改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型

王鴻麗， 許進升， 陳雄， 周長省

南京理工大學 機械工程學院， 南京 210094

改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型

王鴻麗， 許進升*， 陳雄， 周長省

南京理工大學 機械工程學院， 南京 210094

為了表征改性雙基推進劑的力學行為，推導出改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型。利用一系列蠕變-回復試驗，將材料的總應變分離為黏彈性應變和黏塑性應變，使用最小二乘法獲得了黏彈性參數，使用Nelder-Mead單純形優化算法，結合后向Euler數值方法獲得了黏塑性參數。通過不同應力水平和不同加載時間的蠕變-回復試驗對模型進行了驗證，結果表明，在應力水平較低或加載時間較短的情況下，模型預測與試驗值變化趨勢基本一致，模型獲得的黏彈性應變與黏塑性應變在總應變中所占的比例與試驗吻合。改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型能夠在一定范圍內描述材料的力學性能。

航空航天推進系統； 固體力學； 改性雙基推進劑； 黏彈-黏塑性模型； 蠕變-回復

固體火箭發動機廣泛應用于軍事武器和航空航天領域中。固體火箭發動機裝藥結構完整性問題影響著火箭武器的安全性和可靠性，是目前固體火箭發動機研發過程中非常關鍵的任務。改性雙基推進劑作為一種常用的固體火箭推進劑，其力學性能的研究對固體火箭發動機裝藥結構完整性的分析意義重大。

固體火箭推進劑作為一種顆粒填充材料，其力學性能十分復雜，Sun等[1]研究了改性雙基推進劑準靜態和動態壓縮載荷下率相關和溫度相關的力學特性，試驗結果顯示改性雙基推進劑的屈服應力、初始壓縮模量、最大應變都受到應變率和溫度的顯著影響。為了獲得固體火箭推進劑的力學性能，許多學者對推進劑的本構模型進行了研究。Xu等[2]建立了熱-損傷-黏彈性本構模型來描述端羥基聚丁二烯(HTPB)復合推進劑的力學性能，該模型可以預測寬泛溫度條件下推進劑的黏彈性變形。Deng等[3]通過剪切松弛實驗獲得了不同溫度下固體推進劑的松弛剪切模量主曲線和時溫等效參數，使得固體推進劑的黏彈性力學模型具有溫度相關性。龔建良等[4]基于熱力學能量守恒定律，確定了在單向拉伸載荷作用下材料的本構關系。孟紅磊[5]針對改性雙基推進劑的非線性力學行為，提出了一種含累積損傷的非線性黏彈性本構模型，能夠較好地描述材料在發生屈服之前的應力-應變關系。常新龍等[6]分析了HTPB推進劑在高應變率下的力學響應，在Burke模型的基礎上結合超彈性和黏彈性理論，建立了一種考慮溫度和率效應的本構模型。鄧凱等[7]將Schapery本構模型和Perzyna黏塑性本構模型組合建立了復合推進劑黏彈塑性本構模型。張建彬[8]建立了雙基推進劑的黏彈塑性本構模型，該模型的黏塑性應變服從應變硬化模型。

以上對固體火箭推進劑本構模型的研究中，大多數建立了材料可恢復變形的本構模型，在少數研究中建立了不可恢復變形的本構模型，但并未對模型中可恢復變形與不可恢復變形的分配是否與試驗相吻合進行進一步探討。為此，本文引入了一種黏彈-黏塑性本構模型來描述改性雙基推進劑的力學行為，通過一系列蠕變-回復試驗求得了模型參數，并分析了可恢復變形和不可恢復變形與試驗的吻合程度。

