一種基于最小二乘圓動態(tài)特征分析的圓度誤差穩(wěn)健評估方法①

曹志民 呂秀麗 韓 建 吳 云 宋鴻梅 趙麗華

(1.東北石油大學(xué) a.電子科學(xué)學(xué)院；b.博士后科研流動站；2.大慶油田博士后科研工作站)

一種基于最小二乘圓動態(tài)特征分析的圓度誤差穩(wěn)健評估方法①

曹志民1,2呂秀麗1a韓 建1a吳 云1a宋鴻梅1a趙麗華1a

(1.東北石油大學(xué) a.電子科學(xué)學(xué)院；b.博士后科研流動站；2.大慶油田博士后科研工作站)

針對現(xiàn)有圓形工件圓度誤差測量與評估方法大多僅從整圓全局的角度出發(fā)，而對局部圓度動態(tài)誤差特性關(guān)注不足的問題，設(shè)計(jì)了一種基于局部最小二乘圓參數(shù)動態(tài)特征的工件圓度高穩(wěn)健評估方法。首先，通過隨機(jī)選取均勻分布的固定數(shù)目原始點(diǎn)進(jìn)行初始圓參數(shù)擬合，在初始圓參數(shù)約束下對原始數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行劃分；接下來，對每一個(gè)劃分結(jié)合隨機(jī)采樣一致性(RANSAC)技術(shù)實(shí)現(xiàn)局部圓度參數(shù)的動態(tài)計(jì)算；最終在局部圓參數(shù)統(tǒng)計(jì)特征的支持下實(shí)現(xiàn)了局部和全局圓度誤差的評估。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提方法能夠穩(wěn)定有效地實(shí)現(xiàn)工件圓度的評估。

圓度 圓形工件 局部誤差 RANSAC 最小二乘

隨著儀器儀表和機(jī)械技術(shù)的飛速發(fā)展，現(xiàn)代自動化儀器儀表和機(jī)械產(chǎn)品的工藝復(fù)雜度越來越高。關(guān)鍵零件的性能對相關(guān)產(chǎn)品的性能和壽命至關(guān)重要，其中使用最多的基本零件是圓形和圓柱形，因此圓度(圓度形變)測量一直以來都是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)[1～3]。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織ISO/TS針對圓度誤差的表示問題[4,5]給出了4種常用的方法：最小二乘圓(Least Square Circle, LSC)、 最大內(nèi)接圓(Maximum Inscribed Circle, MIC)、最小周長圓(Minimum Circumscribed Circle, MCC)和最小區(qū)域圓(Minimum Zone Circle,MZC)。

這4種方法分別通過構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)參考圓，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)參考圓間峰值或谷值距離給出相應(yīng)的誤差表示。顯然，4種常用的標(biāo)準(zhǔn)參考圓表示條件的圓度誤差計(jì)算都屬于一種全局誤差表示，且這種誤差對噪聲和野值點(diǎn)非常敏感。實(shí)際應(yīng)用中，除了關(guān)心工件截面整體圓度外，很多情況下需要對工件局部圓度誤差進(jìn)行測量和評估，進(jìn)而可根據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行工件生產(chǎn)工藝和應(yīng)用領(lǐng)域的改進(jìn)、評估。顯然，對于利用局部數(shù)據(jù)進(jìn)行圓度評估問題，也需要通過給出類似參考圓的方法來實(shí)現(xiàn)，然而，以上4種方法中，只有最小二乘參考圓能夠適應(yīng)局部數(shù)據(jù)圓擬合，其他3種方法都無法給出局部數(shù)據(jù)參考圓的精確估計(jì)。而實(shí)際應(yīng)用中，局部圓度偏差等缺陷往往對工件質(zhì)量有著不可忽略的影響，如外套管件外壓圓筒局部圓度偏差對局部彎曲應(yīng)力的影響等[6]。針對這一問題，筆者提出了一種基于最小二乘圓動態(tài)特征分析的(局部)圓度誤差測量和評估方法。

