線性代數微課設計思想應用于課堂教學的實踐與探索

鄭瑩+王發興

【摘要】微課以“短而全、簡而精”的顯著特點促進著互聯網時代的教學，通過微課設計，使得抽象難懂的線性代數變得清晰簡單，打造出“淺、顯、易、趣”的數學課堂，文章以線性代數中“矩陣的相似對角化”微課設計為例，對知識點的教授做作了完美的詮釋，通過將微課思想應用于傳統教學，極大的提高了課堂教學效果，使得學生提升了本節知識和線代代數思想內涵的理解，同時極大的提升了教師的教學水平。

【關鍵詞】微課；設計；相似對角化；教學

【中圖分類號】G642.4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）39-0166-02

一、引言

這是一個互聯網的時代，無處不在的網絡影響著我們的生活，教育作為興國之本，也已悄悄融入到互聯網的浪潮中。教育是一個系統的工程，上好一堂課、上好一門課，需要教育者付出很大努力；學好一堂課、學好一門課，需要學習者認真的對待。微課是一種符合信息時代和教育教學規律的全新教學形式，適用于新的教學模式，它極其短小，但卻富含思想，經過精心設計的微課對于推進教育信息化的內涵發展，變革教師的教學方式和學生的學習方式，促進廣大教師的專業成長，具有非常重要的意義。

“線性代數”作為理、工、文、經、管諸學科的重要公共基礎數學課，其課程的基本概念、理論和方法較其他數學課程又具有更強的邏輯性和抽象性，定義、定理難以理解，且這是一門富含哲理思想的學科，因此其教學內容更需要精心設計，讓學習者能學會其內容方法，并體會其哲理思想，從而將其應用于生活、生產及科學研究中。

二、“矩陣的相似對角化”微課設計

矩陣對角化理論相當于對一類矩陣在相似意義下給出了其最簡單的等價形式。可對角化矩陣作為一類特殊的矩陣，在理論上和應用上都有著十分重要的意義，例如求方陣的高次冪、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似等。

1.提出問題：用冪的定義計算一般階矩陣A的次冪較為困難，但對角矩陣的次冪較為容易，如何較為容易求得？

2.猜想假設：則若，即可得，進而。

注：將矩陣的計算轉化為的計算，

3.確定目標：建立一類階矩陣與對角矩陣的相似關系，并利用這種相似關系求解。

4.給出定義：階矩陣A可對角化，當且僅當存在可逆矩陣P，使得，P稱為相似變換矩陣，為對角矩陣，記作。

5.提出問題：（1）A可對角化的條件是什么？（2）若A可對角化，則P和如何求？

6.分析討論（重點、難點）

（1）條件分析

①由A可對角化定義出發分析得：

若，則的對角元為A的個特征值，P為A的特征值對應的個線性無關的特征向量構成的矩陣。

②由A有個線性無關的特征向量分析得：

以A的個特征值作為對角元構成對角矩陣，特征值對應的個線性無關的特征向量構成相似變換矩陣P，則有，即A可對角化。

（2）判定定理：

①充要條件：階矩陣A可對角化當且僅當A有個線性無關的特征向量。

②充分條件：若階矩陣A有個互不相等的特征值，則A一定可對角化。

（3）求解步驟

①解得特征值；②求的基礎解系得屬于的特征向量；③A的線性無關特征向量總數=，則可對角化（<則不能）；④若A能對角化，特征值構成，對應基礎解系構成P。

7.舉例應用

例1.設矩陣A=（1，0，0； -2，5，-2；-2，4，-1），①證明A可對角化；②求相似變換陣矩陣P，使；③求。解：（過程略）

注：通過該題完全演繹對角化的求解判定步驟，并體會化繁為簡的思想。

例2.設3階矩陣的特征值是1，-1，0，對應的特征向量分別為：p1=（1，0，0）T， p2=（0，1， -1）T ， p3=（3，2，-1）T，求矩陣。解：（過程略）

注：通過該題體會何為矩陣的特征值、特征向量，如何利用矩陣特征，反向求出矩陣，從而體驗出利用事物特征去描述事物的思想。

8.歸納總結：（1）階矩陣A不一定都能對角化；（2）對角化充要條件、充分條件，以及求解步驟；（3）“變難為易”求解；（4）利用特征，反向求A。

三、微課設計應用實踐及效果

常規教學一般直接給出定義→給出定理→給出證明→給出例題→最后總結，學生往往不知所云，究竟這是什么？為什么學？人家為什么會想到？學這個有什么用？這個對我們的生活有何指導？死板的教學模式只會打擊學生的積極性，從而消磨了學習數學的興趣。數學本是用數學符號描述自然現象和人文現象的學科，通過符號將一切統一化，進而再理論演繹，得到結論，從而更好的指導我們的生活。

在實際教學中，將上述微課設計應用于課堂教學，將理論暗含到小現象、小策略、小故事中，在對它們的層層剖析、梳理中，將新的理論將不知不覺地浸入到學生的大腦，改變大腦神經組織，進而提升了學生對相似對角化內容的認知和理解。同時在教學設計的過程中，對教師的教學提出了更高的要求，如何引入、如何詮釋，如何設計例題，如何帶領學生去發現，去分析，去歸納，去思考……都需要經過反復思考，反復推敲，這在潛移默化中提升了教師對知識的理解和教學水平的提高。

四、結語：再塑課堂 高效教學

教學始終是教與學的過程，無論微課還是MOOC最終都無法取代真實的課堂，因為真實的課堂是有溫度的，教育的終極目標是學會做人。當我們擁有了優質的教學資源，需要教師自身具備應用現代教學設備的能力和教學設計組織的能力，經過教師的組織，教學過程便有了溫度，溫度越好，現場氣氛越好，師生的互動性便越好，現場便也有了爭辯，在爭辯和互動的過程中便有了進一步的互相學習，了解了同伴們新的不同體會，因而學習到更多的思想和方法，潛移默化之中學生便不知不覺的提高了：知識吃透了，思維清晰了，變得自信了，敢于表達了，懂得尊重了，懂得分享了，學會團結了。

未來的互聯網教育時代，對教師將提出更高的要求，如何將現有知識內化加工，如何通過高科技的手段高效傳授給學生，讓學生成為有用之才，都是我們要進一步去努力探索的，這個過程必將是一個復雜的藝術創作的過程！

參考文獻：

[1]王發興，鄭瑩. 應用型本科院校線性代數教學改革的幾點構想[J]. 課程教育研究，2014，08：149.

[2]鄭瑩，王發興. 工科院校線性代數的教學現狀及幾點建議[J]. 學苑教育，2014，24：52.

[3] 王發興，鄭瑩.線性代數微課程在獨立學院教學中的應用分析[J]. 課程教育研究，2016，15 142-143.

基金項目：南京郵電大學通達學院教學改革項目，編號：JG30915010。

作者簡介：鄭瑩（1979-），女，漢族，河南安陽，講師，南京郵電大學，江蘇南京。研究方向：微分方程、數學教育。endprint