1 黏彈-黏塑性本構模型

在固體材料本構模型的研究中，一般將可恢復應變與不可恢復應變分離開來進行建模。其中可恢復應變部分建立彈性與黏彈性模型，不可恢復應變部分建立塑性與黏塑性模型。Darabi等[9-10]對瀝青混合料建立了熱黏彈-黏塑-黏損傷本構模型，能夠描述材料與溫度相關的力學特性。Kim和Muliana[11]研究了顆粒增強材料的黏彈-黏塑性行為，使用Schapery黏彈性模型描述材料的可恢復變形，使用Perzyna黏塑性模型和Valanis黏塑性模型描述材料的不可恢復變形，并比較了Schapery-Perzyna模型和Schapery-Valanis模型對材料兩步加載蠕變性能的描述。朱耀庭等[12]基于熱力學理論，將材料與時間相關的耗散行為解耦為黏彈性和黏塑性兩個部分，建立了瀝青混合料的黏彈-黏塑性本構模型，朱浩然等[13]在此基礎上，將描述材料剛度退化或強度軟化的損傷部分耦合到黏彈-黏塑性本構模型中，能夠合理描述材料蠕變試驗的3個階段。

對改性雙基推進劑的試驗研究表明，在一定載荷作用下，其變形包括可恢復部分和不可恢復部分，這兩部分變形都受到時間、溫度和加載速率等因素的影響。本文在小變形假設的基礎上，將改性雙基推進劑的總應變解耦為可恢復的黏彈性應變和不可恢復的黏塑性應變，其表達式為

(1)

1.1 黏彈性本構模型

線性黏彈性理論發展得比較成熟，被廣泛地應用于藥柱的結構完整性分析。本文采用線黏彈性本構模型來描述改性雙基推進劑的可恢復應變響應，在加載應力為στ時，其黏彈性應變的表達式為

(2)

式中：D0為瞬態柔量；ΔD為穩態柔量；ψt為縮減時間，其表達式為

(3)

其中：αT為溫度轉換因子。由于本文的研究沒有考慮溫度對推進劑力學響應的影響，故ψt=t。為了計算方便，采用Prony級數表示的穩態柔量形式為

(4)

式中：λn為第n個延遲時間；Dn為與λn對應的Prony級數的系數。

1.2 黏塑性本構模型

為了描述改性雙基推進劑的黏塑性變形，將式(1)對時間求導，得到各應變率之間的關系為

(5)

其中，黏塑性流動法則表示為

(6)

λ=Γ〈φ(f)〉M

(7)

式中：Γ為黏性參數；φ為由屈服函數f表示的過應力函數；M為黏塑性率敏感性參數；〈·〉為McCauley括號。過應力函數的表達為

(8)

(9)

(10)

式中：k0、k1和k2為材料參數。

在材料黏塑性力學的研究中，普遍使用非關聯流動的黏塑性模型[15-17]，對于改性雙基推進劑，本文采用如式(11)所示的黏塑性勢函數。

g=τ-βI1

(11)

式中：β為材料參數，反映了材料的膨脹或收縮。

根據式(11)得到：

(12)

式中：δij為Kronecker符號。

綜上所述，本文所引入的黏彈-黏塑性本構模型如下所示：

基本方程

流動法則

內變量演化方程

2 模型參數的獲取

本文所采用的模型為應變型本構模型，該模型在蠕變情況下比較簡單，而對于松弛和恒應變率情況卻非常復雜，為了數值求解的方便，本文采用單軸壓縮蠕變-回復試驗來獲取模型參數。在單軸壓縮情況下，可以將本文使用的模型轉化為一維形式，由此推導出模型在單軸蠕變情況下的表達式為

(13)

(14)

2.1 試驗材料及方法

為了求得模型參數，在室溫條件下進行了一系列單軸壓縮蠕變-回復試驗。本文所研究的材料為改性雙基推進劑，是由硝化棉和硝化甘油為基礎，加入黑索金、過氯酸銨、鋁粉等顆粒以及添加劑而制成。采用同一批次材料加工成直徑d=4 mm，長度l=7 mm的柱狀壓縮試件。

