具有非局部邊界的退化拋物方程組的爆破解

楊 婕,劉丙辰,張長城

(中國石油大學(華東)理學院,山東青島 266580)

具有非局部邊界的退化拋物方程組的爆破解

楊 婕,劉丙辰,張長城

(中國石油大學(華東)理學院,山東青島 266580)

本文研究了具有非局部邊界條件和非局部源的退化拋物方程組的弱解問題.利用基于比較原理的上下解的方法,在權函數和初始條件的假設下,獲得了該方程組問題的爆破臨界指標.此外,還獲得了同時爆破解趨于爆破時間時的漸近行為,推廣了已有的結果.

退化拋物方程組;臨界指標;漸近行為;非局部邊界

1 引言

在這篇文章中,考慮如下具有非局部源的退化拋物方程組問題

其邊界條件為

其初值在邊界上滿足相容性條件

其中? 是有光滑邊界的有界區域;‖·‖α和‖·‖β是Lα(?)和Lβ(?)范數;m,n,α,β＞1;p1,p2≥0;a,b,q1,q2,m1,m2＞0;權函數?1(x,y)和?2(x,y)是上的非負函數,并且滿足初值u0,v0∈C2+ν,常數ν∈(0,1).

對于多孔介質方程解的爆破現象,在過去的十幾年中得到了很大的關注(參見文獻[1–14]).多孔介質方程和系統已經成為非常重要的偏微分方程研究領域,具有深刻的物理背景,例如在多孔介質力學、流體力學、氣體流量、種群生態領域中,更多的細節參見文獻[15–22].

Galaktionov,Kurdyumov和Samarskii在文獻[23,24]中研究了

其具有齊次狄利克雷邊界條件,結果如下:如果1≤p＜1+μ,1≤q＜1+ν,則在初值和邊界條件下,解整體存在.如果p=1+μ,q=1+ν,且在狄利克雷邊界條件下的最小的特征值滿足λ1＜1,則對任意初值u0,v0≥0,u0+v0不恒等于0,有T0＜+∞.如果p＞1+μ且q＞1+ν,則存在初值u0,v0≥0使上式成立.假設p,q≥1,令m=pq?(1+μ)(1+ν).

(i)若m＜0或m=0,且|?|充分小,則對任意u0,v0,解整體存在.

(ii)若m＞0,則存在初值的集合使解整體存在.

杜力力在文獻[9]中得到了如下系統的爆破解

他們對于以上的系統建立了爆破臨界指標,如果m＞p1,n＞p2,q1q2＜(m?p1)(n?p2),那么任意非負解整體存在.如果m＜p1或n＜p2或q1q2＞(m?p1)(n?p2),那么任意非負解對于充分大的初值在有限時刻爆破,對于充分小的初值整體存在.如果m＞p1,n＞p2,q1q2=(m?p1)(n?p2),那么任意非負解對于充分小的定義域|?|整體存在.假設p1=0或p1＞m;p2=0或p2＞n;q1＞n,q2＞m且滿足q2＞p1?1,q1＞p2?1以及對初值的一些假設條件

葉專和許孝精在文獻[25]中考慮如下具有非局部邊界條件和非局部源的多孔介質系統

主要結果如下:對于任意的δ＞0滿足并且假設m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)＞qβ,那么任意一個非負的解(u,v)都是整體存在的.如果并且以下條件之一成立:

(i)m＜p;

(ii)n＜α;

(iii)(m?p)(n?α)＜qβ,

那么任意非負解(u,v)對于充分小的初值整體存在.如果m＜p或n＜α或(m?p)(n?α)＜qβ,那么任意非負解(u,v)對于充分大的初值在有限時刻爆破.對于任意的δ＞0滿足并且假設m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)=qβ,那么任意非負解(u,v)對于充分小的a和b整體存在.在假設m=n=1,qβ＞(1?α)(1?p)以及對于初值的一些假設下,他們給出解的爆破profile.在文獻[25]中沒有考慮m＞p,n＞q,(m?p)(n?α)=qβ情況下的爆破現象.在本文中,可以通過對系統(1.1)–(1.3)的研究,得到該情況的相關結果(參見下面的定理3.1(iii)的證明).

