食材最優搭配方案的建模分析

戴宏躍，肖立梅，戴 瑨

（肇慶學院 電子與電氣工程學院，廣東 肇慶 526061）

食材最優搭配方案的建模分析

戴宏躍，肖立梅，戴 瑨

（肇慶學院 電子與電氣工程學院，廣東 肇慶 526061）

針對日常生活中主餐食材選擇問題，基于營養與成本的最佳搭配，通過數學建模的方法，探求最佳的食材搭配方案.利用計算機軟件對數學模型的求解，得出一組最優解即最優食譜搭配方案，經驗證該方案完全滿足最優要求.

主餐；營養；成本；最佳搭配；數學建模

0 引言

隨著社會的發展，人們的健康需求、環保意識也不斷進步，人們對飲食的要求越來越精細，同時也更加注重食材的選擇和營養的搭配，希望達到營養與成本的最佳組合，這就需要探索研究食譜搭配與優化問題.因為年齡及性別的差異，不同人群對營養的需求也千差萬別.基于此，筆者根據本人的實際情況和備用食材情況，研究了一份適于本人的最具性價比的主餐食譜方案，旨在實現營養與成本的完美統一.

1 數學建模

從筆者的生活實際出發，主食主要是米飯或面食，并搭配肉類、蔬菜及水果類等.表1列出了備選食材的主要營養成分含量及時價，假設某天的食材在表1里面選擇，這就涉及到在保證營養的前提下，如何選擇一套符合要求的最佳搭配方案的問題.根據我國營養學會推薦的合理膳食的構成指標，普通人每天主要營養素的供給量大致如下[1]：

蛋白質：每人每1 000 g體重供給1～1.5 g，占總熱量的12%～14%，主要由瘦肉、蛋、乳、大豆與豆制品供給.動物蛋白應占食物總量的1/3.

脂肪：每人每1 000 g體重供給1～1.2 g，占總熱量的25%～30%，主要由植物油供給.

碳水化合物：每人每天供給400～500 g，占總熱量的60%～65%，主要由谷物類植物食品供給.

表1 每100g食物的主要成分與價格[2]

從表1可以看出，每種食物營養元素的含量都不同，其原材料的價格也存在差異.11～14歲的青少年每天約需要差不多75 g蛋白質和50 g脂肪.根據生活經驗可知，人們所需熱量因其性別、年齡、身高、體質量的不同而存在差異，這些因素都影響著人對熱量的需求.估算不同人群1天所需的熱量，通常按下面的公式進行計算：

一般人的運動系數即活動量系數選1.1～1.3不等，活動量越大數值便愈高，甚至有可能高出1.3.若平日只坐在辦公室工作的女性，其運動系數為1.1，運動量高的人約為1.3.

現結合某少年的具體情況，利用公式（2）計算日常所需熱量.其人的基本參數如下：身高158 cm，體質量43 kg，年齡11歲，運動系數取1.2，將這些數據代入公式（2），得

式中：4.186是熱量單位換算率.上式說明，該少年1天所需的熱量約為6 612.0 J.該熱量通過一日三餐攝入，全天攝入的熱量分配通常如下：早餐占30%，午餐占40%，晚餐占30%，這樣可以保證1天的熱量攝入較均衡.這樣，該少年早餐的攝入量約為1 983.6 J，中餐的攝入量約為2 644.8 J，晚餐的攝入量約為1 983.6 J.

現重點考慮中餐的情況，中餐總的熱量攝入量為2 644.8 J，除去其他飲料、水果等熱量的攝入，主餐攝入約為2 093 J.該少年1天的蛋白質攝入不少于50 g，中餐攝入約40%，即20 g.1天脂肪攝入量不少于40 g，中餐攝入約40%，取15 g；碳水化合物攝入量不少于400 g，中餐攝入約40%，取100g；1天Ca的攝入量不少于1 000 mg，考慮到早餐鈣攝入量較大，中餐取30%，約300 mg.堅持每頓的主食米飯或面食不多于400 g，如果有雞蛋的話，則雞蛋量不大于100 g.本研究旨在根據以上設想，從表1所示備選食物中進行合理搭配和選擇.這樣既能滿足人體基本所需，又能保證成本較低，達到食譜的最優組合.

