一類離散時間相依風險模型的期望貼現懲罰函數

鄭賀

摘要研究了一類具有相依結構的離散時間更新風險過程，通過索賠額與隨機閾值得比較，風險過程在兩個級別中相互轉換。得到了期望貼現懲罰函數的概率生成函數滿足的分析表達式以及零初值時懲罰函數的解析表達式。最后，得到了期望貼現懲罰函數所滿足的瑕疵更新方程。

關鍵詞數理統計學；離散時間相依模型；期望貼現懲罰函數；Lundberg基本方程

中圖分類號F840文獻標識碼A

Expected discounted penalty function for a class of discrete time dependent risk model

He ZHENG

（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）

AbstractThis paper discusses a class of discrete time renewal risk processes with dependent structure.The risk process is transformed at two levels by comparing the claim value with the stochastic threshold.The analytic expression of the probability generating function of the expected discounted penalty function is obtained and the analytic expression of penalty function at zero initial value is obtained.Finally，the defective renewal equation satisfied by the expected discounted penalty function is obtained.

Key wordsmathematical statistics；discrete time dependent risk model；expected discounted penalty function；Lundberg fundamental equation

1引言

在風險理論的早期研究中，一般假設索賠剩余過程滿足獨立增量性質，但是這個條件一般不符合保險公司的實際運營。近年來，越來越多的精算理論學者在盈余過程引入某種相依結構。例如，Albrecher和Boxma（2004）[1]假設索賠間隔時間分布依賴于前一次索賠額的大小，得到了破產概率拉普拉斯變換的解析表達式；Boudreault等（2006）[2]研究了索賠間隔時間與下一次索賠額相依的復合Poisson風險模型，得到了期望懲罰函數的瑕疵更新方程；Cossette等（2008）[3]使用FGM copula函數刻畫索賠間隔時間和索賠額之間的相依關系，得到了期望懲罰函數的拉普拉斯變換的解析表達式，在索賠額服從指數分布時得到破產時間的拉普拉斯變換的具體表達；Meng和Zhang等（2008）[4]構建了索賠間隔時間決定下一次索賠額的相依結構，在指數索賠下得到了生存概率的計算公式以及一般索賠分布下破產概率的上界估計；Li和Sendova（2013）[5]構造了索賠間隔時間和保費率都依賴于前一次索賠額的連續時間風險模型，得到了任意索賠分布下期望懲罰函數滿足的瑕疵更新方程；Liu和Bao（2014）[6]研究了具有一般保費收入的時間間隔與索賠額相依的離散時間風險模型，得到了期望懲罰函數滿足的更新方程。

對一類離散時間相依風險模型的研究，通過索賠額與隨機閾值進行比較，風險過程在兩個級別中相互轉換。對于此類風險模型，通過Lundberg基本方程的根，從而得到期望貼現懲罰函數滿足的瑕疵更新方程。

2模型結構

考慮如下的風險模型，保險公司的盈余過程r（n）滿足

其中u∈N為初始盈余，xi表示第i次發生索賠的金額，t（n）表示到時刻n時發生的索賠的次數。令{xi，i∈N+}為一列獨立同分布的隨機變量序列，概率函數為b（·），均值為β，概率母函數為（·）。閾值{qi，i∈N+}為獨立同分布的隨機變量序列，分布函數為h（·）。現在假設風險過程在任意時刻n滿足下列兩種情形之一并把這兩種情形記作級別i（i=1，2）。在風險級別為i時，下次發生索賠的時間間隔w服從參數為pi（i=1，2）的幾何分布，概率函數為fi（n）=qipn-1i，其中qi=1-pi>0。在索賠發生時風險過程的狀態會依賴索賠額的大小發生改變：若索賠額xi小于閾值qi，則風險過程的狀態會發生改變，否則不變。在后續討論中，將qi記作q。為了滿足正的安全負載，假設下面的不等式成立：

記mi（u）表示初始盈余為u的GerberShiu期望貼現懲罰函數，即

其中0

為簡化計算，定義離散函數的算子如下：

關于該算子的相關性質參見文獻[7].

3期望貼現懲罰函數的概率生成函數

以第一次索賠發生的時間和索賠額的大小為條件，由全概率公式得：

由于f（u）是定義在[0，1]上的連續的取整值的常值函數且f（0）=2，所以f（1）=2。

現將式（11）和式（12）以矩陣形式表示為

4期望貼現懲罰函數滿足的更新方程

本節的目的是反演概率生成函數，獲得期望貼現懲罰函數滿足的瑕疵更新方程。記l1（z）=[p1m1（0）+q1γ（0）]（z-vp2），則l1（

其中

顯然式（17）中分母的根也是分子的根，所以有

故用拉格朗日插值定理有：

最后，由式（20）和式（23）得到mi（u）滿足的瑕疵更新方程。

定理3對于風險模型（1），期望貼現懲罰函數mi（u）滿足下面的瑕疵更新方程：

其中τ（·）由式（21）給出，η1（·）和η2（·）分別由式（22）和式（24）確定。

證明：通過反演概率生成函數的表達式，由式（20）和式（23）得到更新方程式（25）。以下只需證明更新方程式（25）為瑕疵的。為此，只需說明kv：=v（1）<1.則由式（19）可知

5結論

研究一類具有相依結構的離散時間更新風險過程，通過索賠額與隨機閾值進行比較，風險過程在兩個級別中相互轉換。利用概率生成函數的技巧，得到期望貼現懲罰函數的概率生成函數滿足的分析表達式以及零初值時懲罰函數的解析解。最后，通過Lundberg基本方程的根得到期望貼現懲罰函數滿足的瑕疵更新方程。所得結果豐富了破產理論中關于離散時間風險模型的研究內容，可以為保險公司的實際運營提供一定的決策參考。

參考文獻

[1]Albrecher H，Boxma O J.A ruin model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Mathematics and Economics.2004（35）：245-254.

[2]Boudreault M，Cossette H，Landriault D，et al.On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes.Scandinavian Actuarial Journal.2006（5）：265-285.

[3]Cossette H，Marceau E，Marri F.On the compound Poisson risk model with dependence based on a generalized FarlieGumbelMorgenstern copula.Insurance：Mathematics and Economics.2008（43）：444-455.

[4]Meng Q，Zhang X，Guo J.On a risk model with dependence between claim sizes and claim Intervals.Statistics and Probability Letters.2008（78）：1727-1734.

[5]Li Z，Sendova K P.On a ruin model with both interclaim times and premiums depending on claim sizes.Insurance：Scandinavian Actuarial Journal.2013（2）：1-21.

[6]Liu H，Bao Z.On a discretetime risk model with general income and timedependent claims [J].Journal of Computational and Applied Mathematics.2014，260（4）：470-481.

[7]Li S.On a class of discrete time renewal risk models [J].Scandinavian Actuarial Journal.2005（4）：241-260.endprint