基于分布函數的潛艇目標強度統計建模

孫乃葳,李建辰,萬亞民

(中國船舶重工集團公司 第705研究所,陜西 西安,710077)

基于分布函數的潛艇目標強度統計建模

孫乃葳,李建辰,萬亞民

(中國船舶重工集團公司 第705研究所,陜西 西安,710077)

為彌補潛艇目標強度確定性預報模型的不足,開展了標準潛艇的目標強度統計建模研究,以更好地滿足實際工程應用的要求。建立基于Parzen窗估計的目標強度密度函數模型; 為獲得該密度函數模型統一、簡潔的表達式,分別基于常用的分布函數模型對目標強度分布的估計結果進行最優擬合; 并對χ2分布模型進行改進,得到χ2三參數分布模型。通過誤差比較可知,改進的χ2三參數分布模型可較好地描述潛艇目標強度分布特征,所建立的統計建模方法及得到的模型參數可為潛艇目標的仿真提供參考。

標準潛艇; 目標強度; 統計建模;χ2分布

0 引言

潛艇由于隱蔽性好且作戰效能高,因而備受各國海軍青睞。獲取潛艇目標強度特性是主動聲吶探測的關鍵技術之一,準確掌握目標在不同態勢下的聲吶目標強度,對魚雷等水中兵器的目標檢測和參數估計具有十分重要的意義[1]。在魚雷主動聲吶探測潛艇時,由于潛艇目標不僅形體復雜,其在水下運動時與魚雷的相對空間位置關系也會不斷變化,這些都會造成魚雷尋的脈沖回波特性的改變,導致潛艇回波起伏,進而引起目標強度的時變并影響魚雷自導檢測結果[2]。而目前較為成熟的潛艇目標強度預報模型多是確定性模型,其預報結果不能完全反映水下真實目標強度的起伏特性,因而難以滿足實際工程應用要求。

考慮到確定性模型的不足,采用統計建模的方法來描述和預測起伏特性十分必要。國內外對潛艇目標強度的統計建模研究較少,多是在雷達散射截面(radar cross section,RCS)的起伏統計特性研究的基礎上開展的。RCS隨飛機的姿態及狀態變化呈現劇烈的起伏特性,是衡量飛機隱身性能的基本指標,而已有的研究工作多從統計分析的角度去描述和分析 RCS起伏模型[3]。Marcum和Swerlingl最早提出了用于描述RCS起伏統計特性的模型,分別稱為 Marcum模型和 Swerlingl-4模型[4],Meyer提出了χ2模型,Heidbreder和Mitchell提出了對數正態模型,Scholefield提出了賴斯模型[5]。陳世春等開展了隱形飛機目標的RCS起伏特性研究[6],以 6種典型隱身飛機 F-117A、B-2、F-35A、X-45A、X-46和 X-47B為研究對象,通過RCS高頻計算方法獲取了各機型不同入射條件下的散射統計數據,利用χ2模型、對數正態模型和勒讓德多項式模型等3種較新的統計模型對計算數據進行擬合,分析研究了各模型擬合的優劣及主要影響因素,得出基本的擬合效果判別方法,該工作為分析計算隱身飛機的雷達檢測概率提供了支撐。

近年來,國內將聲吶散射原理與雷達散射原理結合,開展了對水下目標強度的統計特性研究,取得了一些成果。上海交通大學結合雷達散射面積起伏機理,將雷達散射面積的概念延伸到水聲領域,首次提出了聲吶散射面積(sonar cross section,SCS)的概念,借鑒 RCS統計模型建立面向任意目標的SCS起伏統計模型[7]。在此基礎上從統計意義上對目標強度進行分析,推導出潛艇的目標強度統計模型并獲得了目標強度起伏的統計參數。這是國內首次在水聲領域對目標強度統計模型開展的研究,彌補了以往目標強度預報模型是確定性模型的不足,預報結果在一定程度上反映了目標強度的隨機性和起伏性,提高了模型在實際工程應用和實驗數據分析中的準確性。

文章在前人研究的基礎上開展潛艇目標強度統計建模的研究。首先建立基于Parzen窗估計的潛艇目標強度統計模型,然后分別利用χ2分布、對數正態分布、伽馬分布以及改進后χ2三參數分布模型對統計模型進行最優擬合,通過相對熵的誤差比較,得到了最優的分布函數模型及參數。文中提出的建模方法及模型參數可以更好地用于標準潛艇目標強度統計特性的描述。

1 目標強度分布的Parzen窗估計

基于板塊元理論計算可以得到潛艇目標強度理論樣本值,然后對目標強度的分布進行核密度估計,該方法屬于非參數的估計方法: 對已知的密度函數,在觀測點上平均化,以期得到光滑的估計曲線[8]。

