一類高階常系數線性微分方程組的解法

征夏明

摘 要：在一般的微分方程理論中，對于高階常系數線性微分方程組通常情況下采取待定系數的計算方法，即取指數函數形式的試探解代入，再求解它們的系數，計算較為復雜。本文中，將從線性變換和其共有的線性無關的特征向量的角度出發，用所有可能的線性無關的共同特征向量為基底構造待求方程組的解空間，從而給出一種常系數線性微分方程組的代數解法，與以往的方法相比，結構合理，并且計算較為方便。

關鍵詞：微分方程 線性空間 線性變換 特征向量

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）08（c）-0249-03

Abstract： Linear differential equations system with constant coefficients is usually solved by trial solution method. In this paper， with linear transform technique， an algebraic method of one kind of ODE systems is given.

Key Words： Differential equation；Linear space；Linear transform；Eigenvector

我們來討論形如，這樣s個方程構成的方程組。其可寫成矩陣形式：

（1）

通常，人們尋找形如的s個未知函數，代入后求解。我們將采用另一種方法，在這之前，先給出關于方程（1）的一些性質。

1 性質

（2）

式（2）稱作（1）的齊次導出組。若x（t）是（2）的通解，u（t）是（1）的一個特解，則x（t）+u（t）是方程（1）的通解。

我們先考慮方程組解的存在性和唯一性，這利用壓縮映射原理可以證明結論i。

再分析齊次方程（2）解的性質和結構，n階s元線性微分方程組有n×s個積分常數，解空間由n×s個線性無關的解構成。我們要求，方程中任意的，都滿足對易式。可以證明方程中的系數矩陣都具有一組共有的特征向量。

證明：n=1時，，取的一組特征向量作為基底，時。矩陣乘法，得，如果沒有簡并，只要，，，也是對角矩陣，也是的一組特征向量。如果有簡并，也就是存在一些特征值，與幾個不同的特征向量對應，對每一個屬于同一特征值的特征向量而言，對應的矩陣元一般不等于零。把屬于同一特征值的幾個特征向量進行各種線性組合的結果仍是該特征值的一組特征向量；從中總可以找出一組線性組合使對應的各個非對角矩陣元都等于零。由此可見，這樣的情況下還是可以求得一套特征向量是，的共同特征向量。一個構造性的方法如下：定義集合是矩陣所在線性空間V的各個子空間，其維數，特征向量構成的向量組。在這樣的基底中，相同特征值出現的次數就是重根的重數。。能夠看出，此時矩陣是按對角分塊的，只要將每個分塊矩陣全部化為對角形式，最后也變成了對角矩陣。用同樣的方法，將求出的一組共有特征向量進行線性組合，使之也是的一組特征向量。以此類推，最后求得的一組共有特征向量。進行這樣的步驟，等價于將同時化為對角矩陣。

方程組中除了矩陣變換還有從0至n的各階導數，導數運算是線性運算，并且各階導數間的乘積運算當然是對易的，。因此集合中任意兩個運算都是對易的。則利用上面得到的共有特征向量也可以構造出一組，的共有特征向量（構造方法將在第3部分給出）。

我們將方程組（2）改寫成，

， 。假設存在，的共有特征向量順序與相對應。此時的作用相當于一個常數的乘積。每一個確定的j可以解出共n個根， （3）。因此有n×s個，n×s個，共有的特征向量來構成方程（2）的通解。

用另一種方法表示上述關系，將全部同時對角化得即此時的是共有的特征向量，也是對角矩陣所在線性空間的基底。將看作基變換后的坐標，方程組（2）可寫成：

再進行一次基變換，使也變換為對角的線性變換。，容易看出對于第j列一組確定的有n個根，得到s個方程本質和（3）式一樣。

2 算法

我們給出方程組（1）的解法。

（1）找到的s個共有特征向量，即將同時對角化，這時存在有無簡并兩種情況，即矩陣的特征方程是否存在重根，I是單位矩陣。無簡并時，一個特征值對應一個特征向量，共s個；有簡并時，每個重根對應的若干線性無關的特征向量，根據譜定理，如果可以對角化則依然存在s個線性無關的特征向量，是所有重根對應的各特征向量。于是得到一組的共有特征向量。

（2）求解s個n次1元代數方程。此時也存在k有無重根的情況，若沒有重根，令；若是m重根，則令。這樣得到了n×s個線性無關的解向量。

（3）的線性組合就是齊次方程（2）的通解，是所選數域F中的n×s個任意常數。

（4）求（1）的一個特解，用常數變易法，取其第p個分量是的第k個分量。方程（1）可以寫成張量方程代入得，求出帶回u即得（1）的一個特解，實際計算中通常無法求出。

（5）令就是方程組（1）的通解。

值得一提的是，當s=1時方程（1）退化為：，是眾所周知的n階常系數線性微分方程。

3 例

求解。

解：寫成矩陣形式為：

的特征方程是

代入后知，解方程

得。

所以方程的通解是：

事實上，這就是兩個全同固有頻率為ω0的一維系統以-αxy耦合的運動方程。

參考文獻

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