一類多維參數高斯過程的弱逼近

李夢玉,申廣君,崔 靜

(安徽師范大學數學系,安徽蕪湖 241000)

一類多維參數高斯過程的弱逼近

李夢玉,申廣君,崔 靜

(安徽師范大學數學系,安徽蕪湖 241000)

本文研究了一類多維參數高斯過程的弱極限問題.在一般情況下,利用泊松過程得到了此類過程的弱極限定理,此多維參數高斯過程可表示為確定的核函數關于維納過程的隨機積分,且包含多維參數的分數布朗運動.

弱收斂;高斯過程;泊松過程;分數布朗運動

1 引言

由于Davydov[8]的工作,最近很多學者研究了布朗運動和分數布朗運動的弱收斂問題.Stroock[13]研究了一維標準的泊松過程與標準的布朗運動之間的如下關系:令{N(t),t≥0}是一個標準的泊松過程,定義

則當ε→0時,yε(t)在連續函數空間C([0,1])中弱收斂到標準的布朗運動{Bt,t≥0}.受到Stroock[13]工作的啟發,Bardina和Jolis[2]證明了當ε→0時,隨機過程族

在C([0,1]2)空間中弱收斂到標準的布朗單,其中是平面上的一個標準泊松過程(關于多維情形的相應結果可參考Bardina,Jolis和Rovira[1]).Delgado和Jolis[7]證明了可以利用泊松過程逼近具有如下隨機積分表示的一類高斯過程

其中K是滿足一定條件的確定的核函數.Bardina,Jolis和Tudor[3]把上述結果推廣到分數布朗單和其他兩參數高斯過程:令使得

其中W={Ws,t,(s,t)∈[0,1]2}是標準布朗單且核函數K1,K2滿足一些條件.令

那么Xε在連續函數空間C([0,1]2)中弱收斂到WK1,K2.更多關于分數布朗運動,分數布朗單和多參數過程的相關問題可參見Bardina和Florit[4],Li和Dai[10],Wang等[14,15],徐銳等[16],Dai[6]等文獻.

受上述文獻的啟發,令X(t1,···,td)是具有如下隨機積分表示的一類d-維參數高斯過程

其中W={Wt,t∈[0,1]d}表示d-維布朗運動,Ki,i=1,···,d是滿足一定條件的確定的核函數.本文證明了

在連續函數空間C([0,1]d)中弱收斂到X.此結論是將文獻[3]中的結論推廣到了d-維參數情形,而在多維參數情形下的計算過程會遇到更多的困難,因此更多的借用了文獻[1]中的不等式來證明定理.本文中常數C0,C,Cd,cHi,CHi表示常數,在不同的位置可以表示不同的值.

2 主要結論

是X在(s,t]上的增量(見Bickel和Wichura[5]).特別地,當d=2時,

是常見的二維空間上的增量.

本節考慮d-維參數高斯過程X={X(t),t∈[0,1]d},

其協方差函數為

其中Ki:[0,1]×[0,1]→R是滿足下列條件的函數:

(H1)(i)對i=1,2,···,d,Ki是可測的且對任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

(ii)對i=1,2,···,d,存在單增的連續函數Fi:[0,1]→R和αi＞1使得對任意0≤si＜ti≤1,有

(H2)(i)對i=1,2,···,d,Ki是可測的且對任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

(ii)’對i=1,2,···,d,存在單增的連續函數Fi:[0,1]→R和0＜ ρi≤1使得對任意0≤si＜ti≤1,有

(iii)對i=1,2,···,d,存在常數Mi＞0和βi＞0使得對任意的0≤si＜ti≤1和0≤s0i＜t0i≤1,

注意到條件(ii)較(ii)’強,在較弱的條件(ii)’下增加條件(iii)是為了證明Xn的胎緊性.

令{N(x),x∈Rd+}是定義在概率空間(?,F,P)上的標準泊松過程,?n＞0,ti∈[0,1],i=1,2,···d,定義

本節將證明在連續函數空間C([0,1]d)中,當n→∞時,Xn弱收斂到X.為了簡化記號,用Nn(u)表示隨機變量則Nn是強度為n的泊松過程.

為了證明主要結果,首先給出如下引理.引理2.1說明了過程Xn是連續的.

引理2.1設θ∈L∞([0,1]d),定義

其中核函數Ki,i=1,2,···,d滿足條件(i)和(ii)’,那么Y(t)是一個連續函數.