試驗所用儀器為美國Bose公司生產的ELF3200動態力學分析儀，該儀器可以實現加載載荷的控制。由于進行蠕變和蠕變-回復試驗，加載瞬時需要一個階躍載荷，卸載瞬時需要階躍載荷降為零，這是不可能達到的，因此本文的試驗使用較大的加卸載速率，使加載斜坡對試驗的影響盡可能地減小。同時，在回復階段，由于需要時刻測量材料的回復變形，因此蠕變階段的階躍載荷不可以卸載到零值，而應該卸載到一個較小的值之后保持該值不變，直到材料不再發生變形，才能卸載到零值，完成試驗。本文的加載路徑可以用圖1描述。在試驗數據的處理中，認為蠕變試驗是從t=t0時刻開始的，并將該時刻記為零時刻。

圖1 蠕變-回復試驗的加載曲線
Fig.1 Loading curve of creep-recovery test

在蠕變試驗中，隨著蠕變時間的增加，材料會產生損傷直至破壞，所以應采用加載時間較短、應力水平較低的試驗以避免引入損傷，本文在獲取改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型參數時，采用了加載時間為600 s，應力水平為0.8 MPa和2.5 MPa的蠕變-回復試驗。

2.2 黏彈性本構模型參數的獲取

圖2 材料典型的蠕變-回復曲線
Fig.2 Typical creep-recovery curve of material

為了分別求得黏彈性參數和黏塑性參數，首先需要將黏彈性應變和黏塑性應變進行分離。圖2 為顆粒材料典型的蠕變-回復曲線，在t=0時，對材料試樣施加一個值為σ的壓縮階躍應力，加載時間為t1。在加載的初始階段，試樣產生彈性應變εe和瞬塑性應變εp，之后產生可恢復的黏彈性應變εve和不可恢復的黏塑性應變εvp。在t=t1時，將階躍載荷卸載為0，此時彈性應變εe瞬時回復，黏彈性應變εve隨時間的延長逐漸回復，最后剩余不可恢復的瞬塑性應變εp和黏塑性應變εvp。

本文將彈性應變作為黏彈性中的瞬時部分而合并到黏彈性應變中，為可恢復應變；將瞬塑性應變合并到黏塑性應變中，為不可恢復應變。由于在蠕變-回復試驗的回復階段，試樣的黏塑性應變不再發生變化，為一個定值，因此首先選取回復段的曲線對黏彈性參數進行標定。

在0

在t=t1時卸載，相當于t>t1后，在原有試驗的基礎上作用了一個反方向的階躍載荷-σ，此時的黏彈性應變由兩部分組成，表達為

(15)

化簡得：

(16)

(17)

化簡得：

(18)

表1 黏彈性模型參數Table 1 Viscoelastic model parameters

2.3 黏塑性本構模型參數的獲取

根據所得的黏塑性應變，可以對黏塑性參數進行標定。分析本構模型的特性可以發現，黏塑性流動法則與內變量演化方程組成了一個隱式的常微分方程組，在一般條件下無法求出其解析解。一般認為材料的黏塑性模型是剛性的，材料變形與速率間有強烈的非線性特征，問題的解既包含了變化緩慢項，又包含了迅速衰減的擾動項，這種擾動給數值計算特別是數值解的穩定性帶來了困難[18]。后向Euler算法作為一種剛性解法，允許有足夠的誤差控制，同時采用較大的步長可以提高效率，因此本文采用后向Euler算法對方程組進行求解。

為了求得黏塑性模型參數，建立一個目標函數，并通過非線性約束優化的方法實現對參數的優化估計。建立如式(19)所示的目標函數。

(19)

表2 黏塑性模型參數Table 2 Viscoplastic model parameters

3 模型驗證

通過以上試驗及數值求解，獲得了改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型的全部參數。為了驗證所得參數的有效性，本文對改性雙基推進劑柱狀試樣分別進行了應力水平為1.8、3.0、4.5 MPa，加載時間為600 s的蠕變-回復試驗；應力水平為4.5 MPa，加載時間為1 200 s的蠕變-回復試驗；應力水平為4.5 MPa，加載時間為1 800 s的蠕變-回復試驗。

圖3 不同應力水平下模型與試驗的蠕變-回復響應對比
Fig.3 Comparison of creep-recovery response between model and test with different stress levels

