概率論在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用研究

概率論在經(jīng)濟(jì)生活中應(yīng)用十分廣泛，本文主要從古典概型、數(shù)學(xué)期望以及大數(shù)定律和中心極限定理3個(gè)方面介紹了概率論相關(guān)知識(shí)，并舉例說明其在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用。其中，在古典概型中重點(diǎn)介紹了波利亞模型，并給出了數(shù)值模擬的過程，驗(yàn)證了所得結(jié)論。概率論作為數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用，為經(jīng)濟(jì)學(xué)做出了突出貢獻(xiàn)，也使得經(jīng)濟(jì)學(xué)變得更加規(guī)范和完善。

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。隨機(jī)現(xiàn)象是指在一定條件下進(jìn)行試驗(yàn)或觀察時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果，但具體出現(xiàn)哪種結(jié)果在每次試驗(yàn)前都無法確定。概率論正是通過對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行演繹和歸納，從數(shù)量的角度研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論最初起源于賭博問題。當(dāng)今在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，尤其是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，描述經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)特征，最優(yōu)決策以及保險(xiǎn)等方面都要用到概率論的相關(guān)知識(shí)。

概率論在經(jīng)濟(jì)學(xué)問題研究中具有以下優(yōu)勢(shì)：一是概率論可以很好地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來建立模型，從而將經(jīng)濟(jì)范疇之間關(guān)系的描述和研究數(shù)量化；二是概率論有著嚴(yán)密的邏輯推理，不但可以盡可能地規(guī)避漏洞和錯(cuò)誤，而且能夠推導(dǎo)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的各種軌跡，對(duì)經(jīng)濟(jì)行為的預(yù)測(cè)起指導(dǎo)作用；三是概率論的引進(jìn)使得傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)突破了確定性行為研究的界限，可以在不確定性條件下，得到僅憑直覺不易得出的結(jié)論，更加具有概括性[1]。概率論作為數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用，使得經(jīng)濟(jì)學(xué)成為一門更加規(guī)范和完善的科學(xué)。

概率論在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

古典概型

古典概型具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；二是每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都相等，即等可能性[2]。古典方法是概率論發(fā)展初期求概率常用的方法，它主要借助于演繹或外推。比如擲骰子、摸球、彩票等問題都可以通過這一方法求得概率。

例1：假設(shè)罐中有b個(gè)黑球、r個(gè)紅球，每次試驗(yàn)隨機(jī)取出一個(gè)球，然后將原球放回，并且再加入c個(gè)同色球和d個(gè)異色球。這樣的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為波利亞模型，它可以用來描述傳染病傳播和貧富差距以及安全生產(chǎn)等現(xiàn)象。

現(xiàn)在要從罐中取出兩個(gè)紅球和一個(gè)黑球。由分析可知第二個(gè)球被抽取這一事件是在第一個(gè)球被抽取的條件下發(fā)生的，同理第三個(gè)球被抽取同樣受前兩次結(jié)果的影響，根據(jù)條件概率公式與乘法公式

可得

容易看到，以上概率與黑球在第幾次被抽取有關(guān)。該模型有以下幾種情況：

1）當(dāng)時(shí)，稱為不返回抽樣，此時(shí)前次抽取結(jié)果會(huì)對(duì)后次抽取結(jié)果造成影響。但在抽取的黑球與紅球個(gè)數(shù)確定的情況下，其概率與抽出球的次序無關(guān)。此例中有

2）當(dāng)時(shí)，稱為返回抽樣。此時(shí)每次抽取都是相互獨(dú)立事件，且上述三個(gè)概率相等，此例中有

3）當(dāng)時(shí)，稱為傳染病模型。此時(shí)每次取出球后都會(huì)增加下次取到同色球的概率。此例中有

4）當(dāng)時(shí)，稱為安全模型。此時(shí)每當(dāng)紅球被取出，則會(huì)降低下一次取出紅球的概率；每當(dāng)黑球被取出，則會(huì)降低下次取出黑球的概率，相應(yīng)地，取出紅球的概率就會(huì)增加。此例中有

對(duì)于3）中的傳染病模型，它還可以用來解釋貧富差距。在波利亞罐子中，罐中小球顏色的構(gòu)成與概率分布會(huì)隨著每次抽取產(chǎn)生變化，最后必將出現(xiàn)一種球在數(shù)量上遙遙領(lǐng)先于其他顏色的球。假設(shè)某種顏色的球在初始罐中存在著數(shù)量上的小幅優(yōu)勢(shì)，這種優(yōu)勢(shì)可能會(huì)被隨機(jī)抽取過程不斷放大。但是，這并不意味著初始罐中數(shù)量最多的球最后一定會(huì)獲得勝利。實(shí)際上，在早期的抽取中，不同顏色球數(shù)的變動(dòng)呈現(xiàn)出一種混沌狀態(tài)（除去初始罐中不同顏色的球數(shù)量分布存在巨大差異的情況），隨著抽取的不斷進(jìn)行，罐中數(shù)量最多的球顏色很有可能發(fā)生變化。也就是說僅憑初始罐中球的數(shù)量分布并無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)束時(shí)數(shù)量最多的球的顏色。

