切換拓撲下無人機集群系統時變編隊控制

周紹磊， 祁亞輝， 張雷， 閆實， 康宇航

海軍航空工程學院 控制工程系， 煙臺 264001

切換拓撲下無人機集群系統時變編隊控制

周紹磊*， 祁亞輝， 張雷， 閆實， 康宇航

海軍航空工程學院 控制工程系， 煙臺 264001

針對多無人機(UAV)間通信拓撲可能發生變化的情況，研究了具有二階積分特性的無人機集群系統的軌跡跟蹤與時變編隊控制問題?；谝恢滦苑椒ㄔO計了編隊控制器，將編隊控制問題轉換成閉環系統的穩定性問題，引入了切換拓撲平均駐留時間的概念，并在此基礎上利用線性矩陣不等式(LMI)方法，給出了控制器設計步驟。通過構造分段連續Lyapunov函數，證明了切換拓撲下無人機集群系統能夠實現對指定軌跡的跟蹤并且實現時變編隊飛行。以三維空間運動的無人機集群系統為例進行了仿真驗證，結果表明本文所提方法能夠解決切換拓撲下無人機集群系統的軌跡跟蹤與時變編隊問題。

無人機； 集群系統； 切換拓撲； 一致性； 編隊控制； 軌跡跟蹤

近年來，集群系統的編隊控制因其在軍事和民用領域具有廣泛的應用前景而吸引了眾多學者的關注，并取得了大量研究成果[1-2]。傳統的控制方法主要有基于行為的控制方法[3]、leader-follower方法[4-5]和基于虛擬結構的方法[6]。

伴隨著一致性理論的發展[7-10]，基于一致性理論的編隊控制也取得了豐碩的研究成果[11-17]。其中文獻[11]系統地介紹了一致性方法在二階積分系統軌跡跟蹤和編隊控制中的應用，并且表明基于行為的、leader-follower和基于虛擬結構的編隊控制方法都可以認為是基于一致性方法的特例。隨后文獻[12]中將理論方法應用于多機器人系統。文獻[13]給出了無向圖下，二階集群系統實現編隊控制的充分條件。文獻[14]研究了離散多智能體系統的軌跡跟蹤與編隊形成問題，給出了基于一致性控制器的設計方法。文獻[15]研究了切換拓撲下具有一階積分特性的多智能體系統的軌跡跟蹤與編隊控制問題。文獻[16-17]分別研究了無人機在無向切換通信拓撲和有向通信拓撲下的時變編隊問題，并使用小型旋翼無人機進行了實驗驗證。文獻[18]采用一致性方法，用完全分布式控制器解決了有向切換拓撲通信條件下的無人機編隊問題。雖然以上文獻從不同方面給出了編隊形成的一致性控制器，但大都是針對固定通信拓撲[11-14, 17]。根據文獻[10，19]可知，即使對于每一個固定通信拓撲系統漸進穩定，切換拓撲系統也未必穩定。文獻[15]研究了切換拓撲系統的編隊問題，但是其控制器要求已知所有拓撲圖的并集，并且其控制方法只適用于一階積分模型。文獻[16]雖然研究了切換拓撲下的編隊問題，但是針對無向通信網絡，其研究結果表明，無向圖下編隊形成與拓撲切換與否無關。對于有向切換拓撲圖下基于一致性的編隊問題，文獻[16]的結論并不適用。文獻[18]雖然針對有向切換通信拓撲，但是其假設所有可能的通信拓撲圖都是強連通和平衡的，這對通信拓撲要求過于嚴苛，不具有普遍性。對于一般有向切換拓撲通信條件下，保證集群系統編隊形成的一致性控制器設計問題的相關研究還比較少。

本文在一致性理論和切換系統理論研究成果基礎上，重點解決有向切換通信拓撲條件下的具有二階積分動態特性的無人機軌跡跟蹤和時變編隊問題。相比已有的研究成果，本文對集群系統間通信拓撲的要求更為普通，不但針對有向通信網絡，而且適用于隨時間切換通信拓撲的系統。

1 預備知識

1.1 符號約定

符號RN×N和CN×N分別表示N×N維的實矩陣和復矩陣。對于任意μ∈C，其實部表示為Re(μ)。IN是N×N維的單位矩陣。對于矩陣A∈RN×N，λ(A)表示其特征值；max{λ(A)}和min{λ(A)}分別表示矩陣A的最大和最小特征值。A>B和A≥B分別表示A-B是正定和半正定的。A?B表示矩陣A和B的Kronecker積。

