淺談丟番圖方程x～3±1=3qPy～2的整數解

張寶明

摘 要：隨著數論研究內容的不斷深入，現階段數論研究方向逐漸向整數解問題轉移，本文以x～3±1=3qPy～2這一丟番圖方程的整數解為主要研究對象，這不僅能夠豐富數論研究內容，而且還會探索出丟番圖方程多樣研究方法，同時，有利于吸引相關數學學者對此展開關注，優化丟番圖方程問題解決方法，深化丟番圖方程理論研究。本文主要分為四部分，第一部分主要對丟番圖方程展開了基本介紹，第二部分分析了丟番圖方程引理，第三部分總結了相關理論，最后一部分進行了定理說明。

關鍵詞：丟番圖方程；整數解；平方剩余；同余式

中圖分類號：O156.7 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）20-0207-02

目前，研究丟番圖方程的學者較多，不同學者針對同一方程所應用的方法不盡相同，雖然整數解處理方法尚未統一，但正是不同方法的差異性應用促進數論內容不斷豐富。丟番圖方程定理較復雜，個別定理具有生活實用性，部分定理結論尚未明確，從中能夠看出，丟番圖方程整數解研究方面仍需相關學者不斷努力，以此拓展研究范圍，探究研究新型研究成果。由此可見，本文針對丟番圖方程x～3±1=3qPy～2整數解進行探究，具有一定理論意義和現實意義，具體分析如下。

1 丟番圖方程基本介紹

丟番圖方程有兩種名稱，第一種為不定方程，第二種為整數系多項式方程，具體指的是整數系方程，方程內在變量為一個或多個，受相關限制性因素影響，這種方程的求解方式不用于實數方程，即所得方程解僅限整數范圍內。丟番圖最早研究時間為公元3世紀，研究者為希臘人，該方程主要以整數解為主要研究內容，研究目標有三個，目標一為方程解步驟判斷，目標二為方程解個數確定，目標三為方程解結果明確[1]。

丟番圖問題即針對等式對應的整數組合具體確定，這一問題所展開的研究即丟番圖有效性分析。丟番圖方程例子主要有四種，第一種即勾股定理整數解，第二種即費馬最后定理，第三種為貝祖等式，第四種為四平方和定理。其中，不定方程形式為m1×1+m2×2+…+mn×n=c的方程，則（m1，…，mn）是c的因子，這是不定方程有整數解的充要條件，如果有二元一次不定方程AX+ BY= C，且（A，B）|C，則其必有一組整數解X1，Y1，并且還有以下關系式[2]：

*X=X1+[B/（A，B）]t

*Y=Y1-[A/（A，B）]t

其中，t為任意整數，因此，不定方程解有無限多個。

丟番圖方程發展、應用的過程中，一直研究的問題主要有“是否可以解答？”、“解答結果有幾種？”、“解答數目有多少？”、“解答結果能具體確定嗎？”。現如今，丟番圖方程研究過程中主要發展方向有三方面，即丟番圖集——遞歸可枚舉集、研究方法——無窮遞降法、研究原理——哈賽原理、丟番圖逼近——系數為無理數不等式，變量為整數[3]。

2 丟番圖方程引理

丟番圖是希臘著名數學家，被人們稱為代數之父，這位數學家將所要研究的問題通過符號代替數的方式來深入研究。其中，不定方程研究最早理論研究體現于白雞問題分析中，即用百錢購買白雞，雞翁一，直錢一，雞母一，雞雛三，直錢三，直錢五，問母、雛、雞翁數量各為多少？解決這一數學問題時，分別用M、P、Q代表母、雛、雞翁個數，這一數學問題即非負整數解M、P、Q，同時，也是三元不定方程組問題。對于丟番圖的年齡計算，已知條件為：幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又過了七分之一才結婚，五年后生子，子先父四而卒，壽為其父二分之一。”計算丟番圖的方程為M/6+M/12+M/7+5+ M/2+4=M，M=84，從中可知，丟番圖享年84歲。除了這種算法外，還可以通過這種算法進行年齡計算，即9/[1-（1/6+1/12+1/7+1/2）][4]。

