無線遙控步行插秧機的設計與試驗

陳訓教，呂志軍，薛向磊，辛 亮，喻擎蒼，于友朋，趙 勻

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無線遙控步行插秧機的設計與試驗

陳訓教1，呂志軍1，薛向磊1，辛 亮1，喻擎蒼2，于友朋1，趙 勻1※

（1. 東北農業大學工程學院，哈爾濱 150030；2. 浙江理工大學信息學院，杭州 310018）

無線遙控步行插秧機有廣闊的市場前景和應用價值，在不借助人力的情況下，田間地頭原地180°轉向是一大難題。為此，作者發明了一種具有升降功能的輔助行走機構，在田間地頭借助大幅度升降功使浮板能夠完全脫離泥面，減少轉向阻力。在分析了該機構的結構特點及工作原理基礎上，建立了機構的運動學模型，開發了基于Visual Basic6.0的計算機輔助優化設計與分析軟件，并結合“參數導引”啟發式優化算法快速優化求解得到滿足輔助行走機構工作要求的一組參數，基于優化所得參數進行結構設計，并進行了物理樣機加工試制與裝配。同時，開發了末端氣動執行系統和基于串口通信的無線遙控系統。在規格為10 m×20 m，泥腳深度為15～25 cm的水田中進行田間試驗，將插秧機的行走速度設定為0.45和0.90 m/s，試驗結果表明，在無線遙控狀態下，該機型可以完成插秧、直線行駛、全自動90°轉向和田間地頭原地180°轉向。輔助行走機構和控制系統滿足無線遙控步行插秧機在田間正常作業要求，驗證了機構和控制系統的可行性。

遙控；設計；試驗；步行插秧機；輔助行走機構；參數導引啟發式優化算法；氣動執行系統；串口通信

0 引 言

科學技術的進步推動著現代農業生產向著自動化、信息化、規模化和精確化方向快速發展[1]。農機智能化研究特別是無人駕駛技術在現代農業技術上的研究越來越深入，逐漸成為農業工程技術智能化研究的重要組成部分[2]，它包括：遙控和圖像識別田間作業機器的直線、轉向行駛、全自動90°轉向、田間地頭原地180°轉向、核心作業部件的啟動和終止。在整個作業過程中，確保機器等行距行駛。

步行插秧機是3種類型（高速、普通乘坐和步行插秧機）中唯一雙腳與土地長時間接觸的作業方式。由于北方寒地插秧季節氣候寒冷，雙腳與冰冷的土地接觸，是一項非常艱苦的勞動，年復一年，很多農民患上了關節炎等疾病，但是，步行插秧機由于其輕便、操作靈活、過埂和防陷性能好，特別適用于泥腳深的小塊水田，是一種不可或缺的機型。將步行插秧機配備無人駕駛技術，可以免去農民下田的生產環節，此外，該技術產業化成本低，而且可以充分發揮回轉式分插機構的高效率作業。

日本是最早進行農業機械智能化相關方面研究的國家，在水稻插秧機無人駕駛研究方面也處于領先地位。日本插秧機只有2種機型：高速乘坐式和手扶步行式，30年前，步行插秧機進入市場，數量是高速插秧機的2倍，但由于其對農民身體的傷害（日本處于寒溫帶，與中國東北氣候相同），目前步行插秧機已經萎縮到全部產量的1%，大多數都改為高速乘坐式，為了適應小田塊的作業，過去的4行步行插秧機都變成高速乘坐式。日本的無人駕駛插秧機也沒有達到產業化地步，其研究僅局限于乘坐式。日本國家農業研究中心的Nagasaka等針對乘坐式水稻插秧機的無人駕駛進行了系統研究[3-5]，他們對操作機構進行改造，并在插秧機上安裝了電腦、GPS和光纖陀螺儀，在50 m×10 m的稻田中用無線Modem對插秧機進行導航，試驗顯示，直線行走速度為0.7 m/s時偏差為5.5 cm，而轉彎時偏差為10 cm。北海道大學的Kaizu等運用機器視覺理論進行了無人駕駛方面的研究[6-7]，開發了雙譜照相秧苗檢測系統，有效消除水面反光及田邊綠色倒映物等噪聲影響，整體導航效果較好。