證?0＜si≤ti＜1,i=1,···,d,根據H?lder不等式和條件(ii)’有

再由條件(i)知Y(t)是一個連續函數.

引理2.2對任意函數fi∈L2([0,1]),i=1,2,···,d,存在一個正常數Cd使得

其中

證由于(見參考文獻[1])

和

進而有

又有

其中

故

同理可計算

綜上可得

下面計算表達式(2.2)在區域Ac上的積分.Ac可分解成如下區域的并

僅計算在B2上的積分,其它區域上的積分可以類似計算.在B2上有不等式

因此表達式(2.2)在B2上的積分就可以用下面的式子來控制

事實上

同理可計算

故(2.3)式成立.綜上,可以得到

引理2.3設Y={Y(s),s∈[0,1]d}是一個連續過程.假設對固定的偶數m∈N和δi∈(0,1),i=1,2,···,d存在常數L＞0使得對任意的0＜si＜ti＜2si,i=1,2,···,d,有

成立.那么存在一個僅依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數C使得對任意的0≤si＜ti≤1,i=1,2,···,d,有成立.

證易證過程Y滿足

其中C0是依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數.

下面把區間(si,ti]分解成可數個互不相交的小區間的和

根據Y的連續性有

且上式右邊的每個增量均滿足(2.5)式.所以

其中第一步使用了不等式

引理2.4設Xn是(2.1)式中定義的隨機過程,核函數Ki,i=1,2,···,d滿足條件(H2),那么對任意的偶數m∈N,存在僅依賴于m和條件(iii)中出現的參數的常數C,使得對任意

證

其中

根據引理2.3,只需要證明對任意的0＜s0i＜t0i＜2s0i,i=1,2,···,d,有

事實上

注意到

這里

進一步Bx?Gc.給定xj,j=1,2,···,m,那么和是互不相交的.所以相關的增量也是獨立的,故易得到(2.7)式.

因此根據(2.8)式可得

由引理2.2的計算過程可類似計算上式不超過

定理 2.5在(H1)或(H2)的條件下,當n→∞時,(2.1)式定義的隨機過程族{Xn(t),t∈[0,1]d}在連續函數空間C([0,1]d)中弱收斂到X.

證首先,證明隨機過程族{Xn}的胎緊性.由于{Xn}在坐標軸上取值為零,利用Bickel和Wichura[5]中建立的關于多參數隨機過程的胎緊性準則,只需證明對某些m≥2存在常數C＞0和η＞1,以及單增的連續函數Fi,i=1,2,···,d,使得對0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d,

成立即可.

假設條件(H1)成立,根據引理2.2和條件(ii)有

其中第一個不等式使用了引理2.2,αi＞1,i=1,2,···,d.即(2.9)式成立.

假設條件(H2)成立.根據引理2.4,對任意的偶數m∈N存在一個常數C使得對0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d時,有成立,即(2.9)式成立.

其次,證明隨機過程Xn依有限維分布收斂到X.事實上,只要證明?k≥1,a1,···,ak∈R且當n→∞時,隨機變量列依分布收斂到等價的只要證明相應的特征函數收斂即可.

和

定義

另一方面,根據Bardina,Jolis和Rovira[1],當n→∞時,

依分布收斂到

因此?x∈R和l∈N,有

最后?x∈R和l,n∈N,|E[eixSn]?E[eixS]|≤η1+η2+η3,其中

聯立(2.11)式以及對t∈R,可以得到

根據(2.12)式,當n→∞時,η2→0.根據(2.10)式和多重隨機積分的性質有

綜上,定理得證.

3 例子:多維參數分數布朗單

基于Mandelbrot和Van Ness[11]的工作,分數布朗運動受到越來越多學者的關注,現已廣泛應用于金融、通訊等領域,它是具有自相似、長相依、平穩增量的高斯過程,其協方差函數為

其中

是一個標準化的常數.

作為分數布朗運動的擴張過程,d維分數布朗單是定義在概率空間(?,F,P)上的中心高斯過程且協方差函數其中當是標準的d維布朗單它有連續的樣本軌道且在坐標軸上為零,具有如下積分表示

以下驗證d維分數布朗單滿足本文中的假設條件.

此時取Fi(x)=x,αi=2Hi,則核函數KHi,i=1,2,···,d滿足條件(H1).

