基于張量理論的數控機床誤差補償模型

褚 寧 張為民,2

(1.同濟大學機械與能源工程學院，上海 201804； 2.同濟大學中德學院，上海 201804)

基于張量理論的數控機床誤差補償模型

褚 寧1張為民1,2

(1.同濟大學機械與能源工程學院，上海 201804； 2.同濟大學中德學院，上海 201804)

為了進一步提高數控機床多體運動學誤差模型的精度，提出了基于張量理論的機床誤差補償模型。首先面向數控系統列表插值補償方式，提出了應用張量理論設定基礎階、擴展階和誤差階來建立機床誤差張量模型。然后，提出了采用設定機床信息、建立張量模型及設定檢測參數3個流程實施誤差補償，并通過多元回歸分析提出了采用4階多項式擬合機床空間誤差。最后，以某重型車銑復合機床實驗為例，提出了分軸步進對角線法下的張量誤差模型，采用球桿儀進行了圓度誤差檢測實驗，結果表明該方法能夠有效地提高機床精度，比多體運動學誤差模型的補償效果更優。

誤差補償； 張量理論； 分軸步進對角線法； 車銑復合機床

引言

數控機床的精度模型和誤差補償模型是數控機床研究的熱點之一，國內外學者對誤差建模方法進行了廣泛而深入的研究。DONMEZ等[1]于1986年提出建立包含幾何誤差和熱誤差的機床綜合誤差模型。CHANA等[2]采用多體運動學理論建立包含受力變形誤差的三軸機床誤差模型，LIN等[3]以及TUTUNEA-FATAN等[4]將多體運動學擴展到五軸數控機床的應用。SCHWENKE等[5]在CIRP上系統地回顧了誤差數值補償的基礎以及測量幾何誤差的可用方法。劉又午等[6]將多體理論運用到數控機床的全誤差建模。文獻[7-8]通過熱誤差分析結合幾何誤差建立綜合誤差模型及實施誤差補償，并擴展到五軸機床的應用[9]。粟時平等[10]提出12線法的誤差辨識方法。李小力[11]`對數控機床綜合誤差的建模及補償研究進行了系統論述。郭然等[12]采用切比雪夫多項式分解幾何誤差。此外，還有許多學者分別采用粒子群算法[13]、線性插值算法[14]、人工神經網絡[15]、流變理論[16]、微分構造[17]和最優權系數[18]等建模方法來對機床誤差進行建模。多體運動學誤差模型[19-20]由于良好的通用性和有效性，仍是最為常用的機床誤差建模方式，隨著現代數控機床各部件的制造精度越來越高，螺距誤差已不是最大的誤差項，如運動部件的直線度誤差及變形誤差都成為重要的誤差來源，以重型龍門機床為例，懸垂誤差可達400 μm/2 000 mm[21]，基于多體運動學建模多種誤差來源在公式表達和計算上形式過于復雜，已逐漸不適應誤差補償的需要。

本文在多體運動學機床模型的基礎上，參考數控系統列表插值補償方式，提出應用張量理論設定基礎階、擴展階和誤差階來建立機床誤差張量模型。然后基于激光干涉儀制定機床誤差張量模型檢測與辨識方法。最后以重型車銑復合數控機床為實例，驗證數控機床應用張量理論建模與補償的可行性。

1 基于張量理論的數控機床誤差模型

1.1 數控系統的誤差補償模型

數控機床誤差補償功能按照參數可以劃分為機床定義、機床軸設定和插值補償表3部分。其中插值補償表采用插值列表形式來實現具體的誤差補償，是數控系統誤差補償功能底層實施的核心?，F有機床誤差模型多面向擬合精度或運動匹配，很少關注數控系統插值補償表，以多體運動學誤差模型為例，主要和機床結構定義相關，在機床軸設定和插值補償表上都只有部分相關，如圖1所示。

圖1 多體運動學誤差模型對比數控系統誤差補償功能Fig.1 Multi-body kinematics model of machine-tool and CNC system error compensation function

由圖1可知，多體運動學誤差模型能較好地匹配數控機床誤差補償功能的機床定義，但在機床軸設定和插值補償表功能方面有所欠缺，無法全面地指導誤差補償實施。

1.2 面向數控系統的誤差張量建模

張量理論是數學的一個分支學科，是力學和物理學一個有力的數學工具，一般理解上，張量實為標量、向量、線性算子的母概念，1 階張量即為向量，2 階張量即為矩陣，3 階張量就是三維數組[22]。