國內最早從事這方面研究的是華南農業大學的羅錫文院士，他針對乘坐式水稻插秧機的無人駕駛進行了系統研究[8-12]，對插秧機操作機構進行改造，將計算機、傳感器、GPS和數據通訊技術等集成融合開發出了多種自動控制系統，其中開發的基于CAN（controller area network）總線的分布式控制系統在久保田SPU-68型插秧機上進行了道路跟蹤試驗和田間作業試驗，結果表明，道路直線跟蹤偏差小于0.05 m，田間作業試驗直線跟蹤偏差不大于0.2 m，插秧機能夠自主完成路徑跟蹤、轉向、變速以及插秧等操作，滿足水田插秧作業要求。南京農業大學的姬長英、周俊等以機器視覺為基礎[13-18]，并融入小波變換、卡爾曼濾波等理論構建了視覺導航實驗平臺，以農用輪式移動機器人載體進行了大量無人駕駛試驗并取得良好的效果。中國農業機械化科學研究院的偉力國等以XDNZ630型水稻插秧機為試驗平臺，運用GPS技術，實現了插秧機的自動對行導航及地頭轉向[19]。并進行了插秧機路面與田間導航跟蹤試驗，結果表明，車輛行進速度不大于0.6 m/s時，對行跟蹤偏差小于10 cm，基本滿足插秧作業精度要求。此外，浙江大學的張方明博士在其博士論文中提出了幾種有效的田間路徑識別算法[20]，并以乘坐式水稻插秧機為載體進行自動導航研究，取得了不錯的效果。從以上研究現狀看，目前的無人駕駛集中在GPS和機器視覺的應用上。該研究摒棄通常無人駕駛采用的GPS系統，轉而借助無線遙控、圖像處理和自動控制3種方式融合完成步行插秧機無人駕駛田間作業，并在田間作業過程中盡量減少無線遙控操作。

為實現步行插秧機無人駕駛作業，該研究完成了無線遙控部分和機械部分，并申請了機械部分的相關發明專利（專利號：CN201510648987.2）和軟件著作權（登記號：2017SR379283），插秧機在無線遙控下可以完成直線行駛、轉彎、插秧及田間地頭原地180°轉向等。步行插秧機田間地頭180°原地轉向可以借助人工輔助操作實現，但在無線遙控作業中，如果機器未被抬升至一定的高度，浮板就會壅泥壅水，無法完成原地轉向動作。作者發明了一套具有大幅度升降功能的輔助行走機構，以保證插秧機無線遙控狀態下順利在田間直線行走、平穩升降和原地180°轉向。為獲得優化設計參數，自主開發輔助優化軟件并結合“參數導引”啟發式優化算法[21]進行快速優化求解，并進行了物理樣機研制，同時開發了基于串口通訊的控制系統和將控制指令轉換為插秧機動作的末端氣動執行系統，最后進行田間試驗，驗證了機構和控制系統的可行性。

1 輔助行走機構的設計要求和工作原理

1.1 設計要求

步行插秧機在無人駕駛田間作業過程中，輔助行走機構須滿足以下2個要求：

1）保證插秧機始終處于水平狀態。為保證插秧效果，輔助行走機構應能使插秧機在插秧和升降過程中盡量保持水平狀態，以保證達到平起平降效果及穩定的插秧角度和深度。

2）保證插秧機在直線、轉彎行走過程中的等行距作業和田間地頭原地180°轉向。為保證插秧效果，方便后期管理和收割，插秧機需直線行走并保持等行距作業[19]；在田間地頭原地180°轉向時，輔助行走機構應能使插秧機被抬升至最高狀態時，浮板與泥面完全分離，達到不壅泥壅水的效果。

1.2 工作原理

根據設計要求，發明了一種輔助行走機構如圖1所示（紅色部分），該機構由搖桿滑道機構（推桿1、擺桿2、活塞桿和插秧機機體）、雙搖桿機構（擺桿2、長拉桿4、下擺桿8和插秧機機體）和平行四桿機構（上擺桿6、支撐桿7、下擺桿8和插秧機機體）串聯組合而成，且巧妙地運用了插秧機自身的動力裝置，與插秧機攜帶的液壓升降機構形成并聯，協同完成插秧機的升降動作。當插秧機插秧時，尾輪9與驅動輪3的相對位置保證插秧機處于水平狀態，以確保穩定的插秧深度和角度；當插秧機需要田間地頭原地180°轉向時，插秧機液壓升降系統通過驅動自身升降機構使中間驅動輪3下降，同時液壓升降系統中的活塞桿驅動推桿1向右運動，推桿1驅動擺桿2下端向左運動，擺桿2與長拉桿4相鉸接，長拉桿4拉動由固定桿5固定在手扶架上的上擺桿6、支撐桿7和下擺桿8組成的平行四桿機構總成向左運動，從而帶動尾輪9下降，由中間驅動輪3和尾輪9的下降運動使插秧機升至一定高度后，最終使插秧機浮板完全脫離泥面，順利完成田間地頭原地180°轉向。