1 最小二乘圓度測量方法

1.1 最小二乘法原理

數(shù)據(jù)擬合或參數(shù)估計(jì)問題一般可以轉(zhuǎn)化為最小二乘擬合或估計(jì)問題[7,8]。最小二乘問題是數(shù)學(xué)中的一種逼近優(yōu)化方法[9]。對于具有如下關(guān)系的物理模型：

y=f(z;x1,x2,…,xn)

(1)

其中f是一個(gè)由參數(shù)x1,x2,…,xn定義的期望函數(shù)，z為控制變量或數(shù)據(jù)，y是關(guān)于數(shù)據(jù)z和模型參數(shù)x1,x2,…,xn的期望輸出。經(jīng)過m次測量(m≥n)，可以得到m組觀測數(shù)據(jù)(zi,yi)(i=1,2, …,m)。由于測量誤差或噪聲的存在，觀測數(shù)據(jù)(zi,yi)不一定完全滿足期望函數(shù)(1)。為此，期望通過調(diào)整參數(shù)x1,x2,…,xn來實(shí)現(xiàn)如下目標(biāo)函數(shù)的最小化：

(2)

式(2)最小化的一個(gè)必要條件是▽g(x1,x2,…,xn)=0。根據(jù)期望函數(shù)的不同，最小二乘問題可分為線性最小二乘和非線性最小二乘問題。對于線性最小二乘問題，有：

f(z;x1,x2,…,xn)=x1zn-1+…+xn-1z+xn

(3)

那么，對應(yīng)的最小二乘問題的觀測方程為：

(4)

其中，[ε1,ε2,…,εm]T為期望模型的誤差向量。一般的，式(4)為一個(gè)超定方程組，寫成矩陣形式為：Ax=b+ε。那么，最小二乘擬合或估計(jì)問題最終形式可描述為如下最優(yōu)化問題:

(5)

在矩陣A滿秩的情況下，參數(shù)向量的解析解x=(ATA)-1ATb。

對于非線性最小二乘問題來說，可結(jié)合必要

條件▽g(x1,x2,…,xn)=0完成最小二乘問題的求解。

1.2 最小二乘圓

由以上分析可知，最小二乘擬合需要確定期望函數(shù)，最終求解相關(guān)參數(shù)。對于圓擬合，需要通過一系列的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)(ui,vi)來擬合如下二維圓方程：

(ui-uo)2+(v-vo)2=r2

(6)

f((x,y);xo,yo,r)=x2+y2+xo2+yo2-2xxo-2yyo-r2

(7)

對應(yīng)的最小化目標(biāo)函數(shù)為：

(8)

令α=r2，最小化目標(biāo)函數(shù)為：

(9)

取g(xo,yo, α)對α的偏導(dǎo)數(shù)，有：

(10)

即：

(11)

取g(xo,yo,α)對xo的偏導(dǎo)數(shù),有：

(12)

即：

(13)

同理，取g(xo,yo, α)對yo的偏導(dǎo)數(shù)可得：

(14)

式(13)展開后有：

(15)

(16)

同理，有：

(17)

(18)

2 基于最小二乘圓動態(tài)特征分析的局部圓度評價(jià)

在可能存在野值點(diǎn)和噪聲的情況下，筆者結(jié)合隨機(jī)采樣一致性(RANdom Sampling and Consensus, RANSAC)技術(shù)進(jìn)行局部圓度擬合，并記錄相應(yīng)的圓參數(shù)，最終利用最小二乘圓擬合方法進(jìn)行(局部)圓度評價(jià)，在給出目標(biāo)整體圓度評價(jià)的基礎(chǔ)上同時(shí)給出局部圓度動態(tài)變化情況等細(xì)節(jié)信息。具體的算法步驟如下：

b. 初始化參考圓個(gè)數(shù)為Nc=0和參考圓參數(shù)向量為空集。

c. 利用樣本點(diǎn)關(guān)于初始參考圓圓心的角度信息將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為N等份 (N的選擇需要保證每份不能少于k1個(gè)點(diǎn))。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證筆者算法的有效性，采用了兩組典型的圓度測試數(shù)據(jù)集[10,11]，如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)采用的兩組數(shù)據(jù)集

