基于Retinex算法對高階全變差L1分解的實現?

張鵬程

（河南廣播電視大學 鄭州 210098）

基于Retinex算法對高階全變差L1分解的實現?

張鵬程

（河南廣播電視大學 鄭州 210098）

在論文中我們提出了通過高階總變異和L1分解的問題的反射率和照明分解模型。基于光照變化比反射光滑的觀察，我們提出了一個凸變分模型，它可以通過一階和二階總變差有效地將圖像的梯度場分解成凸邊和相對平滑的照明場。所提出的模型可以通過Retinex方法有效地解決。在灰度和彩色圖像上的數值實驗顯示了應用于圖像恢復問題，實驗顯示算法可行有效。

Retinex算法；圖像分解；高階全變差；陰影校正

1 引言

在過去幾十年里，對Retinex算法問題的研究激發了廣泛的應用和討論［1～3］。Retinex理論最初由Land和McCann提出作為人類顏色感知的模型視覺系統（HVS），其思想是HVS可以對其中照明和反射率都是未知的場的反射率進行校正［4］。我們的視覺系統往往看到與給定場景相同的顏色，而不考慮不同的照明條件。換句話說，它確保對象的顏色在變化的照明下保持相對恒定。最著名的Retinex問題之一是Adelson的棋盤陰影問題如圖1所示，左側是原始圖像，右側是問題圖像。視覺上，圖1的區域A似乎比區域B更暗，而數值上，這兩個區域具有完全相同的強度值。這種現象是由不同的照明條件引起的，物體的感知強度是反射和照明的組合。

圖1 Adelson原始圖像

Retinex理論的主要目標是將給定圖像I分解為兩個分量［5～6］，即反射率 R 和光照 L

圖2 Adelson的棋盤陰影問題

對于x∈Ω，其中Ω∈R2是圖像的域。為了簡化式（1），可以應用對數，假設R和L都是正數，因此

大多數分解方法是基于這個加性模型［7］。其中提出的primal-dual splitting算法是基于路徑跟蹤，并在進一步研究之后，路徑跟隨的想法被應用到變分模型中。在變分框架下，隨后的總變差（TV）模型可以提取分段恒定反射率r與梯度場中的數據項［8］

其中t＞0是權重參數。我們可以提出了一種更簡單的基于L1的變分模型

δt(?i)是相對于參數t的閾值梯度場。該模型在抑制測試的圖像照明效果方面是有效的，然而，由于對圖像梯度的量值的懲罰，也可以觀察到反射率細節和對比度的損失。

同時對r和l進行懲罰的分解模型，提出了TV+H1分解模型［9］

式（2）隱含地假設照明平滑和懲罰與H1范數。

在本文中，我們還考慮了同時恢復r和l的分解方法。特別地，我們使用高階全變差提取照明l。在下面，我們提出一些相關的模型和符號。

眾所周知，全變差正則化改善了所謂的樓梯偽影。為了克服這種效應，infimal卷積模型有很好的效果，infimal卷積模型被定義為

其中φ和Ψ是兩個函數。

我們可以得到的一階和二階變量與權重的infimal卷積形式［10］

在更一般的雙重公式中，定義了一階和二階全變差的非線性卷積模型

其 中I1={p ∈(Ω;R2)，‖p‖∞≤1}和I2={p ∈(Ω;R2×2)，‖p‖∞≤1}，如果考慮對稱的Hessian矩陣，我們也可以定義I2={p ∈)，‖p‖∞≤1}，其中Sym2(R2)表示對稱矩陣的空間。在這里，我們在(Ω;R2)和(Ω;Sym2(R2)使用 ‖ · ‖∞特別地，二階TGV定義為

在簡化形式中，式（3）可以寫為

其中?w∈R2×2是w∈R2的對稱梯度。該公式也可以看作是用梯度場?u=?v+w的分解代替式（4）中的分解u=v+w。

2 高階TV+H1分解模型

在這里，我們提出TV+H1變分模型的反射率和照明分解

其中l表示照明度，r表示反射率，α＞0 ，β＞0是正則化參數。一般來說，我們在Retinex分解的梯度場中提取相對更平滑的分段線性分量為l，紋理部分為r。提出的模型可以等價為infimal卷積，令u=r+l，等于式（5）