1.推桿 2.擺桿 3.驅動輪 4.長拉桿 5.固定桿 6.上擺桿 7.支撐桿 8.下擺桿 9.尾輪

2 輔助行走機構運動學模型建立

如圖2所示為輔助行走機構簡圖，建立以液壓升降機構中仿形臂鉸鏈點為原點、水平方向為軸（向右為正）、豎直方向為軸（向上為正）的坐標系，并規定以逆時針方向為正[22]。

根據圖2建立機構的封閉矢量方程

將矢量方程轉換為解析形式，得出各運動點的位移方程，其中，固定鉸鏈點的坐標(x,y)、固定鉸鏈點的坐標(x,y)、固定鉸鏈點的坐標(x,y)、固定鉸鏈點的坐標(x,y)、焊接點的坐標(x,y)、焊接點的坐標(x,y)和活塞桿末端點的縱坐標1為已知常量。

活塞桿末端點的位移方程為

注：la為 A點橫坐標；h1為 A點縱坐標；l1為桿AB的長度；l2為桿BC的長度；l3為桿CD的長度；l4為桿AE的長度；l5桿EF的長度；l6桿FG的長度；l7桿PJ的長度；l8桿JL的長度；l9為桿LK的長度；l10為桿IJ的長度；l11為桿IH′的長度；l12為桿H′H的長度；l13為桿GH的長度；l14為桿KM的長度；l15為桿NO的長度；α為 CB與CD夾角；β為CA的向量角；γ為CB與CA夾角；α1為 FE的向量角；β1為FA與FE夾角；γ1為FA的向量角；α2為GI與GE夾角；β2為GH與GI夾角；γ2為GE的向量角；α3為 HI與HH’夾角；γ3為HI的向量角；γ4為 NO與NM夾角；β3為KM的向量角；θ為手扶架傾角；θ1為H′I與H′H夾角；θ2為尾輪傾斜角；r為尾輪半徑。

Note: la refers to abscissa of point A; h1 refers to ordinate of point A; l1 refers to length of rod AB; l2 refers to length of rod BC; l3 refers to length of rod CD; l4 refers to length of rod AE; l5 refers to length of rod EF; l6 refers to length of rod FG; l7 refers to length of rod PJ; l8 refers to length of rod JL; l9 refers to length of rod LK; l10 refers to Length of rod IJ; l11 refers to length of rod IH′; l12 refers to length of rod H′H; l13 refers to length of rod GH; l14 refers to Length of rod KM; l15 refers to length of rod NO; α refers to included angle of CB and CD; β refers to vector angle of CA; γ refers to included angle of CB and CA; α2 refers to vector angle of FE; β1 refers to included angle of FA and FE; γ1 refers to vector angle of FA; α1 refers to angle of GI and GE; β2 refers to included angle of GH and GI; γ2 refers to vector angle of GE; α3 refers to included angle of HI and HH′; γ3 refers to vector angle of HI; γ4 refers to included angle of NO and NM; β3 refers to vector angle of KM; θ refers to inclination angle of Hand-frame; θ1 refers to included angle of H′I and H′H; θ2 refers to inclination angle of tail-wheel; r refers to radius of tail-wheel.