圖2 數控機床誤差張量模型建模流程圖Fig.2 NC machine-tool error tensor model diagram

以多體運動學誤差模型為基礎，綜合機床信息和機床插值點誤差兩部分，建立數控機床空間誤差的誤差張量模型。數控機床誤差張量模型的建模流程包括設定機床信息、建立張量模型及設定檢測參數3部分，具體建模流程如圖2所示。

由圖2可知，建立張量模型主要包括設定張量階數和設定張量維數，因此數控機床誤差張量模型最重要的參數為張量的階數、維數以及檢測參數，可將張量誤差模型定義為基礎階、擴展階和誤差階3部分。基礎階為定義誤差來源項，前3階為X、Y、Z軸，維數即為直線軸的插值點數，如果是五軸機床則包含2個擴展張量階；擴展階為定義變形誤差，主要包括負載變形、切削力變形、熱變形等，維數為變形的狀態數；誤差階為機床TCP點的誤差，誤差階維數為誤差項數量，如X、Y和Z軸向定位誤差、階數及維數設定如表1所示。

表1 數控機床誤差張量模型維數及階數定義Tab.1 Dimension and order definition of error tensor model

實際應用中數控機床的誤差張量模型不限于表1所列的11階，一般根據機床結構和誤差檢測設備條件進行簡化，以AC五軸機床誤差張量模型為例，全誤差張量模型為十階，即M∈RIiIjIkIoIpIqIuIvIw，其中i、j、k為基礎階的維數，表征X、Y、Z三軸的插補點數，o、p為五軸旋轉階的維數，表征A、C軸插補點數，q、u、v為變形誤差階的維數，表征負載變形、切削力變形和熱變形的變化狀態，w為誤差階的維數，表征機床的定位誤差、正反向誤差等。令各軸插補點數為n，在不考慮變形誤差，僅計算三軸向空間誤差情況下，可建立簡化的誤差張量模型M0∈RInInInInInI3，如僅計算直線軸則可以建立簡化直線軸誤差張量模型ML∈RInInInI3。

2 面向誤差張量模型的檢測流程及檢測關鍵參數

2.1 機床誤差張量模型的檢測流程

數控機床的誤差檢測是誤差建模與補償的重要環節，對機床的幾何誤差檢測已有國家標準[23]、國際標準[24]等，但幾何誤差檢測標準的目的在于機床定標，不適于指導精確的誤差補償，無法直接用于誤差補償。激光干涉儀是檢測機床誤差精度最高的設備之一，本文基于ISO 230檢測標準，采用激光干涉儀來建立面向數控系統誤差補償功能的機床誤差張量模型，步驟及待測參數如下：

(1)設定誤差張量模型階數：按照圖2的建模方法初步建立機床誤差綜合張量模型，關鍵參數為運動鏈和誤差張量模型階數等。

(2)設定誤差張量模型維數及插值點間距：根據直線軸誤差分布規律和機床運動行程，設定各直線軸的插值點間距和測量點數，關鍵參數為誤差張量模型維數和插值點間距等。

(3)設定采樣路徑：根據誤差張量模型維數和直線軸誤差分布規律設定激光干涉儀檢測的定位路徑，關鍵參數為采樣路徑和采樣次數。

(4)檢測定位誤差：參考ISO 230-2的標準檢驗循環，根據采樣路徑、測量點數、插值點間距和采樣次數，實施定位誤差檢測。

(5)檢測直線度誤差：同定位誤差檢測方法流程相似，但需采用不同的反射鏡組來分別檢測直線度和垂直度誤差。

(6)數據處理：基于ISO 230標準，通過計算正向定位誤差，反向定位誤差，正向直線度誤差，反向直線度誤差，正向垂直度誤差和反向垂直度誤差等關鍵參數，建立機床誤差綜合張量模型。

2.2 檢測關鍵參數的實驗

理論上誤差采樣數據量越多張量模型精度越高，但過多采樣數據量會使得檢測過程過于繁復以致無法進行，因此需要通過分析機床插值點誤差的分布特點對插值點間距和采樣次數進行合理優化。

插值點的主要測量誤差項為插值點的正向平均位置偏差，反向平均位置偏差，插值點的平均位置偏差，插值點的反向誤差，單向定位標準不確定度和單向重復定位精度等，本文以某型車銑復合機床為實驗對象，如圖3所示，為簡化模型，僅計算直線軸的綜合誤差，直線軸的全工作空間為：x∈[-540,-80] mm，y∈[-500,-40] mm，z∈[-420,-20] mm。