假設樣本數據值在D維空間服從一個未知的概率密度函數,則其在區域R內的概率為

假設N個樣本數據點有K個落入了區域R,則應服從二項分布

由概率知識可知,在樣本數N足夠大時有

設V為區域R的空間,當區域R足夠小時有

將式(3)與式(4)結合可得

根據式(5)來估算密度函數p（x）。假定區域R不變,即V不變,通過決定K的大小來估算密度函數,采用核密度估計方法,可得密度函數為[9]

式中:V=hD,D為數據維數,h為區域V的超立方體的棱長;k取正態分布形式的最優窗函數,其寬度為樣本數據范圍的 100等分,這種密度函數估計的方法稱為Parzen窗估計法。該方法的實質是用正態分布窗函數代替樣本值來估計整體的概率密度分布。

采用Parzen窗估計方法對目標強度樣本數據進行估計,可得到分布密度函數,分析可知該函數為非線性函數。為找到一種簡潔且通用的模型對潛艇目標強度統計分布規律進行描述,從概率分布函數模型出發,采用非線性最小二乘擬合的方法對Parzen窗估計的密度函數進行最優擬合。

2 分布函數誤差評價標準

為獲得擬合效果最佳的分布函數模型,需要就分布函數對Parzen窗估計的密度分布曲線擬合效果進行合理評價。首先對分布曲線的擬合誤差評價標準進行討論,通過參考相關文獻資料[10],歸納總結出2種常用的誤差計算公式

式中:pi為原始數據的統計概率;為分布統計模型的擬合概率;N為分段區間個數,以上2種定義誤差的方法使計算得到的是誤差總和,從而導致結果偏大,不利于工程應用,且從物理含義上不能很好描述概率分布曲線間差異。

由文獻[11]可知,在概率論或信息論中,KL散度(Kullback-Leibler divergence)又稱相對熵(relative entropy),是一種描述2個概率分布差異的方法。如果一個隨機變量X的可能取值為,對應的概率為p(X=xi)(i=1,2,…,n),則隨機變量X的熵定義為

設p(x)和q(x)是X取值的2個概率密度分布,則p對q的相對熵為

相對熵可以衡量 2個隨機分布之間的距離,當2個隨機分布相同時,其相對熵為0,當2個隨機分布的差別增大時,其相對熵會增大。因此,采用相對熵的評價方法可以較好地對分布函數的擬合效果進行評價。下面分別基于常見概率分布模型對估計得到的密度函數開展建模研究。

3 目標強度分布函數建模

3.1 經典分布函數模型

1) 目標強度Γ分布模型

以χ表示目標強度值,首先給出目標強度Γ分布的概率密度函數

其中,,α β為Γ分布的可變參數。

2) 目標強度對數正態分布模型

若隨機變量各個值取對數后服從正態分布,則稱該分布為對數正態分布。服從該分布的概率密度函數為

3) 目標強度χ2分布模型

χ2分布適用的目標為大型的、起主導作用的散射體加上大量較小的隨機散射體。該分布密度函數表達式為

式中:k為自由度,χ2分布為偏態分布,其分布形態受參數k影響較大。χ2分布為單參量的分布函數,僅與自由度k相關。

3.2 目標強度改進χ2分布模型

結合 3種分布函數的特點,對χ2分布模型的物理意義進行深入研究,以期獲得既形式統一,又滿足各個舷角建模誤差最小的分布模型。查閱相關資料,在飛機雷達反射強度的統計建模中,改進的χ2曲線被廣泛應用[12]。這是由于飛機具有直線型結構,機身表面不連續點較多,根據目標的結構特點,選用改進的χ2曲線對飛機 RCS 動態測量數據進行統計建模具有較好的效果[13]。

雷達反射面積的理論分布計算公式為[3]

式中:k為χ2分布模型的自由度數;為雷達的反射截面;為雷達的平均反射截面。其表達式比較簡潔,變參數只有 1個,雙自由度k可以不是正整數。利用當k=1時為指數分布這一特殊情況,描述由多個獨立且具有相同強度的散射體組成的組合體。

考慮到潛艇目標同樣具有直線型結構,以及艇身表面不連續點較多等物理結構特征,且應用板塊元法計算的潛艇目標強度是由各個獨立的小面元的反射強度疊加得到,因此,該改進的χ2分布模型同樣適用于潛艇目標強度的統計建模。

綜上可知,聲吶探測領域目標強度為

將式(14)和式(15)代入式(13)中,可得

對目標強度求導并令其為0

由式(16)得到目標強度的均值

圖1 L1與L2對比圖Fig. 1 Comparison between L1 and L2

隨著k取值的增加,該分布函數所表示的變量均值與峰值所在的變量趨于一致,即分布的期望在概率密度函數峰值附近的目標強度取值。這一結果是符合χ2分布模型在k→∞時接近正態分布模型這一判斷。實際計算中,對的估計是基于樣本數據值進行的,那么用樣本均值估計整體分布的期望可能會存在一定誤差,因此,本文引入修正因子,將表示為

