魔方矩陣置亂算法分析

◆胡冰楠

(江西財經(jīng)大學(xué)軟件與通信工程學(xué)院 江西 330013)

魔方矩陣置亂算法分析

◆胡冰楠

(江西財經(jīng)大學(xué)軟件與通信工程學(xué)院 江西 330013)

本文分析對比了三種不同維數(shù)的魔方矩陣對圖像置亂的效果及其NPCR參數(shù)。

魔方矩陣；雙偶矩陣；單偶矩陣；奇數(shù)矩陣；NPCR

0 引言

魔方矩陣是一個古老的數(shù)學(xué)問題，原指一個方陣中的每行、每列和對角線之和均相等。通過魔方算法很好的把原先按順序排列的矩陣元素混淆了。本文借助魔方矩陣的思想，通過將方陣的像素點序號值實現(xiàn)行、列、對角線之和均相等，從而達(dá)到置亂圖像像素點的目的[1-2]。

魔方矩陣按矩陣維數(shù)分為3種，雙偶矩陣、奇數(shù)矩陣和單偶矩陣。它們由于矩陣維數(shù)不同，加密算法與實現(xiàn)結(jié)果都有所不同。本文對比了三種不同魔方矩陣算法的置亂效果，并分析了NPCR。

1 雙偶矩陣

雙偶矩陣特指矩陣維數(shù)N能被4整除的矩陣，即N=4n(n為正整數(shù))。這種維數(shù)的魔方矩陣是實現(xiàn)算法最簡單的一種。由于維數(shù)的特殊性，所以只需要將對角線上的元素略做調(diào)整即可實現(xiàn)。由4×4的矩陣可以發(fā)現(xiàn)，魔方矩陣置亂后的矩陣中僅有50%的元素位置發(fā)生了改變。

當(dāng)矩陣維數(shù)擴(kuò)大到N=200時，經(jīng)過位置改變比例分析，矩陣中仍然有50%的元素位置未發(fā)生改變。位置改變比例是用來判斷置亂前后的兩個矩陣在相同坐標(biāo)上元素是否改變的參數(shù)，如果置亂效果足夠好，位置改變比例的理論值應(yīng)為 100%，即所有位置上的元素都發(fā)生了變化。

使用大小為200×200的Lena圖像和白底帶黑色方塊的圖像Block(黑色方塊大小為 20×20，占圖像面積的1/100)，雙偶魔方矩陣置亂的圖像與原始圖像如圖1所示。

圖1 雙偶魔方矩陣置亂

圖1置亂結(jié)果表明，這種雙偶魔方算法并不能使圖像得到良好的置亂。

2 奇數(shù)矩陣

奇數(shù)矩陣是指矩陣維數(shù)N為奇數(shù)的魔方矩陣，即N=2n+1(n為正整數(shù))。當(dāng) N=5時，變換后的方陣與原方陣相比，只有中心一點的值沒有發(fā)生位置變換，其余的值均發(fā)生了很大的變動。

理論上，對于一個N維(N=2n+1)的奇數(shù)魔方矩陣，經(jīng)過魔方矩陣置亂之后僅有 1/N2的像素點沒有改變位置(即中心點)，其余(N2-1)/N2個像素點均改變了原始位置。對比圖3兩個矩陣，魔方矩陣相對于原矩陣的位置改變比例為96%；對于維數(shù)為215的魔方矩陣，即N=215，其位置改變比例為99.9978%，可以看出矩陣中幾乎所有元素的位置都發(fā)生了變化。

使用大小均為215×215的Lena圖像和Block圖像(黑色方塊大小為20×20)，使用奇數(shù)魔方矩陣置亂的圖像與原始圖像如圖2所示。

圖2 奇數(shù)魔方矩陣置亂

從圖2(c)和(d)看出，圖像已經(jīng)實現(xiàn)置亂，但在其對角線方向具有明顯的條紋。

3 單偶矩陣

單偶矩陣特指矩陣維數(shù)N能被2整除但不能被4整除的矩陣，即N=4n+2(n為正整數(shù))。當(dāng)N=6時，魔方矩陣和原始矩陣相比，100%的元素位置發(fā)生了改變。

理論上，N維單偶矩陣(N=4n+2)中總有 100%的元素位置發(fā)生變化。對比圖5兩個矩陣，魔方矩陣相對于原矩陣的位置改變比例為100%；對于維數(shù)為210的魔方矩陣，即N=210，其位置改變比例仍為100%。

使用大小均為210×210的Lena圖像和Block圖像(黑色方塊大小為20×20)，單偶魔方矩陣置亂圖像與原始圖像如圖3所示。

圖3 單偶魔方矩陣置亂

圖3(b)和(d)表明，單偶矩陣具有良好的置亂效果，經(jīng)過單偶矩陣置亂的圖像像素點幾乎全部發(fā)生了位置變動。原始圖像中處于中心的小黑方塊經(jīng)過單偶魔方矩陣置亂算法，被分散到整個圖像中去，而且圖像不具有明顯的規(guī)律性和相關(guān)性。

4 置亂算法的性能分析

為了比較3種置亂算法的效果，使用3種分辨率的Lena圖像，即200×200，210×210，215×215，分別計算采用雙偶、奇數(shù)、單偶矩陣算法置亂后圖像的像素值改變比例（NPCR），公式如（1）所示，M為矩陣維數(shù)，Sign(x)為符號函數(shù)，C1和 C2表示被比較的兩個圖像 C(i，j)表示圖像矩陣的坐標(biāo)。4種算法的NPCR由表1所示。

表1 置亂算法的NPCR

NPCR(99.6094%) Lena 49.3050% 99.3012% 99.4308%

由表1看出，雙偶矩陣算法的置亂效果差，奇數(shù)矩陣和單偶矩陣算法置亂的NPCR參數(shù)接近理論值。

5 結(jié)語

本文分析了單偶，雙偶，奇數(shù)矩陣的圖像置亂性能。由MATLAB仿真實驗結(jié)果表明，單偶矩陣圖像置亂效果良好。

[1] 龍卓珉， 俞斌．針對超混沌系統(tǒng)圖像加密算法的選擇明文攻擊[J]．計算機(jī)工程，2012．

[2] 李如平，徐珍玉，吳房勝．改進(jìn)的魔方原則耦合混沌密文矩陣的圖像加密算法[J]．蘭州文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015．

國家自然科學(xué)基金項目(61562035)， 江西省自然科學(xué)基金項目(20161BAB202058)，江西省教育廳科技項目（GJJ160426)。