在下節中,將建立弱解的局部存在定理,并給出一些輔助性引理.在第3節中,將分別討論十個指標,兩個權函數和兩個系數對整體存在和爆破解的影響.在最后一節中,解的漸近性質將在適當的假設條件下給出.

2 局部存在性和比較原理

對于0＜T＜+∞,令?T=?×(0,T),ST=??×(0,T).眾所周知的,退化方程不一定具有古典解,下面給出問題(1.1)–(1.3)的弱解的定義.

定義 2.1在上對于所有的T＞0成立的向量函數(u(x,t),v(x,t))被稱作系統(1.1)–(1.3)的上解(或下解),如果以下條件成立:

(i)u(x,t),v(x,t)∈L∞(QT);

(ii)u(x,t),v(x,t)≤(≥)0,(x,t)∈ST;u(x,0)≤(≥)u0(x),v(x,0)≤(≥)v0(x),a.e.x∈?;

(iii)對于任意的t∈[0,T]和

系統(1.1)–(1.3)的一個弱解是一個向量函數,同時也是系統(1.1)–(1.3)的一個上解和下解.對任意的T＜∞,如果(u,v)是系統(1.1)–(1.3)的解,就說(u,v)是整體存在的.接下來,構建整體存在定理,因為它的證明是標準的,在這里僅給出結果.

定理2.1給定u0,v0∈L∞(?),則對某些T?=T?(u0,v0)＞0,存在系統(1.1)–(1.3)的非負弱解(u(x,t),v(x,t))對于每一個T＜T?成立,則有T?=∞或者解發生爆破.

引理2.1(比較原理)令和分別是系統(1.1)–(1.3)的非負下解和非負上解.如果有則在?T上,成立.

3 爆破臨界指標

定理3.1系統(1.1)–(1.3)的非負解具有以下的結果.

(i)如果m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)＞m1q1m2q2,那么所有的非負解都整體存在.

(ii)令m＜p1或者n＜p2或者(m?p1)(n?p2)＜m1m2q1q2,對于大初值,解在有限時刻爆破;對于小初值,且和解整體存在.

(iii)令m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)=m1q1m2q2,若存在小區域?或者存在小的a和b,則解整體存在;若存在大初值和充分大的球形域?,或者存在大的a和b,則解在有限時刻爆破.

證定理3.1(i).首先,定義如下的邊值問題

其中η1,η2都是正常數并滿足0＜φ(x)≤1,0＜ψ(x)≤1.做如下定義

其中在第一個不等式中利用了ml1＜1.類似的,可以得到

定義

證定理3.1(ii).考慮下面的系統

將在一個有上界的區域?中構造一個上解,在此區域中u,v＞0.利用參考文獻[12]中的方法并將它應用到退化方程中去.只需考慮下面的問題

其中w+=max{0,w}.令ψ(x)是一個非平凡非負的連續函數并且在邊界??上為零.不失一般性,假設0∈?,并且ψ(0)＞0.將構造一個爆破的上解來完成證明.令

經過直接的計算得

注意到T＜1充分小.

情形(1)如果0≤r≤NR/(N+1),有w(r)≥R3(3N+1)/(12(N+1)3),那么

情形(2)如果NR/(N+1)＜r≤R,那么

參照參考文獻[15]中的引理2.2,存在兩個正常數l1,l2滿足

選擇一個充分小的正常數δ使得

由于?(0)＞0并且?(x)連續,存在兩個正常數ρ和∈使得?(x)≥∈對所有的x∈B(0,ρ)??成立.選擇T足夠小來保證B(0,RTδ)?B(0,ρ),因此在ST上成立.對于足夠大的有成立.根據比較原理,如果有得到即(u,v)在有限時刻爆破.根據比較原理,由于系統(1.1)–(1.3)的任意非負解(u,v)一定在有限的時刻爆破.

第一步證明m＜p1的情況.首先,利用參考文獻[26]中提供的方法,并且令

令w(x)是下面橢圓邊值問題的解:?Δw(x)=1,x∈?;w(x)=C0,x∈??.存在正常數M＞0與C0無關且使得C0≤w(x)≤C0+M成立,取C0充分大使得令,其中K1,K2將在后邊被定義.經計算

選擇0＜K1＜1滿足mK1≤1.類似的,可以得到

由于m＜p1,對于固定的如果充分小,可以得到不等式下面來計算邊界條件:由K1,δ0∈(0,1),可得并且類似的,得到利用比較原理,得到則(u,v)整體存在.

