基于磁偶極子的磁場梯度張量局部縮并及試驗驗證

江勝華，侯建國，何英明，汪時機

（1. 西南大學 工程技術學院，重慶 400715；2. 南洋理工大學 土木與環境工程學院，新加坡 639798；3. 武漢大學 土木建筑工程學院，武漢 430072）

基于磁偶極子的磁場梯度張量局部縮并及試驗驗證

江勝華1,2，侯建國3，何英明3，汪時機1

（1. 西南大學 工程技術學院，重慶 400715；2. 南洋理工大學 土木與環境工程學院，新加坡 639798；3. 武漢大學 土木建筑工程學院，武漢 430072）

基于磁偶極子的磁場梯度張量縮并理論雖然可較好地描述磁源，不受測量系統的朝向的影響，但在實際的磁場梯度張量測量中通常僅可測得部分磁場梯度參數，沒有獲得磁場梯度張量中的所有張量分量，如何有效利用這些部分磁場梯度參量，已成為目前磁場梯度張量縮并理論及在磁場定位的應用中亟需解決的問題。基于磁偶極子理論提出磁場梯度張量局部縮并的方法，給出磁場梯度張量的局部模量的概念，分析了磁場梯度張量的局部模量及相關參數的三維空間分布規律，結果表明：局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時取最大值，在?=90°時取最小值；局部模量CZ及kZ值隨著?先減小后增大，在?=63°時取最小值，在?=0°時取最大值。提出磁場梯度張量局部模量中重要參數的近似計算公式，并通過試驗進行驗證。試驗結果表明，試驗值與理論計算值基本一致，可為磁場梯度張量局部縮并理論的應用提供依據和參考。

磁偶極子；磁場梯度張量；局部縮并；局部模量

基于磁場梯度張量的地磁異常反演，主要基于磁感應強度的梯度張量、張量不變量及張量的模量等，可更好地描述磁源體的邊界、位置、磁化形態及走向等，受地磁場的影響較小，受環境磁場的干擾影響亦較小，提高了對磁源體的探測效率和分辨率[1-3]，可廣泛用于定位與導航、工程物探、無損檢測等[4-7]。磁場梯度張量縮并將磁場梯度張量中的9個張量元素縮并為1個標量（即模量）[8-9]，該標量與磁源體的磁矩和位置直接相關，可更便捷地反映磁源體的相對距離和幾何邊界，不受磁場傳感探頭朝向的影響。全張量磁場梯度測量系統的發展則為磁場梯度張量縮并理論的實際應用提供了傳感硬件上的支撐。另一方面，在磁場梯度張量的實際測量中，通常采用多個三軸磁傳感器組合形成磁場梯度張量測試系統，間接測量得到磁場梯度張量，但由于高精度磁傳感設備高昂的價格及在數量和空間布置等多方面的限制，很多情況下無法測量得到磁場梯度張量中的所有張量分量，僅可測得部分磁場梯度參量。如何有效利用這些部分磁場梯度參量，并應用在基于磁場梯度張量的磁場定位及相關領域，成為目前磁場梯度張量縮并定位理論中亟需解決的問題。

本文基于磁偶極子提出磁場梯度張量局部縮并的方法，給出磁場梯度張量的局部模量的概念，并推導磁場梯度張量局部縮并的公式，分析磁場梯度張量局部縮并的空間分布規律，給出相關參數的近似計算公式，并采用試驗進行驗證。