圖2 輔助行走機構簡圖

Fig.2 Simplified diagram of walking aided mechanism

液壓升降機構中仿形臂與拉桿鉸接，由此得出鉸鏈點的位移方程為

其中

擺桿與推桿鉸接與點，與長拉桿鉸接于，由固定鉸鏈點推出鉸鏈點和點的位移方程為

其中

其中

其中

其中

由支撐桿鉸鏈點的位移方程推導尾輪輪心的位移方程為

3 輔助行走機構多目標參數優化

3.1 變量與優化目標分析

根據輔助行走機構的結構特點和無線遙控步行插秧機作業要求，優化時，需考慮以下優化目標：

3）機構運動過程中與插秧機不發生運動干涉，即推桿與插秧機箱架、秧盤托架底板不發生碰撞；長拉桿與秧門不發生碰撞。

4）插秧機在田間作業時處于水平狀態，當插秧機初始狀態時為水平狀態時，尾輪與中間驅動輪的升降高度盡可能相等，且插秧機被抬升至最高位置時浮板應脫離泥面。

5）尾輪半徑不宜過小，應大于平均泥腳深度（200 mm），防止輪子陷入泥中而增加行駛阻力。

6）驅動輪與尾輪的升降速度在豎直方向上盡可能相等，使插秧機達到平起平降的效果。

輔助行走機構優化模型的已知變量為液壓升降系統的液壓行程170 mm及點橫坐標l；優化設計變量有：桿長4、桿長5、桿長6、桿長7、桿長8、桿長9、桿長10、桿長11、桿長12、桿長13、桿長14、桿長15、尾輪半徑、與夾角1和尾輪傾斜角2。

3.2 輔助行走機構優化設計與分析軟件開發

通過分析變量與優化目標，輔助行走機構的優化屬于多目標（9個目標）、多參數（16個參數）、強耦合性復雜優化問題[22,24-27]。該研究采取課題組提出的“參數導引”啟發式優化算法進行優化求解，其基本原理如圖3所示。根據輔助行走機構數學建模所得運動學方程，開發了基于VB可視化編程平臺的輔助行走機構優化設計與分析軟件，如圖4所示，并將“參數導引”啟發式優化算法嵌入軟件中，同時將優化目標轉換為數學方程，再將數學方程轉換為目標函數，并在優化軟件中數字化顯示，通過進度條的形式直觀地顯示優化效果，紅色顯示條越長，表明優化目標越接近理想值[21]，同時結合農藝要求，為優化出滿足要求的參數提供依據[28-30]。需要注意的是，待優化的機構設計參數初始值的選取必須滿足機構運動條件，否則，無法進行優化計算。例如，選取輔助行走機構中推桿1（圖2中的桿）和擺桿2上部分（圖2中的桿）長度值的時候，需要滿足當活塞桿末端點運動至任何位置時，桿和桿長度之和大于活塞桿末端點與鉸鏈點之間的距離，否則，機構將無法運動。

圖3 “參數導引”啟發式優化算法程序框圖

圖4 優化軟件界面

3.3 優化結果與分析

根據以上分析，借助專家經驗，運用優化設計與分析軟件并結合“參數導引”啟發式優化算法進行快速優化求解，當目標值顯示區域的所有進度條均呈現為紅色時，此時，優化軟件中參數輸入區域中的參數滿足優化目標要求，即為滿足輔助行走機構工作要求的參數。此外，紅色的進度條越長，說明目標函數值越靠近預設的理想值，所對應的參數也就越好，該組參數為結構設計、裝配圖及零件圖繪制提供依據，優化完畢的一組機構參數值和所對應的函數目標值分別如表1和表2所示。

在軟件參數欄中輸入優化參數，經分析計算后得到活塞桿伸出長度與插秧機的升降高度和在升降過程中整機傾斜度變化關系如圖5所示。當活塞桿伸出長度最大時（170 mm），中間驅動輪下降高度為244 mm，后端尾輪下降高度為229 mm，插秧機整機傾斜度小于2°，最大值為1.2°，且輔助行走機構與插秧機機體不發生干涉，滿足3.1節所述的相關優化目標要求。

