基于柔性多體動力學的機械臂結構優化設計

梁明軒 李正剛 唐任仲 陳 立 黃 川

1.浙江大學機械工程學院, 杭州，3100272.杭州新松機器人自動化有限公司, 杭州，310000 3. 中國計量大學機電工程學院, 杭州，310018

基于柔性多體動力學的機械臂結構優化設計

梁明軒1,2,3李正剛2唐任仲1陳 立2黃 川2

1.浙江大學機械工程學院, 杭州，3100272.杭州新松機器人自動化有限公司, 杭州，310000 3. 中國計量大學機電工程學院, 杭州，310018

針對柔性關節對工業機器人動力學特性的影響，基于“轉子-扭簧”模型和有限元法，研究關節剛度對機械臂固有動力學特性的影響規律；考慮臂桿柔性和關節柔性，建立了機械臂多柔體動力學有限元模型，以機械臂輕量化為設計目標，以末端總位移量為約束條件對機械臂結構進行優化。研究結果表明，不同關節剛度對機械臂各階固有頻率的影響不同，優化后的機械臂載重/自重比增大，剛度和強度均得到提高，整體動力學性能明顯提高。

機械臂；關節剛度；柔性多體動力學；拓撲優化；載重/自重比

0 引言

機械臂是工業機器人主要支撐與執行部件，載重/自重比是衡量其動作性能的重要指標，相對國外機械臂，國產機械臂載重/自重比較小，末端承載能力低，因而研究機械臂動態性能優化對提高國產機器人載重/自重比和末端操作精度具有重要意義[1]。機械臂過于輕量化往往會引起各部件產生較大的彈性變形及末端振動，在機器人的自重和外部負載的作用下，變形會累積到機器人的末端，引起末端的定位誤差[2]。在某些對末端定位精度要求高的場合，彈性作用不能忽略[3]。在機械臂動力學性能分析和優化時，必須考慮機器人系統柔性環節的影響。

針對機械臂柔性關節引起的末端振動，國內外已有很多關于柔性關節建模的研究，例如SPONG[4]首次采用“轉子-扭簧系統”模型來模擬柔性關節作用。在此基礎上，BAHRAMI等[5]建立了“線性扭簧-阻尼”模型，使之成為柔性關節力學建模的首選。有些學者同時考慮了臂桿柔性和關節柔性、間隙等因素，采用拉格朗日方程和假設模態法建立機械臂系統的簡化模型，這對于機械臂非線性振動特性分析至關重要，但在實際機械臂優化中還很少應用[6-7]。目前許多對機械臂的結構優化主要將機械臂關節看成剛性的，且是針對某一個零件在模擬載荷下的結構改進，忽略了各部件之間的耦合作用關系，對考慮臂桿柔性和關節柔性的機械臂結構優化有待深入研究。

本文以某型國產六自由度機械臂本體初始設計模型為對象，研究機械臂關節柔性和負載質量對機械臂動力學特性的影響；結合多柔體動力學、有限元法和結構拓撲優化理論，以機械臂輕量化為設計目標，開展機械臂關鍵部件結構優化設計。

1 柔性關節對動力學特性的影響分析

機械臂彈性變形主要有臂桿變形和關節變形，關節變形主要是由傳動件如諧波減速器、傳動帶等產生的。為了分析關節柔性對機械臂整體動力學性能的影響，采用“線性扭簧-阻尼”模型表示關節柔性特性。用Δθ表示關節相對扭轉角，則關節扭矩可以表示為τ=KΔθ，其中，K表示關節綜合扭轉剛度，可由諧波減速器的扭轉剛度近似代替[8]。機械臂末端手腕關節柔性對動力學性能影響較小，把手腕關節設成固定副，僅考慮腰關節、大臂關節和肘關節等關節柔性的影響。

基于機械臂初始三維設計模型建立底座、腰部、大臂、肘部、小臂以及手腕等關鍵部件有限元模型，如圖1所示。有限元網格模型共有1 341 036個四面體單元和336 870個節點。柔性臂桿材料為澆鑄鋁合金，密度為2700 kg/m3，彈性模量為72 GPa，泊松比為0.3。機械臂工作過程中形位姿態不斷變化，不同形位姿態下結構質量分布和承載能力不同，本文選取機械臂處于水平最大臂展位置這一危險姿態進行分析。在底座4個螺栓孔建立螺栓預緊單元，采用block lanczos法提取不同關節剛度下機械臂前五階模態。圖2和圖3所示分別為腰關節扭轉剛度和大臂關節扭轉剛度對機械臂前五階固有頻率的影響規律。

(a)實體模型

(b)有限元模型圖1 機械臂實體模型和有限元模型Fig.1 The solid model and finite element model of robot arm