1 基于磁偶極子的磁場梯度張量局部縮并

當磁性體至測點的距離超過磁性體長度的25倍時，可將磁性體視為一個磁偶極子模型[8]。磁性體在測點的磁感應強度的矢量為：

式中，0μ為介質磁導率，為磁性體的磁矩，r為磁性體至測點的位矢，

磁性體的磁場梯度張量[9-10]為：

磁場梯度張量的模量為：

磁場梯度張量的模量亦可表示為[11]：

k與磁性體至測點的距離r無關，僅與磁性體至測點的連線和磁偶極子的軸線的夾角相關。式(5)中，參數k近似為[12]：

式中，?為磁性體至測點的連線與磁偶極子的軸線的夾角。當90°≤?≤180°時，參數k的取值與0°≤?≤90°對應的取值對稱，以下kXY和kZ同理。

定義磁場梯度張量的局部模量為：

通過式(7)得到磁場梯度張量的局部模量，即磁場梯度張量局部縮并——將磁場梯度張量G中的部分梯度參數縮并為標量CX、CY、CZ、CXY、CXZ及CYZ。

磁場梯度張量的局部模量CX、CY、CZ、CXY、的表達式為：

式中，kX、kY、kZ、kXY、kXZ及kYZ為參數，其他參數的含義同式(5)，其中kXY、kXZ及kYZ可分別表示為：并且有

由于磁場梯度張量的局部模量CX、CY與磁矩、位矢r及?相關（CXZ和CYZ同樣），而磁場梯度張量的局部模量CZ和CXY僅與磁矩、距離及?相關，若應用在磁場梯度張量定位中，則參量更少，使用更便捷，故本文后續僅研究磁場梯度張量的局部模量CZ和及相應的參數kZ和kXY。

2 基于磁偶極子的磁場梯度張量局部縮并的理論分析

由式(1)～(8)可得到CXY、kXY、CZ和kZ值的空間分布特征，見圖1～4，其中kXY和kZ的部分取值見表1。和CZ與磁矩和距離相關，在計算CXY和CZ時，為便于顯示其空間分布特征，取磁矩M=1.0 A·m2，

圖1 CXY的空間分布Fig.1 Spatial distribution of parameter CXY

圖2 kXY的空間分布Fig.2 Spatial distribution of parameter kXY

圖3 CZ的空間分布Fig.3 Spatial distribution of parameter CZ

圖4 kZ的空間分布Fig.4 Spatial distribution of parameter kZ

表1 kXY和kZ值的理論反演值Tab.1 Theoretical inversive value of kXY and kZ

由圖1可得，對于相同距離r的測點（幾何上為球體）：當0°≤?≤90°時，CXY先增大后減小；在?=39°時，CXY取最大值；在?=90°（在與磁偶極子軸線正交的赤道）時，CXY取最小值。

由圖 2可得，kXY值的空間分布規律與磁場梯度的局部模量CXY相同，但與距離r無關，僅與?（磁性體至測點的連線與磁偶極子的軸線之間的夾角）相關。在?=0°時，kXY為 4.2426；在?=39°時，kXY取最大值5.0199；在?=90°時，kXY取最小值3.0000。

由圖3可得，對于相同距離r的測點（幾何上為球體）：當0°≤?≤90°時，CZ先減小后增大；在?=0°（與磁偶極子軸線一致的極點）時，CZ取最大值；在?=63°時，CZ取最小值。

由圖4可得，kZ值的空間分布規律與磁場梯度的模量CZ相同，但與距離r無關，僅與?相關。在?=0°時，kZ取最大值 6.0000；在?=63°時，kXY取最小值2.6836；在?=90°時，kZ為 3.0000。

kXY、kZ與磁性體至測點的距離r無關，僅與磁性體至測點的連線和磁偶極子的軸線的夾角?相關，此時，參數kXY和kZ為：

取?=0°～90°，間隔為 1°，則樣本為 91個，取顯著性水平α=0.05，采用K-S假設檢驗復核上述擬合公式。當時，則樣本符合假定的分布函數。對于式(9)，可見，kXY、kZ值與角度?之間的關系符合擬合公式(9)和(10)的分布規律。

3 磁場梯度張量局部縮并的試驗驗證

通過4個三軸磁傳感器（美國PNI公司生產）組成磁傳感探頭測量磁場梯度張量。采用基于電流脈沖的步進電機角度控制系統作為旋轉試驗平臺。磁性體采用燒結釹鐵硼永磁鐵，為圓柱形，直徑為8 mm，高8 mm，剩磁為1.23 T，矯頑力為860 kA/m，其磁矩約為0.048 A·m2。永磁鐵的中心設為坐標原點O(0, 0, 0)，磁傳感探頭的坐標為(0, 0.2sin?, 0.2cos? )。通過旋轉試驗平臺，磁傳感探頭可測量與永磁鐵的磁偶極子軸線夾角在0°～90°范圍的磁場梯度張量的局部模量CXY和CZ，進一步可得到kXY和kZ值。試驗平臺的實物見圖5。

