function into the ordinary differential equation a set of nonlinear algebra equations is acquired,which can supply solutions original partial differential equation in solving process.Therefore,BBM equation and Burgers equation can be solved with the auxiliary function.The exact solutions include tangent function and trigonometric functions.The research shows that the proposed auxiliary function method can be applied to solve some other nonlinear partial differential equations with mathematical and physical background.

nonlinear partial differential equation;auxiliary function method;BBM equation;Burgers equation;exact solution

2016-10-18

2017-02-13 < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2017-07-19

國家自然科學基金資助項目(11471004)

楊 健(1991-)，男，碩士研究生，研究方向為非線性計算和符號推導。

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20170719.1108.022.html

TP39

A

1673-629X(2017)11-0196-05

10.3969/j.issn.1673-629X.2017.11.042