圖2 腰關節剛度的影響Fig.2 Effect of waist joint stiffness

圖3 大臂關節剛度的影響Fig.3 Effect of upper arm joint stiffness

當考慮腰關節柔性時，機械臂前三階振型均含有腰部扭轉振動，前三階固有頻率受腰關節扭轉剛度的影響較大，從圖2中可以看出，當腰關節扭轉剛度小于0.3 MN·mm/(°)時，機械臂前三階固有頻率會隨著腰關節剛度的增大而明顯增大，當扭轉剛度大于0.3 MN·mm/(°)時，腰關節剛度變化對前三階固有頻率的影響相對減弱；第四、五階固有頻率受腰關節柔性的影響較小。由于第二階振型主要為機械臂左右擺動振動，該振型與大臂關節的扭轉方向無關，從圖3也可以發現，大臂關節剛度對第二階頻率沒有影響；當大臂關節剛度大于0.3 MN·mm/(°)時，對第一、三、四階固有頻率的影響并不明顯，但當該剛度在0.01～0.3 MN·mm/(°)范圍內時，第一、三、四階固有頻率隨著該關節剛度的增大而增大；由于第五階振型為大臂與腰部連接處的相對扭轉，該階固有頻率會隨著大臂扭轉剛度的增大而持續增大。

圖4 肘關節剛度的影響Fig.4 Effect of elbow joint stiffness

圖4所示為肘關節扭轉剛度對機械臂固有頻率的影響規律，考慮肘關節柔性時，機械臂第五階振型為肘關節與大臂連接處的相對扭轉，肘關節剛度對第五階固有頻率影響較大，但對第一、二階頻率沒有影響。當肘關節剛度小于50 kN·mm/(°)時，第三、四階頻率會隨著肘關節扭轉剛度的增大而增大，但當該剛度大于50 kN·mm/(°)時，第三、四階頻率變化很小。以上分析結果表明，不同部位的關節剛度變化對機械臂各階固有頻率的影響不同，關節剛度的增大會使相應固有頻率提高，腰關節剛度主要影響與腰部扭轉有關的機械臂側方向擺動固有頻率，大臂關節主要影響機械臂末端上下振動頻率，肘關節主要影響肘部彎曲振動頻率。由此可知，在對機械臂結構進行優化時，必須考慮各關節剛度的影響，建立機械臂多柔體耦合優化模型。

2 多柔體機械臂結構優化設計

為了提高機械臂載重/自重比，筆者針對機械臂初始設計進行結構優化設計，在滿足機械臂末端承載能力的前提下，減小機械臂本體質量和部件運動慣量，提高動力學性能。結構拓撲優化通常以有限元理論為基礎，在優化模型中，利用各向同性固體材料懲罰函數法(SIMP)，以優化區域內每個單元的密度作為設計變量，將結構的拓撲優化問題轉換為單元材料的最優分布問題，引入插值懲罰因子來描述彈性模量E與單元密度xe的關系[9]：

E=(xe)pE0

(1)

其中，e為單元序號；p為懲罰因子，p>1；E0為致密化單元實體材料彈性模量；E為插值以后的單元空洞單元的彈性模量。同理，初始單元剛度k0和插值后的單元剛度k的關系可以表示為

k=(xe)pk0

(2)

初始單元密度ρ0和插值后的單元密度ρ的關系可以表示為

ρ=xeρ0

(3)

若以機械臂結構柔度的最小化(即剛度最大化為目標)，則基于有限元法的拓撲優化數學模型為

(4)

s.t.F=KU

0

式中，C為機械臂結構總柔度；x為單元設計變量；U為位移向量；ue為單元位移向量；F為載荷向量；n為機械臂結構優化區域內總單元體數量；M0為機械臂結構初始質量；xmin為防止總體剛度矩陣奇異而設定的密度下限，通常取一極小的正數。

該優化模型以優化區域內單元的相對密度作為拓撲優化設計變量，這樣結構的拓撲優化問題就轉換為材料的最優分布問題。依據各關節諧波減速器實際型號，在腰部關節處建立扭轉剛度為31 kN·mm/(°)的扭轉彈簧單元，在大臂關節和肘關節建立扭轉剛度為16 kN·mm/(°)的扭轉彈簧單元，各關節阻尼比取0.8。在底座螺栓孔處建立螺栓預緊單元，模擬底座螺栓約束，末端手腕關節采用固定副連接。在機械臂末端豎直方向和水平方向施加額定力載荷40 N，繞機械臂軸向方向施加額定力矩載荷50 N·m。由靜力學分析得到機械臂末端最大位移為1.5 mm，最大應力位于腰部，為6.2 MPa，遠遠小于臂桿材料的屈服強度217 MPa，則該機械臂具有足夠的強度裕度，優化過程中主要考慮剛度約束。

本文主要針對大臂、肘部和小臂結構進行優化，各部件可優化區域如圖5所示。以機械臂可優化區域內材料最少為設計目標，以機械臂末端總位移小于1.5 mm為約束條件，考慮機械臂自身重力和末端負載的影響，對機械臂進行拓撲優化，經過25次迭代得到機械臂單元相對密度云圖，如圖6所示。