對以上兩組數(shù)據(jù)集分別計(jì)算了4種標(biāo)準(zhǔn)參考圓下的圓度誤差和筆者所提算法給出的兩種基于局部最小二乘圓動態(tài)特征的圓度誤差，圖2給出了筆者算法得到的局部最小二乘圓參數(shù)直方圖，最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1、2(其中筆者方法給出的圓參數(shù)為所有局部最小二乘圓參數(shù)的均值)。

圖2 兩組數(shù)據(jù)局部最小二乘參數(shù)直方圖

參數(shù)LSCMICMCCMZC筆者方法uc/mm0.02420.0066-0.00570.00540.1451vc/mm0.00770.00280.00770.0079-0.1041r/mm1.43961.01431.9641-1.4812圓度誤差0.96180.05850.96240.9574Epv:2.5575Estew:0.5132

表2 數(shù)據(jù)集2的圓度誤差測量結(jié)果對比

由圖2可知，圓度測量數(shù)據(jù)的局部確實(shí)存在較大變動，需要進(jìn)行局部圓度的動態(tài)參數(shù)測量。從表1、2的最終圓度誤差測量結(jié)果中可以看到，通過筆者方法進(jìn)行的圓度誤差測量除了能夠體現(xiàn)局部參數(shù)動態(tài)變化外，還能很好地給出圓度參數(shù)計(jì)算和圓度誤差評估。

4 結(jié)束語

針對工業(yè)生產(chǎn)中復(fù)雜環(huán)境下圓形工件圓度測量的局部誤差測量需要，通過對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行局部最小二乘圓擬合并記錄局部擬合圓參數(shù)變化情況，設(shè)計(jì)了基于局部最小二乘圓動態(tài)特征的圓度測量和評估方法。通過對不同測量誤差分布特征的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行的圓度誤差測量實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了筆者方法的有效性，為復(fù)雜工業(yè)生產(chǎn)環(huán)境下圓形工件圓度測量和評估提供了一種穩(wěn)定有效的方法。

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ARobustRoundnessErrorEvaluationMethodBasedonDynamicFeatureAnalysisofLeastSquareCircles

CAO Zhi-min1,2, LV Xiu-li1a, HAN Jian1a, WU Yun1a, SONG Hong-mei1a, ZHAO Li-hua1a

(1a.SchoolofElectronicScience; 1b.StationforPost-doctoralStudiesWork,NortheastPetroleumUniversity; 2.Post-doctoralResearchCenter,DaqingOilfield)

Considering the fact that existing circular workpieces’ roundness error measurement and evaluation mostly starts with a global manner for the measured circle and pay less attention to the dynamic error characteristics of local roundness, a robust roundness evaluation method for circular workpieces based on local least square circle fitting was proposed, in which, having equally-distributed initial points of fixed number selected randomly for parameter fitting and then having all data points divided into several local sections by employing initial entire circle parameters; and then for each local section, having random sampling and consensus (RANSAC) technology adopted to estimate dynamic local circle parameters and finally, having local and entire circle errors evaluated under the support of statistical feature of local circle parameters. Experiential results illustrate that the proposed method can stably perform robust roundness evaluation efficiently of the circular workpiece.

roundness,circular workpiece,local error, RANSAC,least square

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51374072)。

曹志民(1980-)，講師，從事圖像/視頻信號、石油勘探開發(fā)多源信號處理及模式識別等的研究，dahai0464@sina.com。

TH13

A

1000-3932(2017)06-0563-05

2016-11-26，

2017-05-04)