論數學期望在實際生活中的運用

陳逸龍

摘 要：數學期望是隨機變量的結果與概率乘積之和，是概率論中重要的數學特征之一。本文分析了離散型隨機變量與連續型隨機變量的定義與數學期望的計算方法，并在企業生產決策問題、營銷問題與賭局問題三個實例中闡釋了數學期望的實際運用。

關鍵詞：數學期望；實際運用；概率

中圖分類號：O211.67 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）20-0216-02

數學期望代表著概念意義下的統計平均值，客觀有效地反映了隨機變量的取值分布。作為概率論與數理統計中的重要概念之一，數學期望如今已經成為經濟統計、投資分析等領域的重要參數，為更深入的判斷與決策提供了準確的理論依據。本文梳理了數學期望的基本概念與計算方法，并進一步探討期望在實際生活中的具體運用。

1 數學期望的基本概念

1.1 離散型與連續型隨機變量

生活中存在許多自然現象，當某種現象的結果具有不確定性和隨機性，但結果的取值范圍是已知的時候，我們稱該現象的結果為隨機變量。例如，某一時刻經過某路口的出租車數量、未來某一天的平均溫度均是隨機變量，它們都無法預知，但結果的區間范圍確是可以確定的。

需要注意的是，根據隨機變量取值的分布規律，一般把隨機變量分為兩種類型：離散型隨機變量與連續型隨機變量。當變量的取值在一定區間內是有限的，這個變量即是離散型隨機變量；當取值在一定區間內是無限的，這個變量即是連續型隨機變量。正如上文所列舉的例子，某一時刻經過某路口的出租車數量便是“可數”的，是離散型的隨機變量；而未來某一天的平均溫度雖然也可以確定取值范圍，但在特定的范圍內的取值是“不可數”的，因而是連續型的隨機變量。

1.2 數學期望的計算方法

類似于加權平均的方法，數學期望即是隨機變量的所有可能取值與其對應的概率乘積之和，概率即是每項結果的“權重”。離散型與連續型隨機變量的計算方式有所不同。

對于離散型隨機變量X來說：

X的分布律為：

P{X=xk}=pk，k=1，2，3…

若級數收斂，則隨機變量X的數學期望E（X）即為。

對于連續型隨機變量Y來說：

Y的概率密度函數為：

f（y），y∈（-∞，+∞）

若級數收斂，則隨機變量Y的數學期望E（Y）即為。

2 數學期望在實際生活中的運用

2.1 生產決策問題

企業在生產經營過程中，由于無法提前預知其他廠商的生產情況，因而對于產量的抉擇是較為盲目的。當市場供給過多時，產品價格會下降進而侵蝕利潤，同時商品積壓也會增加庫存成本。實際上，企業的財務管理人員可以通過歷史數據、市場信息，利用數學期望原理進行合理估算，制定出理論上的最佳生產策略。

假設公司有一產品，企業的生產量制定為Y。市場對于該產品的需求量為X，根據歷史數據，X服從一定的分布，概率密度函數為f（x）；同時，公司可以通過內部財務數據，測算出當成功銷售一單位產品，可獲利的金額a，以及當一單位商品滯銷損失的金額b。假設企業的生產量為Y，毋庸置疑，企業的目標必然是利潤最大化，利潤函數為：

利潤的期望值E（R）可以根據X的概率密度函數進行計算。

可以看出，E（R）是關于生產量y的函數，由此將問題轉化為求解max[E（R）]的問題。只需求得ymax使得利潤E（R）的期望值最大，ymax即是最優的生產量。

2.2 營銷問題

生活中常見到商家為了促進商品銷售，進行各式各樣的營銷推廣，其中一種常見形式就是“集物換禮”的促銷方式。商家在每件商品中附贈某種特定標簽，集齊全套標簽即可兌換特定的禮品。消費者為了獲取禮品，增加多余消費的情況屢見不鮮。那么，如何判斷該類活動是否值得參與呢？我們利用數學期望的思想可以解決這個問題。

以某實際促銷方案為例，某種商品售價10元，每件商品中隨機附贈福卡一張，一套?？?張。若消費者集齊一套?？ǎ纯蓛稉Q88元現金獎勵。顯然，在本案例中，我們首先需要計算湊齊五張福卡所需要購買包數的數學期望E（X）。

令E（N）為消費者已經擁有N-1張不同的卡片后再獲取一張新卡片所需要購買包數的數學期望。

E（1）=1；

E（2）=1*0.8+2*0.2*0.8+3*0.22*0.8+4*0.23*0.8+……；

E（3）=1*0.6+2*0.4*0.6+3*0.42*0.6+4*0.43*0.6+……；

E（4）=1*0.4+2*0.6*0.4+3*0.62*0.4+4*0.63*0.4+……；

E（5）=1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.82*0.2+4*0.83*0.2+……；

可以看出，上述五個式子均是差比數列，可以利用差比數列的求和方法求出具體值。則：

E（X）=E（1）+E（2）+E（3）+E（4）+E（5）

=1+=11.42

對于單個消費者來說，集齊五張?？ê蟮墨@利值的數學期望為：

E（88-10X）=88-10*E（X）=-26.2

可見，單個消費者集卡兌換的期望收益為負，因此為了禮品盲目購買的行為是不可取的。

2.3 賭局問題

生活中，我們常常會看到有人街邊設置賭局，利用轉盤抽獎、象棋殘局等為道具，吸引路人參與，最終使得多人上當受騙。本文將利用數學期望的思想，解開街頭賭局背后的秘密。

依然以某實際賭局為例。該賭局采用輪盤抽獎的形式，輪盤上有編碼為1-10的十個區域與均勻轉動的指針，參與者進行隨機搖動指針，若搖中1-4游戲結束，搖到5可以獲得20元，搖到6-10可以免費再搖一次。游戲每次的參與費為5元，請問游戲設計是否公平？

可以發現，當繳納一次游戲費后，最終會出現兩種結果：結束游戲（獎金為0）和獲得20元獎金。我們只需求得獲利的期望，即可判斷游戲的公平性。

獲得20元獎金的概率為：

p（x1）=**+……==

沒有獲得獎金的概率為：

p（x2）=1-p（x1）=

則獲取獎金數額的期望E（X）為：

E（X）=20*p（x1）+0*p（x2）=4

因而對于單個消費者來說，獲利值的數學期望為：

E（X-5）=E（X）-5=-1

可以看到，獲利值的數學期望為負數。對于任何一個賭博游戲來說，若參與者的獲利期望值為負數，則這個游戲設計對于參與者是“不公平”的。因而該游戲不值得參與。

3 結語

通過上述案例分析可以看到，數學期望為企業決策、投資決策乃至生活中的概率問題都提供了客觀理性的評判參數。當今社會是一個充斥著海量信息與復雜結構的綜合體，這使得未知事件的不確定性進一步增強，而有效地利用概率論中數學期望的概念，能夠為各項經濟工作提供理論指導，避免無謂的損失。

參考文獻

[1]楊四香.數學期望與經濟生活[J].經濟研究導刊，2013，（17）：194-195.

[2]王亞玲.數學期望在投資決策中的應用[J].科技創新導報，2013，（08）：249+251.

[3]謝彬.淺談數學期望在生活中的應用[J].黑龍江科技信息，2008，（34）：56.endprint