波利亞模型的現(xiàn)實(shí)意義在于，競(jìng)爭(zhēng)中開始占據(jù)優(yōu)勢(shì)的一方，最終在競(jìng)爭(zhēng)中勝出的概率會(huì)更高，但只要優(yōu)勢(shì)并沒有足夠大，別的顏色的球仍然有勝出的可能。它比馬太效應(yīng)更加貼合現(xiàn)實(shí)情境。馬太效應(yīng)指的是經(jīng)濟(jì)學(xué)中貧者愈貧，富者愈富，贏家通吃的一種分配不公的現(xiàn)象。但在波利亞模型中，可能存在某一個(gè)時(shí)刻，某種顏色的球數(shù)積累至超越初始罐中數(shù)量最多的球，進(jìn)而達(dá)到一定量級(jí)，然后跨越臨界點(diǎn)，結(jié)束混沌狀態(tài)，最后分布開始朝向單一的軌道前進(jìn)。從這種角度來看，初始條件下任何未能構(gòu)成顯著差異的實(shí)力優(yōu)勢(shì)意義十分的有限。我們可以通過數(shù)值模擬來觀察這種隨機(jī)抽取的過程。

初始罐中分布：10個(gè)紅球、8個(gè)黑球、7個(gè)黃球、5個(gè)綠球、2個(gè)藍(lán)球。測(cè)試結(jié)果如下：

圖1

從圖1中可以看出，隨著抽取的不斷進(jìn)行，紅球最后勝出的可能性比較大，但由于紅球?qū)ζ渌伾那颍ㄋ{(lán)球除外）并不具備顯著優(yōu)勢(shì)，所以別的球仍有獲勝的可能，藍(lán)球則由于初始數(shù)量太少，始終處于較低的水平。

對(duì)于4）中的安全模型，可解釋為：每當(dāng)事故發(fā)生（紅色球被取出），就抓緊安全工作，則下次再發(fā)生事故的概率就會(huì)降低；而當(dāng)事故沒有發(fā)生時(shí)（黑色球被取出），安全工作就會(huì)放松，結(jié)果導(dǎo)致下次再發(fā)生事故的概率增加。它還可以用來構(gòu)建科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型來治理“中國(guó)式過馬路”問題。當(dāng)抓到違章穿越馬路者，可進(jìn)行處罰，使其回歸守法者陣營(yíng)，并且起到震懾效果，使?jié)撛谶`章者也決定回歸到守法者陣營(yíng)。隨著被處罰的違章穿越馬路人數(shù)的增加，最終會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間都抓不到違章穿越馬路的行人[3]。

數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量中最重要的一項(xiàng)數(shù)字特征。它反映了隨機(jī)變量平均取值的大小，又稱均值。數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活中有許多應(yīng)用，比如如何實(shí)現(xiàn)收益最大化，如何降低證券投資組合風(fēng)險(xiǎn)等，它為決策者作出最優(yōu)決策提供了重要的理論依據(jù)。

例2[4]：設(shè)有一筆資金，總數(shù)為1，可以投資甲、乙兩種證券。將資金用來投資甲證券，其余資金投資乙證券，稱為投資組合。其中，投資甲證券的收益率為X，投資乙證券的收益率為Y。已知X和Y的平均收益（即期望）分別為和，風(fēng)險(xiǎn)（即方差）分別為和，為X和Y間的相關(guān)系數(shù)。求如何使得投資風(fēng)險(xiǎn)最小。

根據(jù)題意，組合收益為

則平均收益為

組合風(fēng)險(xiǎn)為

則

由導(dǎo)數(shù)為可解得，它與和無關(guān)。

由中的系數(shù)為正可知可使組合風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到

最小。

譬如，=0.3，=0.5，=0.4，

則，

則投資組合。

即把全部資金的70.4%投資甲證券，其余投資乙證券可使風(fēng)險(xiǎn)最小。

大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律主要描述一系列隨機(jī)變量和的平均值的穩(wěn)定性。隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類定理叫做中心極限定理[5]。它們揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是聯(lián)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的橋梁，無論是在理論研究還是實(shí)際應(yīng)用中都具有非常重要的意義。比如，大數(shù)定律是保險(xiǎn)業(yè)存在和發(fā)展的基礎(chǔ)，中心極限定理則對(duì)厘定保險(xiǎn)費(fèi)率極為重要。

例3：某保險(xiǎn)公司有2 500個(gè)人參加保險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)為每人每年1 200元，假設(shè)發(fā)生意外的概率為0.002，發(fā)生意外時(shí)保險(xiǎn)公司需賠付20萬元。

求：1）保險(xiǎn)公司虧損的概率。2）保險(xiǎn)公司年利潤(rùn)不低于100萬元概率。

設(shè)X為每年死亡的人數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，即，則

則虧損的概率為：

即保險(xiǎn)公司虧損的概率為0.00007，幾乎為零。

保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)不低于100萬元為：

由此可見，保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧損。

結(jié)論

通過上面的分析，可見概率論與經(jīng)濟(jì)生活的聯(lián)系十分緊密。它能使經(jīng)濟(jì)學(xué)中的問題清晰化、邏輯化、數(shù)量化。在經(jīng)濟(jì)生活中，利用它可以得到一些有意義的結(jié)論，可以幫助企業(yè)進(jìn)行合理投資、科學(xué)決策等。概率論為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，并將繼續(xù)發(fā)揮著關(guān)鍵

作用。

參考文獻(xiàn)

[1]孫少葆.概率論知識(shí)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用研究[J].現(xiàn)代企業(yè)文化，2009（23）：227-228.

[2]朱曉瑩，蔡高玉，陳小平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2017.

[3]黃科登，黃曉菲，陳奇?zhèn)ィ?中國(guó)式過馬路治理數(shù)學(xué)模型[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（2）：20-26.

[4]峁詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]王東紅.大數(shù)定律和中心極限定理在保險(xiǎn)業(yè)中的重要應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2005，35（10）：128-133.

（作者簡(jiǎn)介：孫怡馨，中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)。）