圖5 優化區域分布Fig.5 Distribution of optimized area

圖6 機械臂單元相對密度云圖Fig.6 Element density nephogram of robot arm

在密度云圖中數值代表相對于初始模型密度比值，相對密度值越接近1的區域材料去除越少，越接近0.01的區域材料可以去除越多，根據優化結果，考慮機械臂各部件鑄造工藝約束，對大臂、小臂和肘部的初始模型進行改進設計，具體優化部位如圖7所示。

(a)初始三維設計模型

(b)優化后三維設計模型圖7 優化前后設計模型對比Fig.7 Comparison of design model

優化的機械臂總質量為12.4 kg，相對初始設計質量減小5%，機械臂載重/自重比由0.30提高到0.32。為了驗證優化設計的合理性，對優化后的機械臂動重新進行靜力學分析，得到優化后的機械臂在額定負載下的總應力云圖和變形云圖,如圖8所示。

從圖8可以看出，優化后的機械臂在前述額定工況下的最大應力為5.5 MPa，最大應力位于機械臂腰部，相對于優化前的機械臂該應力有所減小；機械臂末端的最大變形為1.3 mm，相對于優化前機械臂末端變形減小了13.3%。優化前后機械臂動力學特性對比見表1。

從表1可以看出，優化前后機械臂前兩階固有頻率均有所增大，分別提高了3.2%和3.9%，優化后的機械臂在額定負載下最大應力減小到5.5 MPa，末端總位移由1.5 mm減小到1.3 mm，表明機械臂總體剛度和強度性能指標均有所提高，優化后的機械臂動力學性能得到明顯提高。

(a)總應力云圖

(b)總變形云圖圖8 優化后機械臂總應力云圖和總變形云圖Fig.8 Total stress and deformation nephogram

性能指標優化前優化后相對變化量(%)一階固有頻率(Hz)21.622.303.2二階固有頻率(Hz)27.929.003.9最大應力(MPa)6.25.50-11.3最大變形(mm)1.51.30-13.3結構質量(kg)13.112.40-5.0載重/自重比0.30.326.3

3 結語

本文結合“轉子-扭簧”模型和有限元法建立了機械臂柔性多體動力學模型，通過對比分析不同部件的關節剛度變化對機械臂前五階固有頻率的影響規律可以發現：關節剛度的增大會使相應固有頻率提高，腰關節剛度主要影響與腰部扭轉有關的機械臂側方向擺動固有頻率，大臂關節主要影響機械臂末端上下振動頻率，肘關節主要影響肘部彎曲振動頻率，在對機械臂進行優化時必須考慮關節剛度的影響。

通過考慮關節柔性和臂桿柔性對機械臂進行拓撲優化，相對初始設計模型，優化后的機械臂前兩階固有頻率和自身載重/自重比均有所提高，額定負載下的最大應力和末端總位移均有所減小，表明機械臂自身動力學性能得到提升。該研究結果可為機械臂本體的動力學優化和相關類型產品的改進升級提供理論依據。

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StructureOptimizationDesignofRobotArmBasedonFlexibleMulti-bodyDynamics

LIANG Mingxuan1,2,3LI Zhenggang2TANG Renzhong1CHEN Li2HUANG Chuan2

1.College of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou，310027 2.Hangzhou Siasun Robot Automation Co., Ltd., Hangzhou，310000 3.College of Mechanical and Electrical Engineering, China Jiliang University, Hangzhou,310018

Aiming at the influences of the flexible joints on the dynamics of industrial robots, the effect laws of the joint stiffness on the natural dynamics characteristics of the robot arm were investigated based on the rotor-torsional spring model and the finite element method. A flexible multi-body dynamics model of robot arm was established by considering the flexible characteristics of the arms and the joints. The topology optimization on the robot arms was carried out by taking the lightweight as the design goal and the total displacement as the constraints. The results indicate that the tare-load ratio of the optimized robot arm increases, the stiffness and strength of the robot arm enhances, and the overall dynamics performance improves significantly.

robot arm; joint stiffness; flexible multi-body dynamics; topology optimization; tare-load ratio

TK122

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.21.008

2016-12-30

國家自然科學基金資助項目(51705494)；浙江省自然科學基金資助項目(LQ17E050005)

(編輯陳勇)

梁明軒，男，1986年生。浙江大學機械工程學院和杭州新松機器人自動化有限公司聯合培養博士后研究人員，中國計量大學機電工程學院講師。研究方向為機器人機電耦合系統動力學優化、轉子非線性動力學及振動控制。發表論文7篇。E-mail:mingliangxuan@163.com。李正剛，男，1966年生。杭州新松機器人自動化有限公司總經理、高級工程師。唐任仲，男，1960年生。浙江大學機械工程學院教授、博士研究生導師。陳立，男，1984年生。杭州新松機器人自動有限公司研究院院長、高級工程師。黃川，男，1988年生。杭州新松機器人自動化有限公司工程師。