基于前述的式(1)～(10)可計算得到局部模量CXY、和參數kXY、kZ值，其與實測值的對比見圖6～9。

由圖6和圖7可得，磁場梯度張量的局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時取最大值，在?=90°時取最小值，其與理論計算值基本一致。

由圖8和圖9可得，磁場梯度張量的局部模量CZ及值隨著?先減小后增大，在?=63°時取最小值，在?=0°時取最大值，其與理論計算值基本一致。可見，磁場梯度張量的局部模量CXY（或CZ）與kXY（或kZ）值的分布趨勢相同，且試驗結果與前述的理論分析中的空間分布特征一致。

圖5 試驗平臺的實物圖Fig.5 Photograph of experimental system

圖6 kXY值的試驗值與理論值的比較Fig.6 Comparison between experimental and theoretical values of kXY

圖7 局部模量CXY的試驗值與理論值的比較Fig.7 Comparison between experimental and theoretical values of CXY

圖8 kZ值的試驗值與理論值的比較Fig.8 Comparison between experimental and theoretical values of kZ

圖9 局部模量CZ的試驗值與理論值的比較Fig.9 Comparison between experimental and theoretical values of CZ

4 結 論

1）本文針對磁場梯度張量的實際測量中通常僅可測得部分磁場梯度張量元素的現狀，為有效利用這些部分磁場梯度參數，考慮磁場梯度張量縮并理論的日益廣泛的應用，發展了基于磁偶極子的磁場梯度張量局部縮并方法。

2）提出了磁場梯度張量局部縮并的方法，并給出了磁場梯度張量局部模量的概念。分析了局部模量及相關參數的空間分布規律，結果表明：局部模量CXY及kXY值隨著?先增大后減小，在?=39°時取最大值，在?=90°時取最小值；局部模量CZ及kZ值隨著?先減小后增大，在?=63°時取最小值，在?=0°時取最大值。

3）提出了局部模量計算中相關重要參數的近似計算公式，對磁場梯度張量的局部模量CXY、CZ及近似公式中kXY和kZ值與角度?的關系進行了試驗驗證，其試驗值與理論公式計算值基本一致。

4）由于磁場梯度張量在磁場定位理論中的重要性及部分磁場梯度傳感器的發展，磁場梯度張量局部縮并理論值得進一步的研究。

（References）：

[1]Clark D A. New methods for interpretation of magnetic vector and gradient tensor data I: eigenvector analysis and the normalised source strength[J]. Exploration Geophysics, 2012, 43(4): 267-282.

[2]Clark D A. New methods for interpretation of magnetic vector and gradient tensor data II: application to the Mount Leyshon anomaly, Queensland, Australia[J]. Exploration Geophysics, 2013, 44(2): 114-127.

[3]Beiki M, Clark D A, Austin J R, et al. Estimating source location using normalized magnetic source strength calculated from magnetic gradient tensor data[J]. Geophysics,2012, 77(6): J 23-J37.

[4]Sui Yang-yi, Li Guang, Wang Shi-long, et al. Asphericity errors correction of magnetic gradient tensor invariants method for magnetic dipole localization[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2012, 48(12): 4701-4706.

[5]吳志東, 周穗華, 陳志毅. 磁場梯度張量在磁性橢球體跟蹤中的應用[J]. 華中科技大學學報(自然科學版),2013, 41(11): 103-107.Wu Zhi-dong, Zhou Sui-hua, Chen Zhi-yi. Application of magnetic gradiometer tensor to magnetic ellipsoid tracking[J]. Huangzhong University of Science & Technology(Natural Science Edition), 2013, 41(11): 103-107.