在圖3中，對不同應力水平下，加載時間為600 s的試驗與模型的蠕變-回復響應進行了比較，εt和εm分別為試驗測得的應變和本構模型的求解得到的應變，εve,m和εvp,m分別為本構模型中的黏彈性應變和黏塑性應變數值解。可以發現應力水平為1.8 MPa時，采用黏彈-黏塑性本構模型能夠很好地預測材料的蠕變應變及回復應變，兩個階段的模型預測值和試驗值基本吻合。應力水平為3.0 MPa時，在蠕變階段，模型預測值與試驗值吻合，在回復初始階段，模型預測值要小于試驗值，即模型的回復速度快于試驗，但隨著回復的進行，兩者逐漸趨于一致。應力水平為4.5 MPa時，在蠕變階段的開始，模型預測值與試驗值吻合，但隨著蠕變的進行，模型預測值小于試驗值，在回復階段，模型預測值始終小于試驗值，在回復初始階段尤為明顯，誤差值達到20%，之后這種差異逐漸減小到5%。通過以上分析發現，模型的回復速度比試驗的回復速度快，應力水平越高，這種差異越明顯，本文認為這與材料的塑性變形有關，應力水平越高，塑性變形越大，使材料變得越密實，材料得到強化，已不同于材料的初始狀態，這使得材料的回復速度變慢。

圖3中還繪制了每個應力水平下模型的黏彈性應變值和黏塑性應變值。可以很直觀地發現在蠕變過程中，材料的黏彈性變形始終大于材料的黏塑性變形，將t1=600 s時的黏彈性應變和黏塑性應變在總應變中所占的比例列于表3，表中εve,t和εvp,t分別為由試驗獲得的黏彈性應變和黏塑性應變。可以看出，無論是模型預測的結果還是試驗得到的結果，隨著應力水平的增加，黏彈性應變在總應變中所占的比例在逐漸減小，而黏塑性應變在總應變中所占的比例逐漸增大，且隨著應力水平的提高，模型預測得到的比例與試驗得到的比例更加接近。

圖4對應力水平為4.5 MPa，不同加載時間下改性雙基推進劑黏彈-黏塑性模型與試驗的蠕變-回復響應進行了比較。從圖4中可以看出，在加載的初始階段，模型預測值與試驗值相吻合，在蠕變階段的后期和回復階段，模型的預測值小于試驗值。這說明加載時間越短，模型對改性雙基推進劑力學性能的預測能力越好。表4給出了3種加載時間下，t=t∞處和t=t1處試驗值與模型預測值的差值及其比值，t=t∞處的應變差值代表試驗與黏塑性模型應變的差值，t=t1處的應變差值代表試驗與模型總應變的差值。可以看出，試驗與黏塑性模型應變的差值在試驗與模型總應變差值中所占的比例在增大。這說明隨著加載時間的延長，黏塑性模型的預測能力越來越差，本文認為這是由于長時間受到載荷作用，改性雙基推進劑材料內部產生損傷，這是本文所建立的模型不能預測的，需要進行進一步的研究。

表3 黏彈性和黏塑性應變百分比

圖4 不同加載時間下模型與試驗的蠕變-回復響應對比
Fig.4 Comparison of creep-recovery response between model and test under different loading time

表4 試驗與模型的應變差值Table 4 Strain difference between test and model

4 結 論

1) 采用蠕變-回復試驗求得改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型參數，其中使用了Nelder-Mead單純形優化算法，結合后向Euler數值方法獲得了黏塑性部分的參數。

2) 在應力水平較低或加載時間較短時，改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型能夠很好地描述材料的蠕變和回復力學特性，模型得到的黏彈性應變和黏塑性應變在總應變中所占的比例與試驗一致，且黏彈性應變的比例隨應力水平的提高而減小，黏塑性應變的比例隨應力水平的提高而減小。

3) 在材料的回復階段，模型預測的回復快于試驗測得的回復，應力水平越高，這種差異越明顯，本文認為這是由于一定的塑性變形強化了材料，使其異于初始狀態。

4) 隨著加載時間的增大，改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型中黏塑性部分的預測能力變差，這是由于材料內部產生了損傷造成的。

[1] SUN C X, XU J S, CHEN X, et al. Strain rate and temperature dependence of the compressive behavior of composite modified double-base propellant[J]. Mechanics of Materials, 2015, 89: 35-46.