圖3 車銑復合機床結構簡圖Fig.3 Topological structure of mill-turn machine

實驗采用ML10型激光干涉儀，按照ISO 230-2的檢測標準，每隔20 mm采樣一個點，根據標準檢測循環實行檢測，重復實驗5次，實驗結果如表2所示，篇幅所限，僅列出部分X軸定位誤差的測量記錄。

插值點間距的設定和相鄰插值點的X、Y、Z三向定位誤差有關。一般認為機床誤差為連續函數，需要將誤差檢測值通過函數擬合來定義定位誤差函數。在數控系統內通常采用多項式擬合來計算誤差值，本文也采用多項式擬合來定義誤差函數，取10次測量的均值為誤差補償值，以X軸定位誤差為例，為了計算方便，統一以正向檢測誤差為準。

表2 X軸定位誤差測量值Tab.2 X axis positioning error measurement results μm

圖4 X軸定位誤差測量均值的多項式擬合分析Fig.4 Polynomial fitting analysis of measuring mean of X-axis positioning error

圖5 多項式擬合的殘差分析Fig.5 Residual analysis of polynomial fitting

由圖4、圖5可知常用的1階擬合和殘差為-4.20～5.28 μm，超過±4.0 μm的出廠標準；采用2～5階多項式擬合的殘差絕對值的最大值分別為4.93、4.64、3.37、2.64 μm，采用4階多項式擬合即可達到標準；采用2～5階多項式擬合的殘差絕對值的均值分別為1.98、1.96、1.60、1.47 μm，采用5階多項式擬合計算時間增加近50%，但精度提高不足10%，綜合分析采用4階多項式擬合已經可以較好地對誤差進行擬合。

插值點間距的設定由誤差函數和誤差補償精度和數控系統功能決定，一般數控機床插值點之間的誤差為線性插值。以X軸為例，先通過三階多項式擬合實際檢測誤差建立X軸的X、Y、Z三向誤差函數Px(x)、Py(x)和Pz(x)，即

(1)

式中amn(x)——X軸n向誤差擬合函數m階項

由式(1)及插值點間距lx和插補段數i可得數控系統直線插補所需的插補函數

(2)

式中iNm(x)——X軸第i段m向誤差插值函數

計算所得的X軸誤差可以換算為X軸的三向幾何誤差Ex(x)、Ey(x)和Ez(x)，即

(3)

插值點間距越小，誤差補償效果越好，但檢測時間變長且數控系統負擔更重。取最大的插值點間距的條件為

(4)

式中Lx——X軸插值全長

Nxmax——X軸最大插值點數

Em(x,Pn(x))——X軸第n點的m向定位誤差

Rm(x,Pn(x))——X軸第n點的m向重復定位誤差

Epx——機床X軸定位精度要求

Rpx——機床X軸重復定位精度要求

3 車銑復合機床實驗驗證

3.1 誤差檢測

實驗采用沈陽機床的某型五軸車銑復合加工中心[25]，其主要特點在于X、Y、Z構成三維空間，C軸為帶分度的車主軸，B軸為繞Y軸旋轉的軸，形成刀具與主軸回轉中心的夾角，可以換裝銑刀和車刀，總體結構如圖6所示。

圖6 五軸車銑中心結構示意圖Fig.6 Structure diagram of five-axis mill-turn machine

實驗以直線軸為例，誤差檢測實驗選用光動公司的MCV-5005套件，檢測過程采用分軸步進對角線檢測技術[26]，特點是所測得的位移誤差是平行于運動軸線方向的誤差和垂直于運動軸線方向的誤差的矢量和。實驗裝置及光路設定如圖7所示。

圖7 分軸步進對角線法(PNP/NPN路徑)Fig.7 Step-diagonal measurement method (PNP/NPN)

設定分軸步進對角線檢測的采樣路徑為PPP和NNN，然后PNP和NPN，然后NNP和PPN，最后NPP和PNN，重復檢測3次，測量區間分別為x=[-400,-10] mm，y=[-500,-20] mm，z=[100,1 000] mm，插值點每個軸為31，每條對角線檢測3遍取平均值，如圖8所示。

