Excel軟件輔助“第二重要極限”教學探討

摘 要：“第二重要極限”是極限計算中的重要內容，也是教學難點。Excel具有強大的計算、分析數據能力和圖形可視化功能，對“第二重要極限”講解和理解方面起著積極地輔助作用。

關鍵詞：第二重要極限；Excel；試驗模擬

基金項目：遼寧省職業技術教育學會課題“應用型大學數學課程教學引入Excel軟件的改革探索“（LZY17220）

1 “第二重要極限”的教學現狀

“第二重要極限”是求極限中一種非常重要的類型，不僅可以用來證明一些無窮小量的等價關系，推導一些基本初等函數的求導公式，同時該公式在投資等領域也有著廣泛的應用。雖然“第二重要極限”在高等數學極限計算中起著重要作用，但學生對“第二重要極限”的理解和應用卻存在困難，主要基于以下原因：

（1）英國數學史家M.克萊因指出，數學教學的主要問題是動機問題，而“第二重要極限”公式的出現較為突兀，不能讓學生產生足夠的學習動機。

（2）“第二重要極限”公式的證明是以單調有界準則為基礎，這個準則本身對于應用型本科學生而言就存在難度，而該公式還要證明數列的單調性以及有界性。公式過于繁瑣、抽象的證明，容易讓學生產生畏難心理，進而失去繼續學習重要極限的興趣和積極性。

（3）“第二重要極限”存在兩種基本表達形式：

與 ，可以看出這兩種表達形式非常相像，在實際練習

時，學生常常把二者混淆起來，進而導致了最后極限計算結果的錯誤，還有“第二重要極限”在應用時需要構造特定的極限形式，學生對于該公式的靈活應用存在一定困難。

2 “第二重要極限”的教學設計

2.1 導入新課

一投資者欲用1000元投資5年， 設年利率為6%，分別計算每年2次、3次、4次復利、和連續復利，到第5年末， 該投資者應得的本利和S。

分析：很容易求得每年2次、3次、4次復利投資者應得的本利和，繼而易知付息次數越多，投資者應得的本利和越大。那么問題提出，連續復利的本利和是否為無窮大呢？

2.2 利用Excel計算和圖形描述功能，進行實驗模擬，獲得第二重要極限公式

（1）在單元格區域A1：A16中輸入自變量x取值，如圖1所示。

（2）選中單元格格B1，輸入公式“=（1+1/ A1）^ A1”，按“ENTER”鍵，得A1對應的函數值，再利用填充功能，得到其他函數值。這樣就計算出了函數 的值，如圖2所示。

（3）以單元格區域A1：B16為數據區域，插入“光滑散點圖”，繪制圖形，如圖3所示。

從（2）、（3）可以看到：當x→∞時，函數f（x）= 的值無

限接近于一個常數，將這個常數記作e.即e=2.718281828459045…，它是一個無理數.在自然科學中，以e為底的指數函數與對數函數經常被采用，以e為底的對數稱為自然對數，記為lnx。

2.3 公式本質分析

為了能夠讓幫助學生有效地掌握和靈活地應用該公式，現對第二重要極限公式進行了研究分析，透過現象看本質。

（1）首先明確應用第二重要極限公式求極限的函數必須是 型的密指函數，即要求 的 型。注：

（2）其次把底函數改寫成 “1+”的形式，即令 。

（3）最后把指數函數改寫成倒數形式，即令 。

歸納求第二重要極限型極限的步驟為：

（注： ）

綜合可知，求第二重要極限型極限不論變形有多少，只要抓住上述本質，就能以不變應萬變。

2.4 例題講解

例1 求

分析：首先它是 型，底函數已經改寫成了“1+”的形式，只

要把指數函數改寫成 形式即可。

解：

例2求

分析：首先它是 型，底函數是“1-”的形式，需要改寫成了“1+”的形式，還要把指數函數改寫成 形式。

解：

例3求

分析：這道題表面上看，它的底函數似乎不符合公式的形式，但它是 型，底函數需要改寫成了“1+”的形式，指數函數需要改寫

成 形式。

解：

例4 求

分析：這是1991年研究生入學考試高等數學二試題。如果我們直接把底函數需要改寫成了“1+”的形式，接下來的計算將比較困難。我們試著先用換元法轉變一下。

解：

類似的，2016年研究生入學考試高等數學二、三試題，求極限 ，如果我們直接把底函數需要改寫成了“1+”

的形式，接下來的計算也將比較困難。我們試著先用三角函數關系轉變一下， 。

例5設 ，則當 時 是x的（ ）

A.等價無窮小 B.二階無窮小 C..三階無窮小 D.四階無窮小

分析：這是一道比較難的考研類型題，是第二重要極限的逆運算和無窮小比較的綜合應用。

解：

由可知 ，即 ，

推出 ，所以 。綜上可知當 時

是x的.三階無窮小。答案選擇C

例6一投資者欲用1000元投資5年， 設年利率為6%，試按連續復利付息方式計算， 到第5年末， 該投資者應得的本利和S。

分析：這道題是引出課題中的引例，可以引導學生根據之前學習的公式推導出連續復利公式：

（其中S為本利和，r為年利率，t為時間）

解：按連續復利公式計算

注： 連續復利的計算公式在其它許多問題中也常有應用如細胞分裂、樹木增長等問題.

3 結束語

針對第二重要極限教學中存在的問題，利用案例引入、Excel輔助教學演示、對公式的本質分析，以及由易到難的例題講解，降低了第二重要極限公式學習和應用的難度，使得學生對 類型的極限可以有效地進行解析， 同時提高了公式的簡易實用性。

參考文獻

[1]吳贛昌.微積分（經濟類）[M].北京：中國人民大學出版社，2012.

作者簡介

梁海濱（1978-），女，遼寧人，遼寧對外經貿學院基礎課教研部副教授，從事高等數學教學研究。endprint