1.2 圖論

1.3 相關引理

引理1[7]圖G的Laplacian矩陣L至少有一個零特征值，其他非零特征值均具有正實部；如果G包含有向生成樹，則零是L的單特征值，1N是其對應的右特征向量。

引理2[20]如果矩陣W∈RN×N所有特征根均具有正的實部，那么存在一個正定矩陣Q>0使得WTQ+QW>0。

2 問題描述及編隊控制器設計

2.1 問題描述

考慮由N個無人機組成的集群系統，多無人機之間通信拓撲用有向圖G描述。無人機i∈{1,2,…,N}認為是G的節點vi。

主要研究無人機集群系統的軌跡跟蹤與編隊形成，不考慮無人機內環動態，把單個無人機視為質點，其動態采用二階積分模型[16-17,21]：

(1)

式中：xi(t)和vi(t)分別為第i個無人機的位置和速度；ui(t)為其對應的控制輸入。假定無人機三維運動相互解耦，為便于描述，以一維運動進行分析。

(2)

h(t)=[h1(t)h2(t) …hN(t)]T

定義1[17]時變編隊可以用一組函數hi(t)(i=1,2,…,N)表示，對于給定的隊形h(t)和某軌跡c(t)，如果無人機集群系統(2)在任意的初始給定情況下滿足：

(3)

則稱無人機實現了時變編隊h(t)，c(t)稱為編隊中心軌跡。

基于一致性方法，控制器設計為[11,13]

(4)

式中：i=1,2,…,N；K1,K2∈R1×2為待設計的控制參數。為了書寫方便，式(4)中各時變物理量略去了時間描述(t)，下同。

將式(4)代入式(2)，令

ξ(t)=[ξ1(t)ξ2(t) …ξN(t)]T

得到的閉環系統方程為

[IN?(BK1)-Lσ(t)?(BK2)]h+

(IN?B)hv-[1N?(BK1)]c+

(5)

本文研究的主要內容就是在切換通信拓撲條件下，如何設計控制器使無人機集群系統實現對軌跡c跟蹤和保持時變編隊h。

2.2 問題分析和控制器設計

根據定義1，令θi=ξi-hi-c，由式(5)及引理1可以得到

(6)

所以系統(6)可以進一步化為

(7)

顯然如果系統(7)收斂于0，那么系統(2)就實現了軌跡跟蹤和時變編隊，所以下面重點就是分析如何使系統(7)收斂于0，因為Gσ(t)在任意時刻都是有向圖，不能進行簡單的解耦分析[16]，首先參考文獻[9]中一致性控制器設計方法，令K=-K1=K2，則系統(7)轉變為

(8)

引理3對于矩陣IN+Lσ(t)，存在變換的正定矩陣Qσ(t)，使得式(9)成立：

(9)

式中：0<α<1。

證明根據引理1和引理2，存在正定矩陣Qσ(t)>0及0<α<1使得

Lσ(t)-αIN)>0

整理得到式(9)。

定義2對于隨時間變化的通信拓撲圖Gσ(t)，其在時間區間[0,t)上的平均駐留時間τa定義為

(10)

式中：Nσ(t)為Gσ(t)在時間區間[0,t)上的切換次數，也即σ(t)的變化次數。

注1關于平均駐留時間的概念，文獻[10,22-24]中也給出了其定義：在時間區間[t0,t)上，如果存在N0≥0和τa>0使得

(11)

成立，則τa稱為平均駐留時間。筆者認為此定義是不準確的，這些文獻都參考了文獻[19]。在文獻[19]中，平均駐留時間并不是以定義的形式給出的，只是用平均駐留時間的概念定義一個集合，該集合滿足式(11)。直觀地講，當Nσ(t0,t)為1，τa為接近0的正小量時，式(11)右側為無窮大，不等式成立，但是平均駐留時間定義為正的無窮小是不合理的。此外，根據式(10)，當N0=0時，可以得到式(11)。

根據以上分析，結合切換系統平均駐留時間的概念，控制器設計算法為

算法1

1) 如果切換拓撲系統平均駐留時間為τa，取

(12)

ATP+PA-2αPBBTP+βP≤0

(13)

2) 取K=BTP，K1=-K，K2=K。

定理1如果假設1成立，則由算法1設計得到的控制器，能夠使無人機集群系統(2)在切換拓撲條件下實現軌跡跟蹤和時變編隊。

證明考慮分段連續的Lyapunov函數

V=θT(Qσ(t)?P)θ

(14)

式中：Qσ(t)和P分別滿足式(9)和式(13)。

當t∈[tk,tk+1)時，V是連續的，對其求導并將式(8)代入，同時令K=BTP可得

θT{[(IN+Lσ(t))TQσ(t)+

Qσ(t)(IN+Lσ(t))]?PBBTP}θ

由式(9)可得

(15)

又因為式(13)可得

(16)

根據式(14)和式(16)可知

V(t)≤e-β(t-tk)V(tk)

