麥克斯韋方程組的推導及應用

戢予 周桐 賴秋宇 重慶郵電大學光電工程學院重慶國際半導體學院

麥克斯韋方程組的推導及應用

戢予 周桐 賴秋宇 重慶郵電大學光電工程學院重慶國際半導體學院

經典物理學中的電磁現象是最具吸引力的現象之一，而要研究這些有趣的現象，麥克斯韋方程組則是最好的工具。我們以最經典的方式，即由其理論基礎經過嚴格的數學推導，來嘗試得到麥克斯韋方程組。本文所展示的詳細推導過程可讓讀者，不論是初次接觸還是資深學者，均對麥克斯韋方程組有更加深刻的感悟，對電磁學科中的相應知識也能更好的掌握。同時，本文也列舉了麥克斯韋方程組的兩個經典應用，波導及天線與輻射系統，供讀者參考。

麥克斯韋方程組 法拉第電磁感應定律 波導 天線

1 概述

麥克斯韋方程組Maxwell equations是麥克斯韋總結了庫侖、安培、法拉第的研究成果后，歸納出的描述電場和磁場的基本方程，預言了電磁波的存在。它作為電磁學的基礎，解釋了經典物理中的電磁現象。

2 理論基礎

2.1 兩個恒等式

任何一個標量場的梯度的旋度為零，如下列等式所示：

任何一個矢量場的旋度的散度為零，如下列等式所示：

2.2 高斯定理

在任一自由空間中的閉合曲面上向外的電場強度的通量總和，等于閉合面內所包含的電荷總量與絕對介電率之比，也就是說：

2.3 法拉第電磁感應定律

在靜電場與靜磁場中，電場強度E與磁場強度H是相互獨立的兩個物理量，而在時變場中，電場和磁場會產生相互影響。經大量實驗，我們可以發現，時變的磁場（磁通量的改變）會產生感應電動勢，從而影響電場強度的大小及方向，基本的轉化關系如下所示：

上式表明，在空間中的任意一點，無論是在自由空間還是媒質中，時變磁場產生的電場是一個渦旋電場，且不能用標量電位的梯度的旋度進行表示。該方程也是麥克斯韋方程組中的其中之一。

2.4 電流連續性方程

假設有一個體積為V，表面積為S，且有一個帶電量為Q的電荷存在的區域，如果有電流流出這個區域，那這個區域電荷減少的速率則等于該電流大小，于是我們可以得到：

根據散度定理，則有：

上式中ρ為體電荷密度，化簡之后即可得到：

3 推導

（1）由于電通量密度D與電場強度E的關系為：

若此處的ρ是自由電荷密度，則高斯定理可以改寫為：

（2）在靜磁場中，物理現象遵循安培環路定理，也就是說，磁感應強度沿閉合回路積分與磁導率和流過的電流之積相等，所以我們可以得到以下等式：

但是我們從之前的分析可以得知，時變情況下的，為了滿足兩個恒等式的要求，我們根據電流連續性方程來修正安培環路定理，又因為（1）中已知所以：

（3）最后，由于磁通量是連續的，所以閉合面的磁通量為零。于是我們最終整理出四個電磁場的相關方程：

是為麥克斯韋方程組。

4 應用

我們對電磁場的所有分析都是基于麥克斯韋方程組的，結合不同的邊界條件，我們可以得到麥克斯韋方程不同的應用。在此舉兩個典型的實際應用。

4.1 波導

規則金屬波導是指各種截面形狀的無限長的筆直的空心金屬管，其截面形狀和尺寸、管壁的結構材料及管內介質填充情況沿其金屬管軸線方向均不變，被引導的電磁波被完全限制在導管內縱向傳播。其導管內的電磁場可以由麥克斯韋方程組，在特定的邊界條件下求得，理想導體的邊界電場和磁場都為0，從而限制了傳輸的電磁波的頻率。

4.2 天線與輻射系統

為了能將電磁能量輻射出去，我們設計出了天線這種裝置。天線可以由加了電壓的一根直導線或者一個導體環，再或者輻射元陣列構成，它可以作為發射機的末端，也可以作為接收機的前端。研究天線的方法便是運用我們之前提到的麥克斯韋方程組以及時變電磁場。天線的主要輻射特性包括：方向性系數、增益、工作頻帶以及天線阻抗。

5 總結

麥克斯韋方程組在電磁學中的地位，如同牛頓運動定律在力學中的地位一樣。在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經成為一個不可分割的整體。該方程組系統而完整地概括了電磁場的基本規律，并預言了電磁波的存在。此外，它在物理上以“場”而不是以“力”作為基本的研究對象也是一次偉大突破。

[1]David K.Cheng.電磁場與電磁波[M].清華大學出版社，2007,（07）

[2]廖承恩.微波技術基礎[M].西安電子科技大學出版社,2013,（07）

[3]徐銳敏.微波網絡及其應用.科學出版社[M]，2010,（07）