第二步n＜p2情況下的證明可由第一步直接平推而來,不再贅述.

第三步對于(m?p1)(n?p2)＜m1m2q1q2的情況,分為以下三部分進行討論.

a)如果m=p1,返回到(3.1)和(3.2)式,選取充分小的并且與不相關,利用第一步的論點與論據得到結論.

b)如果n=p2,情況與上面類似,證明省略.

c)如果m＞p1,n＞p2,可以得到下面的不等式

證定理3.1(iii).如果m＞p1,n＞p2,(m?p1)(n?p2)=m1q1m2q2,那么存在兩個正數l1,l2＜1滿足定義,其中的K將在后面被定義.用跟定理3.1(i)中相同的創建估計的方式,可得

易見,φR(r)可以在B中標準化得到φR(r)＞0,并且有由特征值和特征方程的性質(令),知道和成立,其中和φ1是單位球B1(0)內的第一個特征值和相應的標準化特征函數.此外,定義函數為如下形式下面,將會證明在球B=B(0,R)中在有限的時間內爆破.因此在更大的區域?中爆破.經過直接的計算,

4 漸近性質

這一部分,討論系統(1.1)–(1.3)在適當假設條件下的漸近性質.假設m=n=1,p1＜1,p2＜1,m1q1m2q2＞(1?p2)(1?p1),并且有成立.當m=n=1時,系統(1.1)–(1.3)變為

假設系統的解(u,v)在有限時間T時爆破.為了方便起見,定義

首先證明在假設條件下解在有限時間內爆破.如果p1＜1,p2＜1,m1q1m2q2＞(1?p2)(1?p1),那么存在兩個正常數α2,β2＞1使得

如果s0足夠大的話,s(t)在有限時間T(s0)爆破.令其中λ是如下特征問題的第一特征值0,x∈??,并且?1(x)是相應的特征方程,有經過計算

得到,所以(u,v)在有限時間內爆破.參照參考文獻[25],得到下面的引理.

引理4.1假設系統(4.1)的解在T時爆破,則

引理4.2在引理4.1的條件下,下面的極限成立

引理4.3假設對任意的x∈ˉ?有Δu0,Δv0≤0,對(x,y)∈??×?,有?1(x,y)≥0,?2(x,y)≥0,并且 Z

那么Δu≤0,Δv≤0在區域?中有一個任意的緊支集.

證易見該引理是參考文獻[1]中引理5.1經過小的修改后的直接結果.

引理4.4在引理4.1–4.3的條件下,對區域?中的任意緊支集,有

證證明與參考文獻[25]類似.

定義4.1如果接下來定義f(t)～g(t).顯而易見的,等價關系具有以下的性質:

1)如果f(t)～g(t),?k∈R,有fk(t)～gk(t);

2)如果f(t)～g(t),g(t)～h(t),有f(t)～h(t);

3)如果f(t)～g(t),?(t)～ ψ(t);有f(t)?(t)～g(t)ψ(t).

4)如果f(t)～g(t),有

定理4.1在引理4.4以及m1q1m2q2＞(1?p1)(1?p2)的條件下,有

證由于

由引理4.4的結論,即

將上面的等式與(4.3)結合起來,就得到了期望的結果.

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BLOW-UP SOLUTIONS TO DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS WITH NONLOCAL BOUNDARY

Yang Jie,Liu Bing-chen,Zhang Chang-cheng
(School of Science,China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

In this paper,we consider the weak solutions of the degenerate parabolic equations coupled via nonlocal sources,subject to nonlocal boundary conditions.By using the comparison principle,the critical blow-up exponent is obtained under the help of the weighted functions and the initial data.Moreover,asymptotic behavior near blow-up time is obtained for simultaneous blow-up solutions,which extends the known results in the previous paper.

degenerate parabolic equations;critical exponents;asymptotic behavior;nonlocal boundary

35K65;35K61;35B33;35B40

O175.29

A

0255-7797(2017)06-1275-12

2016-02-12接收日期:2016-04-22

國家自然科學基金(11201483);山東省自然科學基金(ZR2016AM12);中央高校基本科研業務費專項資金(15CX08011A).

楊婕(1991–),女,山東濰坊,碩士,主要研究方向:非線性偏微分方程.