(17)

在拓撲切換時刻tk，存在關系：

(18)

V(t)≤e-β thkV(0)

(19)

(20)

此外，根據式(15)可得，對于固定通信拓撲，無人機集群系統要實現編隊飛行，只需在控制器設計時令P滿足：

ATP+PA-2αPBBTP≤0

(21)

即可。顯然式(21)成立是式(13)成立的必要條件，也即本文控制器設計方法必然適用于固定通信拓撲。

另根據式(12)、式(20)可以看出，β取值越大，θ(t)收斂速度越快，也即編隊能夠更快地形成；從能量角度分析，β參數的引入是為了使能量減小的速度抵消拓撲切換可能帶來的能量增加。

注2控制器(4)包含自反饋，根據推導過程可以看出，假設1并不是無人機集群系統實現軌跡跟蹤和時變編隊的必要條件，甚至在無人機間不存在通信關系，即Lσ(t)≡0的情況下，軌跡跟蹤和時變編隊依然能夠實現。但是根據文獻[11-12]可知，通信拓撲包含有向生成樹能夠提高集群系統編隊形成的暫態性能，增強系統魯棒性。

特別地，考慮無人機集群系統中并非所有無人機都能實時獲取自身位置，只有一處于根節點位置的無人機能夠得到自身實時位置，而其他無人機僅能獲取與自身有拓撲聯系的無人機的相對信息。此時將有部分無人機不能形成位置自反饋而必須依靠相對位置信息形成編隊?？刂破鲗⒆優?/p>

(22)

式中：當無人機i處于通信拓撲根節點時，gi=1，否則gi=0。

相應地，控制輸入變化后的系統閉環方程式(8)變為

(23)

式中：Gσ(t)=diag(g1,g2,…,gn)為對角陣。

由文獻[9]可知，如果Lσ(t)包含有向生成樹且Gσ(t)在至少一個根節點位置取值大于0，則有Re(λ(Gσ(t)+Lσ(t)))>0，所以存在正定矩陣Qσ(t)和

0<α

(24)

使得

(25)

證明略。

不難發現，對于控制輸入(22)，定理1結論依然成立，只是算法1中α和h取值發生了變化。相比控制輸入(4)，控制輸入(22)對無人機集群系統控制力減弱，但是利用本文控制方法，仍能實現切換通信拓撲條件下無人機集群系統時變編隊控制。

3 仿真驗證

考慮一個包含4架無人機的集群系統，在三維空間進行軌跡跟蹤和時變編隊飛行，系統狀態和系統矩陣為

式中：i=1,2,3,4；xi1、xi2、xi3、xi4、xi5和xi6分別表示第i架無人機的東向位置、速度，北向位置、速度，高度及天向速度。

無人機初始狀態為

編隊中心軌跡設定為

時變編隊設定為

i=1,2,3,4

集群系統間通信拓撲圖和切換信號分別如圖1 和圖2所示。假定只有1號無人機(均位于根節點)能夠獲取自身位置，即有Gσ(t)=diag(1,0,0,0)，根據式(24)，取α=0.24，進一步根據式(25)分別求得相應的Q矩陣，得到h=5.87。根據圖2中10 s內通信拓撲切換情況，可得切換系統平均駐留時間τa=1.25，根據式(12)取β=1.5。

根據2.2節分析，通過求解式(21)得到的控制器能夠使固定通信拓撲下多無人機系統實現編隊飛行，為便于比較，將此方法稱為一般控制方法；將由算法1求解得到的方法稱為本文控制方法。通過求解,最終得到一般控制方法控制參數：

圖1 通信拓撲
Fig.1 Communication topologies

圖2 通信拓撲切換信號
Fig.2 Switching signal of communication topologies

和本文控制方法控制參數

K2=-K1=

利用Matlab平臺進行控制系統仿真，圖3(a)和圖3(b)分別為一般控制方法和本文控制方法下無人機高度變化軌跡?？梢钥闯觯瑑煞N方法下各無人機均能達到軌跡和編隊指定高度，但是顯然，本文控制方法能夠使無人機集群系統更快地到達指定位置。

圖4(a)和圖4(b)分別為兩種控制方法下無人機在東向位置上對編隊中心軌跡和時變編隊的跟蹤誤差，北向具有相似的變化規律，這里略去。從圖4可以看出，雖然兩種方法均能使誤差最終收斂于0，但是本文控制方法能夠使收斂速度更快。圖5(a)和圖5(b)分別為兩種控制方法下無人機東向輸入情況，可以看出本文控制方法在編隊未形成時控制作用更大一些，這也使得編隊更快形成。