[2] XU J S, CHEN X, WANG H L, et al. Thermo-damage-viscoelastic constitutive model of HTPB composite propellant[J]. International Journal of Solid and Structures, 2014, 51(18): 3209-3217.

[3] DENG K, YANG J H, HUANG W W, et al. A new method to obtain shear modulus of solid propellant[J]. Acta Astronautica, 2011, 69(7-8): 440-444.

[4] 龔建良, 劉佩進, 李強. 基于能量守恒的HTPB推進劑非線性本構關系[J]. 含能材料， 2013, 21(3): 325-329.

GONG J L, LIU P J, LI Q. Nonlinear constitutive relation of HTPB propellant based on the first law of thermodynamics[J]. Chinese Journal of Energetic Materials, 2013, 21(3): 325-329 (in Chinese).

[5] 孟紅磊. 改性雙基推進劑藥柱結構完整性數值仿真方法研究[D]. 南京: 南京理工大學, 2011: 50-57.

MENG H L. Research on numerical simulation method of structure integrity analysis for modified double base propellant grain[D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2011: 50-57 (in Chinese).

[6] 常新龍, 賴建偉, 張曉軍, 等. HTPB推進劑高應變率粘彈性本構模型研究[J]. 推進技術, 2014, 35(1): 123-127.

CHANG X L, LAI J W, ZHANG X J, et al. High strain-rate viscoelastic constitutive model for HTPB propellant[J]. Journal of Propulsion Technology, 2014, 35(1): 123-127 (in Chinese).

[7] 鄧凱, 陽建紅, 陳飛, 等. HTPB復合固體推進劑本構方程[J]. 宇航學報， 2010, 31(7): 1815-1818.

DENG K, YANG J H, CHEN F, et al. On constitutive equation of HTPB composite solid propellant[J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(7): 1815-1818 (in Chinese).

[8] 張建彬. 雙基推進劑屈服準則及粘彈塑性本構模型研究[D]. 南京： 南京理工大學, 2013: 88-98.

ZHANG J B. Study on yield criteria and visco-elastoplastic constitutive model of the double-base propellant[D]. Nanjing: Nanjing University of Science and Technology, 2013: 88-98 (in Chinese).

[9] DARABI M K, AL-RUB R K A, MASAD E A, et al. Thermodynamic-based model for coupling temperature-dependent viscoelastic, viscoplastic, and viscodamage of constitutive behavior of asphalt mixtures[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2012, 36(7): 817-854.

[10] DARABI M K, AL-RUB R K A, MASAD E A, et al. A thermo-viscoelastic-viscoplastic-viscodamage constitutive model for asphalt materials[J]. International Journal of Solid and Structures, 2011, 48(1): 191-207.

[11] KIM J S, MULIANA A H. A combined viscoelastic-viscoplastic behavior of particle reinforced composites[J]. International Journal of Solid and Structures, 2010, 47(5): 580-594.

[12] 朱耀庭, 孫璐, 朱浩然, 等. 基于熱力學理論的粘彈-粘塑性本構模型[J]. 力學季刊, 2010, 31(4): 449-459.

ZHU Y T, SUN L, ZHU H R, et al. A constitutive model of viscoelastic-viscoplastic solids based on thermo-dynamics theory[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2010, 31(4): 449-459 (in Chinese).

[13] 朱浩然, 孫璐, 朱耀庭. 基于熱力學的瀝青混合料粘彈-粘塑性損傷本構模型[J]. 中國公路學報, 2013, 26(3): 57-64.

ZHU H R, SUN L, ZHU Y T. Viscoelastic-viscoplastic damage constitutive model based on thermodynamics for asphalt mixtures[J]. Chinese Journal of Highway and Transport, 2013, 26(3): 57-64 (in Chinese).