丟番圖方程（M是無平方因子正整數），當M不含6k+1形素因子、M含6k+1形素因子，以及M含1個或2個6k+1形素因子等情況進行研究，引出如下引理[5]。

引理1，如果Q=3e（e+1）+1，e∈N，則QX2-3Y2=1的最小解為（2，2e+1）。引理2，設Q為奇素數，則丟番圖方程4X14-QY12=1只有正數解Q=3，X1=Y1=1和Q=7，X1=2，Y1=3。引理3，設Q是一個奇素數，則丟番圖方程X14-QY12=1只有正數解Q=5，X1=3.Y1=4和Q=29，X1=99，Y1=1820[6]。

3 相關結論

定理1，設Q=，ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的奇素數，Q≡為奇素數，這時丟番圖方程為X3+1=3mQY2。在三種不同條件下，平凡解（X，Y）=（-1，0）。

條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。

定理2，設Q=（），ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的奇素數，Q≡為奇素數，這時丟番圖方程為X3-1=3mQY2。在三種不同條件下，平凡解（X，Y）=（1，0）[7]。

條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。endprint

4 定理證明

證明：設（X，Y）是方程X3+1=3mQY2的整數解，即（X+1，X2-X+1）=3，X2-X+10。又ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的素數，即X2-X+10，并且i大于等于1，小于等于s，這時方程X3+1=3mQY2有下列兩種情形，分別為X+1=9Qu2，X2-X+1=3mv2，Y=3uv，（u，v）=1；X+1=9Qu2，X2-X+1=3v2，Y=3uv，（u，v）=1。

情形一：將X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1，則（2v，6Qu2-1）是方程eX2-3Y2=1的一組解。對于條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因為（1，3e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1表示為2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。

由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得6Qu2-1≡（3e），因為3|3e，所以-1≡（3e），較矛盾，從中可知，上述假設不成立。

對于條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因為（1，2e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1的全部整數解表示為2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得，6Qu2-1≡（2e），因為2|2e，所以-1≡（2e），較矛盾，從中可知，上述假設不成立。條件三利用同樣方法證明，也不成立。

情形二，將X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，（2v）2-3（6mQu2-1）2=1，則（2+√3）是方程X2-3Y2=1的根本解，因此有6mQu2-1=±Yn，，即6mQu2-1=±Yn+1，僅考慮6mQu2=±Yn+1，因此，Yn≡。以此代入可知，方程X3+1=3mQY2的平凡解（X，Y）=（-1，0），即定理1成立。

5 結論

綜上所述，針對丟番圖方程x～3±1=3qPy～2進行整數解分析，通過相關引理，得出相關結論，同時，對其進行定理證明，這對丟番圖方程深入分析具有重要意義。本文所研究的丟番圖方程在方法應用以及定理證明等方面仍存在些許不足，要想實現丟番圖方程的有效性分析，應繼續分析研究理論，針對相關理論進行價值探討、全面學習，以此提高丟番圖方程整數解的準確性。

參考文獻

[1]杜先存.丟番圖方程x～3±1=3qPy～2的整數解[N]. 鄭州大學學報：理學版，2015，（1）：38-41+45.

[2]尚旭，王澤燈.關于不定方程x～2+4～n=y～（15）（n=1，2，3）的整數解[J].渭南師范學院學報，2017，（8）：33-41.

[3]杜先存，萬飛，楊慧章.關于丟番圖方程X～3±1=1267y～2的整數解[J].數學的實踐與認識，2013，（15）：288-292.

[4]管訓貴，杜先存.關于丟番圖方程x～3-1=13py～2的整數解[J].沈陽大學學報：自然科學版，2013，（6）：511-513.

[5]李彤，夏張莉，宿偉玲.求解丟番圖方程的模擬植物生長算法[J].中國管理科學，2012，（S1）：143-147.

[6]杜先存，孫映成，萬飛.關于丟番圖方程x～3+1=3pqy～2的整數解[J].西南師范大學學報：自然科學版，2014，（12）：18-22.

[7]管訓貴，杜先存.關于丟番圖方程x～3+1=13py～2的整數解[J].貴州師范大學學報：自然科學版，2014，（2）：36-38.endprint