表1 輔助行走機構優化模型的參數初始值與優化值

表2 輔助行走機構優化模型的目標初始值與優化值

圖5 升降高度和傾斜度理論變化曲線

4 控制系統設計與田間試驗

4.1 氣動執行模塊設計

氣動執行模塊作為控制系統的終端，是將控制指令轉換為插秧機的實際動作實現自主作業。如圖6所示為氣動執行模塊原理圖，DC為24 V穩壓電源，V為電壓表，F為逆變器，將24 V直流電轉換為供電動機（氣泵）M所用的220 V交流電，H為空氣濾清器，G為壓力表，C1～C7為氣缸，E1～E7為控制氣缸通斷的電磁閥，電磁閥的編號與氣缸編號一一對應。為了穩定系統壓力，在氣泵與氣缸之間安裝減壓閥D和壓力繼電器K（設定壓力值為0.7 MPa），并安裝壓力開關S1（初始狀態為閉合狀態），當系統壓力超過設定值，壓力繼電器發送信號，將壓力開關S1斷開，停止供壓，同時減壓閥D開啟，降低系統氣壓。當系統壓力低于設定值，壓力繼電器再一次發出信號，將壓力開關閉合，啟動供壓，從而保證系統的正常工作且節約能源。當插秧機檔位操作桿放在中立位置時，氣缸通斷組合與對應的插秧機動作如表3所示，其中“√”代表氣缸被接通，“×”代表氣缸被切斷。

注：C1～C7為氣缸；E1～E7為電磁閥；D為減壓閥；K為壓力繼電器；S1為開關，下同。

表3 氣缸通斷組合與對應的插秧機動作表

由表3可以看出，插秧機的大部分動作（左右轉彎、離合、前進、倒退和插秧）都需要C3氣缸的配合，所以必須使C3氣缸能快速接通與切斷，因此，在C3氣缸和換向閥之間設有快速排氣閥，以保證動作響應及時。氣缸C2為插秧機自身的液壓升降系統提供輔助，控制插秧機的升降動作，為防止插秧機升至一定高度后在一定時間內由于插秧機自身液壓系統壓力不穩定等問題而導致高度發生變化，從而影響系統穩定性，在C2氣缸與換向閥之間設置自鎖式回路，當電磁閥E2通電后，換向閥右位接通，此時斷開電磁閥E2，氣缸不會換向，且能保證氣壓相對穩定，只有當接通電磁閥E2′后，氣缸才能換向。

4.2 電控部分設計

為利用無線遙控手段實現對插秧機的實時控制，該研究以型號為STC80C52的單片機芯片，設計信號傳輸和處理系統。系統之間采用無線串口通訊模式，無線發送和接收串口模塊為433mHz，型號為E13-TTL；應用C語言對單片機開發板進行二次開發變為信號傳輸模塊，使具有控制指令發送功能；以單片機最小系統作為車載信號處理模塊，信號傳輸模塊和信號處理模塊如圖7、8所示。

1.無線串口模塊 2.矩陣鍵盤 3.單片機

1.電磁閥 2.電源 3.繼電器 4.信號接收模塊 5.單片機

信號傳輸模塊首先執行UART()函數將串口初始化，使E13-TTL可用，然后利用單片機開發板自帶的矩陣鍵盤，通過周期性掃描函數KEYSCAN()掃描被按下的鍵，按下的鍵的組合對應于表3中的插秧機動作，再通過SEND()函數發送按鍵組合對應的動作指令。信號傳輸模塊的按鍵一次只發送一個動作指令，但可以在極短的時間間隔內按下不同的按鍵，快速實現插秧機動作及動作切換所對應的按鍵組合。

信號處理模塊使用字符變量接收存儲信號傳輸模塊發送來的指令。氣缸編號與電磁閥、繼電器、單片機引腳一一對應，根據對字符變量的判斷結果。信號處理模塊中單片機的對應引腳值為1時，氣缸處于斷開狀態，反之，則為接通狀態，以實現表3中氣缸的通斷組合，進而對應插秧機動作。

4.3 田間試驗與結果分析

為驗證輔助行走機構和控制系統的可行性，基于3.3節中得到的優化參數，對輔助行走機構進行結構設計和加工試制，并裝配至富來威2Z-455型步行插秧機上，同時將氣動執行系統和信號處理模塊安裝在插秧機托架上，并用拉絲將汽缸活塞末端與控制插秧機動作的相關執行機構相連。水田規格為10 m×20 m，經測量泥腳深度為15～25 cm，將插秧機的行走速度設定為0.45和0.90 m/s，田間試驗如圖9所示。

圖9 田間試驗

在0.45和0.90 m/s 2種情況下，手持遙控器分別對插秧機進行直行、插秧、轉彎及田間原地180°轉向等操作，插秧機均能完成相應操作，信號傳輸及時，氣動執行系統響應及時，動作切換順暢且無干擾現象，插秧機在田間地頭原地180°轉向過程中，浮板與泥面完全分離，不存在壅泥壅水現象，驗證了輔助行走機構和控制系統的可行性。