圖8 分軸步進對角線檢測結果Fig.8 Test results of step-diagonal measurement method

3.2 基于分軸步進對角線法的張量誤差模型

數控機床誤差綜合張量模型包括正向定位誤差，反向定位誤差，正向直線度誤差，反向直線度誤差，正向垂直度誤差和反向垂直度誤差。通過檢測8條對角線后統一計算可得，令PPP路徑上對角線矢量的X、Y、Z分量為a、b、c，任意測量點i上的正向定位誤差計算公式為

(5)

(6)

(7)

式中Em(ni)——n軸第i點的m向正向誤差

εl(ni)k——n軸第i點的k路徑上的激光長度

普通機床以正向誤差加反向間隙補償即可，如數控系統包含獨立的正反向誤差補償程序(SINUMERIK 840D)，則任意測量點i上的反向定位誤差計算公式為

(8)

(9)

(10)

式中E′m(ni)——n軸第i點的m向反向誤差

將測量數據代入式(5)～(10)可得直線軸的誤差簡化張量模型，即建立EL∈RI31×I31×I31×I6。以X軸為例，X軸的誤差簡化張量模型為E(x)=E:11:，參照插值補償如表3所示。

表3 X軸誤差簡化張量模型Tab.3 Error tensor model of X axis mm

840D型數控系統的誤差補償函數為高階多項式，理論上選用較高的多項式擬合精度較高，但會造成數控系統負載過重，魯棒性較差，需要對多項式的階數進行優化。以EL所得的誤差簡化張量模型為測試數據，分析多項式擬合的擬合效果，以殘差平方和Esse為對比標準，Esse定義為

(11)

考慮到數控系統的應用實際，對比采用1～6階多項式擬合的擬合效果，分為螺距誤差和直線度誤差，結果如圖9所示。

圖9 多項式擬合效果Fig.9 Polynomial fitting effect

圖9顯示了多項式擬合機床誤差的擬合效果，螺距誤差的多項式擬合效果較好，3階以上的殘差平方和均小于0.000 03，而直線度的誤差非線性的特征更為明顯，如X軸Z向直線度需要5階以上的擬合才達到0.000 3，說明誤差補償應當從只關注螺距誤差和垂直度誤差轉換為更關注于直線度誤差。

以線性插補的補償效果為基準，高階多項式的擬合效果如圖10所示。

圖10顯示了多項式擬合階數對機床誤差擬合效果的影響，螺距誤差的多項式擬合效果較好，采用3階即可提高擬合精度59.4%～92.5%，5階可提高64.0%～93.2%；各軸直線度的誤差各不相同，X軸3階提高26.4%～54.3%，而Y軸可提高75.5%～95.5%，Z軸為37.4%～57.3%。普通數控系統可選用3階多項式擬合即可達到滿意的補償效果，高檔數控機床則可選擇更高階的補償函數，進一步提高誤差補償的效果。

3.3 基于機床誤差張量模型的誤差補償

令插值點間距lx=20 mm，以3階多項式擬合正向誤差為例，建立X、Y和Z軸的三向誤差函數

圖10 多項式階數擬合效果對比Fig.10 Comparisons of polynomial fitting effect by polynomial order

(12)

(13)

(14)

該型號車銑復合機床采用SINUMERIK 840D型數控系統，通過擴展840D型數控系統SAG懸垂誤差補償功能[27]來實現數控機床誤差張量補償。在840D型系統內SAG懸垂誤差補償屬插值補償，提供基準軸和補償軸選擇，如定義基準軸$AN_CEC_INPUT_AXIS[6]=(X)，定義補償軸$AN_CEC_OUTPUT_AXIS[6]=(Y)，則代表第6項SAG誤差補償為相對于X軸Y方向上的誤差，將懸垂誤差以直線度誤差代替，則可實現X軸Y向直線度誤差的補償，其他各軸以此類推。

以球桿儀的圓度誤差檢測實驗驗證機床張量誤差模型，即將誤差張量模型轉換為表3所列誤差表，通過西門子840D的SAG補償功能實現誤差補償，以XY軸插補運動做圓度誤差檢測為例，結果如圖11所示。