下面建立數學模型，通過數學模型探求最佳組合方案.為了便于建模，現作如下假設（單位：kg）：

x1=米飯量，x2=面條量，x3=瘦肉量，x4=雞蛋量，x5=西蘭花量，x6=大白菜量，x7=冬瓜量，x8=胡蘿卜量.

那么要求當餐的飲食花費（假設為Z）的最小值即為目標函數，寫成

根據上面的分析，目標函數里的相關系數應該滿足下列條件，即為約束函數：

上面式（4）與式(5)～(12)即為建立的數學模型，其中式(4)為目標函數，式(5)～(12)為目標函數的約束條件.因為模型涉及到的未知數太多，手工計算工作量太大，而且容易出錯，現利用LINGO軟件進行求解[3].

LINGO軟件是Linear Interactive and General Optimizer的縮寫，即“交互式的線性和通用優化求解器”，由美國LINDO系統公司（Lindo System Inc.）推出，可以用于求解非線性規劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等，功能十分強大，是求解優化模型的最佳選擇.該軟件使用非常簡單，只要將上述模型按照軟件的語法格式如圖1所示輸入，然后點擊“LINGO”菜單，在下拉菜單中點擊“Solve”進行求解，經過一系列迭代求解以后，即可得出如圖2所示的輸出結果.

從圖2所示的輸出結果可得

最后得出中餐的最優組合為米飯、瘦肉、雞蛋與大白菜的組合，其中：

米飯為3.405 125×100≈341 g,

瘦肉為0.751 747 4×100≈75 g,

雞蛋為1.000 000×100≈100 g,

大白菜為3.290 707×100≈329 g.

最低花費為 0.5×3.41+2.8×0.75+0.8×1.00+0.6×3.29≈ 6.58元.

圖1 模型輸入

圖2 輸出結果

2 討論與拓展

本文的主要研究目的是對食材最優搭配方案進行建模分析，要求成本較低，又能達到人體每頓飯所需的營養攝入量.力求在上述約束條件下，通過合理建模獲取最優方案.如果有大量食材，每天要得到不同的組合方案，則僅需更換樣本即可.利用本文所示數學模型，同樣可以得到不同的優化方案.基于篇幅所限，此處不予重復.

本文的方法具有靈活的擴展性，考慮到數學建模分析的方便以及普通人對主食的要求，筆者選取了8種常用食材作為樣本.通過對所建立數學模型的優化迭代運算，最后得到4種食材作為最優組合方案，這也是普通人一頓飯所需的食材數量.盡管普通人一頓飯很少吃上更多（比如7～8種）食材，但是考慮到特殊情況，比如想從更多的食材中（20～30種）選取由更多食材（比如7～8種）組成的最優方案，本文的建模方法同樣適用.只要改變模型中的樣本數量，改變約束函數、目標函數的參數數量，就可以得出最優結果.

3 結論

本文中，筆者首先闡述了估算普通人一天所需主要營養成分的方法；同時給出了備選食物的主要營養成分；接著論述了青少年每日所需能量的估算公式，然后根據某少年的具體情況，算出其人1天所需攝入的能量，重點分析了其中一餐所需攝入的能量及主要營養成分.在此基礎上，基于成本最低的目標建立數學模型，并利用計算機軟件解出最優解，得到一套最優的食材組合方案.驗算結果表明，該數學模型實現了預期要求，達到了設計目標.

[1] 中國營養學會.中國居民膳食營養素參考攝入量[M].北京:中國輕工業出版社,2006.

[2] 王光亞.中國食物成分表[M].北京:北京大學醫學出版社,2009.

[3]Lindo System Inc.LINGO11 User Manual[M].Chicago:Lindo System Inc,2008.

Modeling andAnalysis of the Optimal Ingredient Scheme

DAI Hongyue,XIAO Limei,DAI Jin
（School of Electronic and Electrical Engineering,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

Based on the best collocation of nutrition and cost,the mathematical modeling method is applied to explore the best solution of ingredients combination in the main meal.By using the computer software to solve the mathematical model,a set of optimal solutions,that is the optimal solution of ingredients combination,is obtained.It is proved that the scheme meets the optimal requirements completely.

main meal;nutrition;cost;optimal collocation;mathematical modeling

TS201.4

A

1009-8445（2017）05-0009-04

2017-03-31

戴宏躍(1974-),男，湖南武岡人，肇慶學院電子與電氣工程學院講師,博士.

（責任編輯：陳 靜）