核函數KHi,i=1,2,···,d也滿足條件(H2).事實上只需要驗證核函數滿足條件(iii).

對任意的a,b,z,|z|＞1且任意的c≠0,?1定義高斯超幾何函數F(a,b,c,z)如下(詳見參考文獻[12])

其中C1,C2是常數.在超幾何函數中因為所以在上關于xi是連續的. 因此在時,在[0,ti]上關于xi是連續的,故在[0,ti]上存在常數C′使得即同理存在C′′使得所以?si＜ti,i=1,2,···,d,有其中C取C′和C′′中較大者.因此對s0i＜t0i,有

其中D取d′和d′′中較大者.所以?s0i＜t0i,i=1,2,···,d,

[1]Bardina X,Jolis M,Rovira C.Weak approximation of the Wiener process from a Poisson process:the multidimensional parameter set case[J].Stat.Prob.Lett.,2000,50(3):245–255.

[2]Bardina X,Jolis M.Weak approximation of the Brownian sheet from the Poisson process in the plane[J].Intern.Stat.Insti.Bernoulli Soc.Math.Stat.Prob.,2000,6(4):653–665.

[3]Bardina X,Jolis M,Tudor C.Weak convergence to the fractional Brownian sheet and other twoparameter Gaussian process[J].Stat.Prob.Lett.,2003,65(4):317–329.

[4]Bardina X,Florit C.Approximation in law to thed-parameter fractional Brownian sheet based on the functional invariance principle[J].Rev.Mate.Iberoamericana,2005,21(3):1037–1052.

[5]Bickel P,Wichura M.Convergence criteria for multiparamenter stochastic process and some applications[J].Ann.Math.Stat.,1971,42(5):1656–1670.

[6]Dai H.Convergence in law to operator fractional Brownian motions[J].J.Theor.Prob.,2013,26(3):676–696.

[7]Delgado R,Jolis M.Weak approximation for a class of Gaussian process[J].J.Appl.Prob.,2000,37(2):400–407.

[8]Davydov Y.The invariance principle for stationary processes[J].The.Prob.Appl.,1970,15(3):498–509.

[9]Decreusefond L,üstünel A S.Stochastic analysis of the fractional Brownian motion[J].Potent.Anal.,2010,10(2):177–214.

[10]Li Y,Dai H.Approximations of fractional Brownian motion[J].Bernoulli,2011,17(17):1195–1216.

[11]Mandelbrot B B,Van Ness J W.Fractional Brownian motion,fractional noises and applications[J].Soc.Indus.Appl.Math.,1968,10(4):422–437.

[12]Nokiforov A F,Uvarov V B.Special functions of mathematical physics[M].Boston:Birkh?user Basel,1988.

[13]Stroock D.Topics in stochastic differential equations[M].Berlin:Tata Insti.Funda.Res.Bomb.,1982.

[14]Wang Z,Yan L,Yu X.Weak approximation of the fractional Brownian sheet from random walks[J].Elec.Commun.Prob.,2013,18:1–13.

[15]Wang Z,Yan L,Yu X.Weak approximation of the fractional Brownian sheet using martingale differences[J].Stat.Prob.Lett.,2014,92:72–78.

[16]徐銳,祝東進,申廣君.多參數雙分數布朗運動相遇局部時的存在性和聯合連續性[J].數學雜志,2015,35(6):1411–1423.

WEAK APPROXIMATION FOR A CLASS OF MULTIDIMENSIONAL PARAMETER GAUSSIAN PROCESS

LI Meng-yu,SHEN Guang-jun,CUI Jing
(Department of Mathematics,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

In this paper,we study the weak convergence problem of a multidimensional parameter Gaussian process.Under rather general conditions,we give an approximation in law of the process which can be represented by a stochastic integral of a deterministic kernel with respect to a standard Wiener process. The approximation processes are constructed from a standard Poisson process.An example of a Gaussian process to which this result applies is the multidimensional parameter fractional Brownian sheet with any Hurst parameter.

weak convergence;Gaussian process;Poisson process;fractional Brownian motion

60F05;60G18

O211.4

A

0255-7797(2017)06-1287-16

2015-06-03接收日期:2016-05-16

國家自然科學基金(11271020;11401010);安徽省杰出青年科學基金(1608085J06);安徽省自然科學基金(1408085MA07).

李夢玉(1990–),女,安徽六安,碩士,主要研究方向:隨機過程與隨機分析.

申廣君.