5 結 論

該研究的最終結果是希望開發1種基于無線遙控、圖像處理和自動控制3種方式融合來完成全自動無人駕駛田間作業的小型插秧機，由于時間和精力有限，作者未能完成圖像識別部分，只完成了機械部分和無線遙控部分。

1）根據無線遙控步行插秧機運動要求發明了1套具有升降功能的輔助行走機構，并闡述了機構組成及工作原理，建立了相應的運動學模型。

2）針對輔助行走機構的工作特點，結合農藝要求，制定了輔助行走機構的優化目標與設計變量，并將目標數字化。

3）開發了計算機輔助優化設計與分析軟件，并運用“參數導引”啟發式優化算法優化出一組滿足工作要求的機構設計參數。

4）開發了氣動執行系統和無線遙控系統，根據優化參數進行輔助行走機構加工試制，并進行田間試驗，驗證了機構和控制系統的可行性。

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Design and performance experiment of wireless remote control walking rice transplanter

Chen Xunjiao1, Lü Zhijun1, Xue Xianglei1, Xin Liang1, Yu Qingcang2, Yu Youpeng1, Zhao Yun1※

(1.,,150030,;2.310018,)

Wireless remote control walking rice transplanter has broad market prospects and a high application value. Its 180° turning without manual assistance in the paddy field is a difficult problem. Based on the analysis of the operations of the walking transplanter in the paddy field, a kind of walking assist mechanism that can be lifted and descended was invented. Thanks to the substantial lifting and descending functions, the floating plate can be fully lifted away from the mud surface in the paddy field, and the resistance to turning can be reduced. A kinematics model was established for this mechanism on the basis of the analysis of the structural characteristics and working principles of this mechanism, while the multi-objective and multi-parameter optimized model was proposed for the walking assist mechanism according to its structural characteristics as well as operating requirements of wireless remote control walking rice transplanter in the paddy field. The computer-aided design and analysis software based on Visual Basic 6.0 was developed, and the “parameter-guided” heuristic optimization algorithm invented by the researcher team was embedded in this software for quick optimal solutions in order to get a group of parameters meeting the working requirements of the walking assist mechanism. Based on the optimized parameters, the structural design of the walking assist mechanism was carried out, and the trial physical prototype was manufactured. At the same time, C Language was applied to carry out the re-development of the microcontroller development board, which was used as signal transmission module for sending the control commands (remote control function). The minimum system of the single-chip microcomputer was used as the vehicle-based signal processing module. The end pneumatic actuator system was developed in order to convert the control commands into the actual actions of the rice transplanter and to realize the automatic operation. The signal processing module used the character variables to receive the commands from the storage signal transmission module. The cylinder numbers respectively correspond to the solenoid valves, the relays, and the single-chip microcomputer pins, so that the “on” and “off” of the cylinders with the corresponding number can be controlled according to the judgment results on the character variables. By this way, different cylinders’ “on/off” acting as a group realized the actions of the rice transplanter. Finally, the physical prototype of the walking assist mechanism, signal processing module and end pneumatic actuator system were fitted to the walking transplanter, and the test was carried out in paddy field with the specifications of 10 m×20 m and the mud depth of 15-25 cm, and the walking speed of the transplanter was set as 0.45 m/s and 0.90m/s. The test results showed that, in the wireless remote control state, the machine successfully completed the operation of planting, straight driving, automatic 90° turning and 180° turning in the paddy field. The walking assist mechanism and control system meet the requirements of the field operation of the wireless remote control walking rice transplanter, that proves the feasibility of the mechanism and the control system.

remote control; design; experiments; walking rice transplanter; walking aided mechanism; parameter-guided heuristic optimization algorithm; pneumatic actuator system; serial communication

10.11975/j.issn.1002-6819.2017.17.002

S223.91+2

A

1002-6819(2017)-17-0010-08

2017-03-06

2017-08-10

黑龍江省應用技術研究與開發計劃重大項目（GA16B302）。

陳訓教，研究方向為機構創新與優化。哈爾濱 東北農業大學工程學院，150030。Email：herr_chen@qq.com

趙 勻，教授，博士生導師，研究方向為機構創新、數值分析與綜合。哈爾濱 東北農業大學工程學院，150030。Email：zhaoyun@neau.edu.cn