[6]劉歡, 董浩斌，葛健, 等. 基于Overhauser效應的磁場梯度探測器[J]. 儀器儀表學報, 2015, 36(3): 592-600.Liu Huan, Dong Hao-bin, Ge Jian, et al. Magnetic field gradient detector based on the nuclear Overhauser effect[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2015, 36(3):592-600.

[7]蹇興亮, 周克印. 基于磁場梯度測量的磁記憶試驗[J].機械工程學報, 2010, 46(4): 15-21.Jian Xing-liang, Zhou Ke-yin. Magnetic memory experiment based on magnetic gradient measurement[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(4): 15-21.

[8]張朝陽, 肖昌漢, 高俊吉, 等. 磁性物體磁偶極子模型適用性的試驗研究[J]. 應用基礎與工程科學學報,2010, 18(5): 862-868.Zhang Zhao-yang, Xiao Chang-han, Gao Jun-ji, et al.Experiment research of magnetic dipole model applicability for a magnetic object[J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2010, 18(5): 862-868.

[9]Huang Yu, Wu Li-hua, Sun Feng. Underwater continuous localization based on magnetic dipole target using magnetic gradient tensor and draft depth[J]. IEEE Geoscience& Remote Sensing Letters, 2014, 11(11): 178-180.

[10]Yin Gang, Zhang Ying-tang, Fan Hong-bo, et al. Linear calibration method of magnetic gradient tensor system[J].Measurement, 2014, 56: 8-18.

[11]Wiegert R F, Oeschger J. Generalized magnetic gradient contraction based method for detection, localization and discrimination of underwater mines and unexploded ordnance[C]//Proceedings of MTS/IEEE. Washington, 2005:1325-1332.

[12]江勝華, 申宇, 褚玉程. 基于磁偶極子的磁場梯度張量縮并的試驗驗證及相關參數確定[J]. 中國慣性技術學報, 2015, 23(1): 103-106, 114.Jiang Sheng-hua, Shen Yu, Chu Yu-cheng. Experimental verification and related parameter’s determination for magnetic gradient tensor contraction using magnetic dipole[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2015,23(1): 103-106, 114.

Theoretical study and experimental verification of magnetic gradient tensor partial contraction using magnetic dipole

JIANG Sheng-hua1,2, HOU Jian-guo3, HE Ying-ming3, WANG Shi-ji1
(1. College of Engineering and Technology, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. School of Civil and Environmental Engineering, Nanyang Technological University, 639798, Singapore;3. School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 400712, China)

The magnetic gradient tensor contraction theory can effectively describe a magnetic source without being influenced by the orientation of magnetic measuring instrument. However, in the actual measurement of magnetic field gradient tensor, only a part of gradient parameters can usually be obtained due to some hardly inevitable factors. To effectively use these parameters, a magnetic gradient tensor partial contraction method is put forward based on magnetic dipole theory, and the conception of magnetic gradient tensor’s partial modulus is given. The three-dimensional distribution of magnetic gradient tensor’s partial modulus and related parameters is analyzed, and the theoretical formulae of the related parameters are derived. The verification experiments show that the partial modulusCXYand the parameterkXYincreases with ? ranged from 0° to 39°,and decreases with ? ranged from 39° to 90°. TheCXYandkXYare maximum when ? is 39°, and are minimum when ? is 90°. The partial modulusCZand parameterkZdecreases with ? ranged from 0° to 63°, and increases with ? ranged from 63° to 90°. TheCZandkZare maximum when ? is 0°, and are minimum when ? is 63°.These experimental values are in accordance with the theoretically calculated values, showing that the proposed method can provide reference for the application of the magnetic gradient tensor contraction theory.

magnetic dipole; magnetic gradient tensor; partial contraction; partial modulus

1005-6734(2017)04-0473-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.04.009

TM153

A

2017-04-10；

2017-07-25

國家自然科學基金（51208078）；重慶市前沿與應用基礎研究計劃（cstc2015jcyjA30008）；中央高校基本科研業務費專項資金（XDJK 2015B007）

江勝華（1982—），男，工學博士，博士后，副教授，主要從事基于磁場的結構健康監測等方面的研究。E-mail: jiangsh@whu.edu.cn