可將密度函數用 3個參數c1,c2,c3表示,其中帶入上式得

4 模型計算與分析

4.1 Γ 分布函數最優擬合結果

下面采用Γ分布函數分別對艇艏、艇舯和艇艉的目標強度密度函數進行最小二乘擬合,其最優的擬合結果如圖2所示。

由圖2可知,Γ分布函數由參數,β及x0共同決定,但參數調整對函數形式的影響有限。Γ分布函數可對艇艉的分布函數較好擬合,對艇艏和艇舯的擬合效果較差,尤其是對密度函數兩側拖尾部分擬合效果最差。

4.2 對數正態分布模型最優擬合結果

由圖 3可知,對數正態分布模型的擬合效果由σ和μ決定,其對密度函數的擬合效果與Γ分布函數相當,對艇艏、艇舯的擬合較差,同樣存在對密度函數拖尾部分擬合效果差的問題。

4.3 χ2分布模型最優擬合結果

由圖 4可知,χ2模型擬合效果由自由度k決定,可對艇艏、艇舯和艇艉進行一定程度的擬合,但是受χ2分布函數自身可變參數少的限制,擬合效果相比Γ分布和對數正態分布最差。

由于概率分布模型簡單,參數調整對分布曲線的影響受限,以上介紹的 3種典型分布模型對目標強度Parzen窗密度估計的擬合效果均不夠理想,采用相對熵的評價方法分別對 3種分布函數的擬合誤差進行計算,結果如表1所示。

4.4 改進χ2三參數分布模型最優擬合結果

采用推導得到的χ2三參數分布模型對由Parzen窗估計得到Benchmark潛艇的艇艏、艇舯和艇艉的理論分布函數進行擬合,仿真結果見圖5。

圖2 典型舷角下Γ 分布的擬合結果Fig. 2 Fitting results of Γ-distribution under typical board angles

圖3 典型舷角下對數正態分布擬合結果Fig. 3 Fitting results of log-normal distribution under typical board angles

圖4 典型舷角下χ2分布擬合結果Fig. 4 Fitting results of χ2-distribution under typical board angles

圖5 典型舷角下χ2三參數分布模型擬合結果Fig. 5 Fitting results of χ2-distribution model with three parameters under typical board angles

表1 分布函數擬合相對熵誤差表Table 1 Fitting errors of relative entropy for distribution function

從圖2～圖4可看出,χ2三參數分布函數對Parzen窗函數的估計效果有很大提高。計算得出χ2三參數分布曲線擬合的參數c3=及與Parzen窗估計相對熵誤差D見表2。

表2 參數及相對熵誤差表Table 2 Parameters and relative entropy error

由表 2可以看出,χ2三參數分布模型對潛艇艏部、舯部和艉部的估計密度函數均能較好地擬合,并獲得相應的統計參數;χ2三參數分布模型比上文提到的3種分布函數模型的擬合效果都好;采用相對熵誤差作為分布曲線擬合度的評價指標時,艏部擬合誤差較小,舯部擬合誤差次之,艉部的擬合誤差最大,評價結果符合實際情況。

5 結束語

文中從統計意義出發,開展標準潛艇的目標強度統計建模研究。建立基于Parzen窗估計的目標強度密度函數模型; 為獲得模型統一簡潔的表達式,研究了基于分布函數的目標強度統計建模,推導得到用于描述潛艇目標強度的χ2三參數分布模型; 比較基于相對熵的分布誤差可知,改進的χ2三參數分布模型能對潛艇目標強度的統計分布特性進行最優描述,相關模型和參數可為自導系統潛艇目標仿真提供參考。文中對潛艇目標強度的統計建模是基于板塊元理論的計算樣本值得到的,后續研究將結合實驗測量數據進一步完善所建模型并修正模型參數。

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Statistical Modeling of Submarine Target Strength Based on Distribution Function

SUN Nai-wei,LI Jian-chen,WAN Ya-min
(The 705 Research Institute,China Shipbuilding Industry Corporation,Xi′an 710077,China)

Statistical modeling of benchmark submarine target strength(TS) is performed to cover the shortage of deterministic forecast model. A TS density function model is established by Parzen window estimation. Then to get an unified and succinct expression of the density function model,typical distribution function models are used for optimal fitting of TS estimation. Ultimately an improvedχ2distribution model with three parameters is established. Errors comparison indicates that this improvedχ2-distribution model can describe the submarine TS reasonably. This study may provide a reference for submarine target simulation.

benchmark submarine; target strength; statistical modeling;χ2-distribution

TJ630.2; TB112

A

2096-3920(2017)03-0256-06

孫乃葳,李建辰,萬亞民. 基于分布函數的潛艇目標強度統計建模[J]. 水下無人系統學報,2017,25(3): 256-261.

10.11993/j.issn.2096-3920.2017.03.007

2017-03-22;

2017-04-19.

孫乃葳(1993-),男,碩士,主要研究方向潛艇目標特性.

(責任編輯: 陳 曦)