雖然本文控制方法相較于一般控制方法使編隊更快形成，但是可以看出，一般控制方法也能使無人機集群系統在切換通信拓撲條件下跟蹤指定軌跡并形成編隊。從2.2節推導過程可以看出，式(13)只是切換拓撲下式(7)收斂的充分條件而不是必要條件，由算法1得到的本文控制方法具有一定保守性。此外，式(13)成立是式(21)成立的充分不必要條件，也就是說本文控制方法必然能夠使無人機集群系統在固定通信拓撲條件下形成編隊，但是一般控制方法無法保證切換通信拓撲條件下編隊一定能夠形成。

圖3 不同控制方法下無人機高度變化軌跡
Fig.3 Height variable trajectories of unmanned aerial vehicles (UAVs) with different controllers

圖4 不同控制方法下無人機東向跟蹤誤差
Fig.4 Eastern tracking errors of UAVs with different controllers

還有一點需要指出，本文控制方法并未考慮輸入飽和的情況，當無人機初始軌跡或隊形偏差較大時，直接用本文控制方法得到輸入量可能超過實際無人機的允許范圍，必須進行限幅。并沒有給出輸入飽和情況下的收斂性證明,但是通過在仿真中對輸入加入限幅發現，編隊的形成趨勢并未受到明顯影響，圖6(a)和圖6(b)為在輸入飽和約束條件下，用本文控制方法，加入±5的限幅后，無人機集群系統東向跟蹤誤差和輸入。圖6(a)和圖4(b)比較可以看出，加入輸入飽和約束后，跟蹤誤差在初始階段收斂速度略緩，但是最終收斂時刻并未明顯變長，甚至發散。所以本文控制方法對切換通信拓撲條件下無人機集群系統編隊控制具有一定的參考價值，至少在軌跡或編隊偏差不大時或者編隊保持過程中具有一定實用性和優越性。

圖5 不同控制方法下無人機東向輸入
Fig.5 Eastern inputs of UAVs with different controllers

圖6 輸入飽和約束條件下無人機東向跟蹤誤差和輸入
Fig.6 Eastern tracking errors and inputs of UAVs with saturation constraints

4 結 論

利用一致性問題研究中的相關思想和方法，給出了控制器及控制參數設計方法，解決了能描述為二階積分模型的無人機集群系統軌跡跟蹤與時變編隊問題。

1) 控制器參數可以通過求解線性矩陣不等式得到，相比一般固定拓撲結構的一致性問題求解，線性矩陣不等式需要增加一個和通信拓撲平均駐留時間約束有關的附加項。

2) 通過選取合適的附加項參數，能夠使編隊形成的速度加快，以此抵消拓撲切換帶來的影響，最終使無人機集群系統實現給定軌跡跟蹤并且形成時變編隊。

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Time-varyingformationcontrolofUAVswarmsystemswithswitchingtopologies

ZHOUShaolei*,QIYahui,ZHANGLei,YANShi，KANGYuhang

DepartmentofControlEngineering,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai264001,China

Trajectorytrackingandtime-varyingformationcontrolofunmannedaerialvehicle(UAV)swarmsystemswithswitchinginteractiontopologiesareinvestigated.TheUAVismodelledbyasecond-orderintegratorsystem.Basedontheconsensusmethod,protocolsareproposedtotransformtheformationproblemintoastabilityproblem.Theaveragedwelltimeofswitchingtopologiesisintroduced,andanalgorithmforthedesignofthegainmatrixoftheprotocolisgivenbysolvingalinearmatrixinequality(LMI).ItisprovenbyconstructingapiecewisecontinuousLyapunovfunctionthatthetrajectorytrackingandtime-varyingformationcanbeachievedbytheprotocolproposed.SimulationofaswarmsystemconsistingoffourUAVsmovinginthethreedimensionalspaceisconducted,andsimulationresultsdemonstratethatthetrajectorytrackingandtime-varyingformationforUAVswithswitchingtopologiescanbesolvedbythemethodproposed.

unmannedaerialvehicle;swarmsystem;switchingtopology;consensus;formationcontrol;trajectorytracking

2016-05-19；Revised2016-06-07；Accepted2016-07-18；Publishedonline2016-07-221149

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160722.1149.002.html

.E-mailzhouslsd@sina.com

2016-05-19；退修日期2016-06-07；錄用日期2016-07-18； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-07-221149

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160722.1149.002.html

＊

.E-mailzhouslsd@sina.com

周紹磊， 祁亞輝， 張雷， 等． 切換拓撲下無人機集群系統時變編隊控制J． 航空學報,2017,38(4):320452.ZHOUSL,QIYH,ZHANGL,etal.Time-varyingformationcontrolofUAVswarmsystemswithswitchingtopologiesJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(4):320452.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0219

V249.122

A

1000-6893(2017)04-320452-09

(責任編輯： 張玉)