分別檢測XY平面、XZ平面和YZ平面的圓度誤差，為避免動態誤差影響，優化動態參數，并將進給率設定為1 000 mm/min，檢測3次取均值，檢測結果如表4所示。

XY、XZ和YZ平面的原始圓度誤差在7.4～10.3之間，表明機床原始精度較高，在單獨補償各軸螺距誤差后，3個平面的圓度誤差增加12.2%～27.7%，表明空間誤差的補償是三軸誤差的綜合，單獨的螺距誤差無法優化多軸的聯動精度。通過采用多項式擬合的機床誤差張量模型實施補償后，XY平面圓度誤差降低22.3%，XZ平面圓度誤差降低18.9%，XZ平面圓度誤差增加7.2%，由于XY為主要加工面，檢測數據較多，考慮到誤差張量模型的補償為綜合優化，對XY平面的優化效果較好。另一方面，實際誤差的誤差函數的擬合階數越高，誤差補償效果越好。圓度誤差的檢測表明，在較高的機床原始精度下單純補償激光干涉儀測量的定位誤差已被證明不僅對圓度誤差沒有改善反而會增加圓度誤差，但采用張量模型實施誤差補償確實提高了機床的插補精度。

4 結論

(1)提出了數控機床的誤差張量模型建模方法。通過設定機床信息、建立張量模型及設定檢測參數3個流程建立數控機床誤差張量模型。張量誤差模型可以定義為基礎階、擴展階和誤差階3部分。

(2)建立了機床誤差張量模型的誤差檢測流程和主要檢測參數。通過設定誤差張量模型階數、設定誤差張量模型維數及插值點間距、設定采樣路徑、檢測定位誤差、檢測直線度誤差和數據處理6個步驟建立機床空間誤差張量模型。由實驗數據分析可得，定位誤差采用低階多項式擬合的精度不足，采用5階多項式擬合計算時間增加近50%，但精度提高不足10%，采用4階多項式擬合可以較好地對誤差進行擬合。

圖11 誤差補償效果(圓度誤差檢測)Fig.11 Compensation effects by roundness error test

(3)實驗驗證誤差張量模型實施誤差補償的有效性。建立基于分軸步進對角線法的機床誤差張量模型。螺距誤差的多項式擬合效果較好，3階以上的殘差平方和小于0.000 03，而直線度的誤差需要5階以上的擬合。采用球桿儀進行圓度誤差檢測實驗，在機床原始精度較高(圓度誤差10 μm)條件下，通過誤差張量模型仍能進一步提高20%左右，而通用的螺距誤差補償則會降低多軸聯動的精度12.2%～27.7%。

表4 球桿儀圓度誤差Tab.4 Roundness error by ballbar test

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ErrorCompensationModelofCNCMachine-toolBasedonTensorTheory

CHU Ning1ZHANG Weimin1,2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,TongjiUniversity,Shanghai201804,China2.ChineseGermanSchoolforPostgraduateStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804,China)

In order to improve the geometric accuracy of high-end CNC machine tools, a machine tool error compensation model based on tensor theory was proposed.Firstly, the error tensor model was established by setting the basic order, the extended order and the error order, which was applicable for error compensation table.Secondly, the error compensation was carried out in three processes, which were setting machine tool information, establishing tensor model and setting detection parameter.Referring to the ISO 230-2 standard, the modeling flow and detection parameters of the error tensor model were presented.Using multiple regression analysis, the linear fitting and residual errors were 2.5 μm, while the four polynomial fit residuals were 1 μm.Finally, taking CNC turn-milling machine experiment as an example, the error tensor model by step-diagonal measurement was proposed.The analysis of experimental data showed that the pitch error by three order fitting can improve the fitting precision by 59.4%～92.5%, the sum of squared residuals was less than 0.000 03; the straightness error needed five order fitting for nonlinear characteristics.The ballbar experiment of roundness error showed that roundness error was increased by 12.2%～27.7%, while only compensated the pitch error.For example, the compensation using error tensor model can be reduced by 22.3% of roundness error atXYplane by three order fitting, which was optimized by 26.4%～95.5% compared with that of the linear interpolation.The experiment showed that the error compensation should be paid more attention to the straightness error.The method of error tensor model can effectively improve the accuracy of machine tools for both pitch error and straightness error.

error compensation; tensor theory; step-diagonal measurement method; CNC turn-milling machine

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.10.052

TH161+.2； TH161+.5

A

1000-1298(2017)10-0408-09

2017-06-08

2017-07-28

國家科技重大專項(2012ZX04005-031)

褚寧(1984—)，男，博士生，主要從事機床誤差建模、誤差檢測與誤差優化研究，E-mail：chuning0126@163.com

張為民(1965—)，男，教授，博士生導師，主要從事金屬切削機床與加工工藝和制造系統等研究，E-mail：iamt@tongji.edu.cn