這里l沒有明確給出，但它可以從數值方案中提取或通過解決泊松方程?l=v的邊界條件。模型（5）和infimal卷積模型（6），式（7）有一些缺點，如果我們感興趣的r和l的解決方案。很容易看出，任何解對 (r +c， l -c)和c都是一個常數解，而這種非唯一性可能會極大地影響解的質量。此外，為了顯示解的存在，需要理論的證明。因此，我們考慮模型（5）的展開，其對r和l的分量施加約束其中τ是很小的正數以確保l的有界性，Βr和Βl分別是r和l的約束。

3 Retinex算法

在本節中，我們提出了求解模型（8），在很多文獻中也對其進行了研究［11～12］。例如廣泛使用的split Bregman算法和Primal-Dual Splitting算法。這里，我們采用分裂不精確的Retinex算法，在我們對問題的求解迭代中。需要注意，兩個未知數r，l在（8）中的耦合，因此，依次應用在內部交替方案中以求出關于r和l的子問題的完全解。

我們首先定義一些變量和方程來簡化式（8）。

另外

這里，我們使用向前差分和Neumann邊界條件為離散梯度和對稱化Hessian。在R2中，對于u∈W1，1(Ω)，我們有如下定義

作為對稱的Hessian，在這里

其拉格朗日公式為

Retinex方法是交替方向法的一種不精確的變體的乘法器可有用于xk+1的更新問題，所以有以下迭代

其中Mv是正定矩陣。為了獲得一個比較容易的迭代方案，我們選擇 Mv=Id-vLTL，其中0＜v＜1/‖‖LTL。

在下面，我們提出一個簡單的派生方法分別更新xk+1和yk+1。

更新 xk+1：令 Mv=Id-vLTL

更新 yk+1：yk+11的更新也相當簡單。因為‖‖y1，β=‖‖u1+β‖‖v1是可分的，我們有

所以我們得出以下兩個簡單的閾值步驟

最后，對于雙變量 pk+1的更新是容易的。因此，結合式（9）、式（10）我們得到求解式（8）的迭代方案。

4 數值實驗

上述棋盤陰影圖像和Logvinenko的立方體陰影圖像，如圖2和圖3所示。測試視網膜錯覺。對于這兩個圖像，雖然視覺上區域B比區域A更亮，但是它們是的相同強度值。表1顯示了兩個方法處理之后測得兩個區域強度的值。我們提出方法的對比其它的方法恢復圖形的效果最佳

圖3 棋盤

圖4 立方體

表1 恢復圖形區域強度處理方法對比

圖5 原始視覺

圖6 NW方法

圖7 TV-H1方法

圖4 ～圖6顯示了棋盤上的視覺比較圖片。類似于其他的例子，NW所提出的方法獲得視覺上優選的輸出，我們提出的方法中的恢復照明與NW相比反射率信息較少可以從立方體結論圖像的比較中得出，見圖4，可以注意到NW的亮度和結果我們是非常不同的。這主要是由于對于NW方法，強度值的事實左側像素也用于解決泊松方程輸出的右列和底行，由于邊界條它亮度比圖像的其他部分強。在該測試中，對于這兩個示例，對于棋盤圖像β=10，并且設置α=4，立方體圖像α=10的。其約束條件是 Βr=[0 ， 255] 和 Βl=[0 ， 255]兩個圖像。

5 結語

在本文中，我們提出了一個新的反射率和照明基于高階TV+H1正則化，這與infimal密切相關卷積一階和二階TV正規化。提出的模型可以很好地分離相對更平滑的分段線性分量。數值實驗圖片背景的非均勻性去除顏色陰影校正表明我們提出的模型提取HVS照明度更好，和細節保留的反射率，相比其他分解模型我們的模型更有效果。

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Realization of High Order Total VariationL1Decomposition Based on Retinex Algorithm

ZHANG Pengcheng
（Henan Broadcasting University，Zhengzhou 210098）

In this paper，the reflectivity and illumination decomposition model of the Retinex problem with high order total variation andL1decomposition are presented.Based on the observation that the illumination change is more smooth than the reflection，a convex variational model is proposed which can effectively decompose the image gradient field into a convex edge and relatively smooth illumination field through the first and second order total variation rules.The proposed model can be effectively solved by the original prima dual splitting numerical experiments on grayscale and color images show the strength of the proposed model for Image restoration，experiments show that the algorithm is feasible and effective.

Retinex algorithm，image decomposition，high-order total，variation，shadow correction

TP391

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.10.029

Class Number TP391

2017年4月7日，

2017年5月26日

張鵬程，男，碩士，講師，研究方向：軟件工程、遠程教育。