[14] LEMAITRE J, CHABOCHE J L. Mechanics of solid materials[M]. London: Cambridge University Press, 1990: 198-204.

[15] AL-RUB R K A, VOYIADJIS G Z. Gradient-enhanced coupled plasticity-anisotropic damage model for concrete fracture: Computational aspects and applications[J]. International Journal of Damage Mechanics, 2009, 18(2): 115-154.

[16] DESSOUKY S H. Multiscale approach for modeling hot mix asphalt[D]. College Station, TX: Texas A&M University, 2005: 90-92.

[17] DARABI M K, AL-RUB R K A, MASAD E A, et al. A modified viscoplastic model to predict the permanent deformation of asphaltic materials under cyclic-compression loading at high temperatures[J]. International Journal of Plasticity, 2012, 35(8): 100-134.

[18] SUN L, ZHU Y T. A serial two-stage viscoelastic-viscoplastic constitutive model with thermodynamical consistency for characterizing time-dependent deformation behavior of asphalt concrete mixtures[J]. Construction and Building Materials, 2013, 40(7): 584-595.

[19] MASAD E, DESSOUKY S, LITTLE D. Development of an elastoviscoplastic microstructural-based continuum model to predict permanent deformation in hot mix asphalt[J]. International Journal of Geomechanics, 2007, 7(2): 119-130.

[20] AL-RUB R K A, MASAD E A, HUANG C W. Improving the sustainability of asphalt pavements through developing a predictive model with fundamental material properties: SWUTC/09/476660-00007-1[R]. Springfield, VA: National Technical Information Service, 2009.

Viscoelastic-viscoplasticconstitutivemodelformodifieddoublebasepropellant

WANGHongli,XUJinsheng*,CHENXiong,ZHOUChangsheng

SchoolofMechanicalEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China

Inordertocharacterizemechanicalpropertiesofmodifieddoublebasepropellant,aviscoelastic-viscoplasticconstitutivemodelformodifieddoublebasepropellantisdeveloped.Aseriesofcreep-recoverytestsisdonetoseparatethetotalstrainofmaterialintoviscoelasticstrainandviscoplasticstrain.Theleastsquaremethodisusedtogetviscoelasticparameters,andNelder-MeadsimplexoptimizationalgorithmiscombinedwithbackwardEulermethodtogetviscoplasticparameters.Creep-recoverytestsunderdifferentstresslevelsanddifferentloadingtimesareconductedtoverifythemodel.Theresultsshowthatwithlowerstresslevelsorshorterloadingtime,thevariationtrendofmodelpredictionisconsistentwiththatofthetestvalue，andthepercentageofviscoelasticstrainandviscoplasticstrainintotalstrainobtainedfrommodelagreewiththatbytest.Itisconcludedthatthemechanicalpropertiesofthemodifieddoublebasepropellantcanbedescribedtosomeextentbytheviscoelastic-viscoplasticconstitutivemodel.

aerospacepropulsionsystem;solidmechanics;modifieddoublebasepropellant;viscoelatic-viscoplasticmodel;creep-recovery

2016-06-07；Revised2016-07-15；Accepted2016-08-17；Publishedonline2016-08-191421

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160819.1421.002.html

NaturalScienceFoundationofJiangsuProvince(BK20140772)

2016-06-07；退修日期2016-07-15；錄用日期2016-08-17； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-08-191421

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160819.1421.002.html

江蘇省自然科學基金 (BK20140772)

＊

.E-mailxujinsheng@njust.edu.cn

王鴻麗， 許進升， 陳雄， 等． 改性雙基推進劑黏彈-黏塑性本構模型J． 航空學報,2017,38(4):220505.WANGHL,XUJS,CHENX,etal.Viscoelastic-viscoplasticconstitutivemodelformodifieddoublebasepropellantJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(4):220505.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0238

V512

A

1000-6893(2017)04-220505-08

(責任編輯： 徐曉)

＊Correspondingauthor.E-mailxujinsheng@njust.edu.cn