“設(shè)而不求”

陳金華

摘要：設(shè)而不求是數(shù)學(xué)解題中的一種很有用的手段，采用設(shè)而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡捷的解題效果。本文將對(duì)設(shè)而不求的常見類型加以歸納，以供借鑒與參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；設(shè)而不求；舉例

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）20-051-1

一、整體代入，設(shè)而不求

在解決某些涉及若干個(gè)量的求值問題時(shí)，要有目標(biāo)意識(shí)，通過虛設(shè)的策略，整體轉(zhuǎn)化的思想，繞開復(fù)雜的運(yùn)算過程，可使問題迅速得到解決。

例1已知等比數(shù)列{an}中，Sm=16，S2m=64，求S3m。

解：設(shè)公比為q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，

于是a1（1-qm）1-q=16①a1（1-q2m）1-q=64②，

②÷①得1+qm=4，則qm=3，

所以S3m=a1（1-q3m）1-q

=a1（1-qm）1-q（1+qm+q2m）

=16×（1+3+32）

=208。

二、轉(zhuǎn)化圖形，設(shè)而不求

有些代數(shù)問題，通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設(shè)而不求，可轉(zhuǎn)化成幾何問題求解。

例2設(shè)a、b均為正數(shù)，且a+b=1，求證2a+1+2b+1≤22。

證明：設(shè)u=2a+1，v=2b+1（u>1，v>1），u+v=m，

則u、v同時(shí)滿足u+v=mu2+v2=4，

其中u+v=m表示直線，

m為此直線在v軸上的截距，

u2+v2=4是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一部分圓弧（如圖），顯然直線與圓弧相切時(shí)，所對(duì)應(yīng)的截距m的值最大。

由圖易得mmax=22，

即2a+1+2b+1≤22。

三、適當(dāng)引參，設(shè)而不求

恰當(dāng)合理地引入?yún)?shù)，可使解題目標(biāo)更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問題能夠得到解決。

例3已知對(duì)任何滿足（x-1）2+y2=1的實(shí)數(shù)x、y，如果x+y+k≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解：設(shè)x=1+cosθy=sinθ（θ∈R），則

g（θ）=x+y+k

=sinθ+cosθ+1+k

=2sin（θ+π4）+1+k

≥-2+1+k，

令-2+1+k≥0，得k≥2-1。

四、巧設(shè)坐標(biāo)，設(shè)而不求

在解析幾何問題中，對(duì)于有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)采用設(shè)而不求的策略，能促使問題定向，簡便化歸，起到以簡馭繁的解題效果。

例4設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。

證明：設(shè)點(diǎn)A（2pt21，2pt1）、B（2pt22，2pt2），則點(diǎn)C（-p2，2pt2），

因?yàn)锳B過焦點(diǎn)F，

所以2pt1·2pt2=-p2，

得t1t2=-14。

又直線OC的斜率kOC=2pt2-p2=-4t2=1t1，

直線OA的斜率kOA=2pt1-02pt21-0=1t1，則kOC=kOA，

故A、O、C三點(diǎn)共線，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。

五、活用性質(zhì)，設(shè)而不求

解題過程中，不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內(nèi)容，明確最終目標(biāo)，經(jīng)過巧妙構(gòu)造，活用性質(zhì)，可直達(dá)目標(biāo)。

例5求證1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）

證明：設(shè)xn=1n+1+1n+2+…+12n-1324，

則xn+1=1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2-1324，

由xn+1-xn=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2>0可知：數(shù)列{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列。

又x2=13+14-1324>0，

則xn>0（n≥2，n∈N*），

即1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）。

六、恒等變形，設(shè)而不求

某些看似十分復(fù)雜的運(yùn)算，經(jīng)過巧妙轉(zhuǎn)換，恒等變形，使運(yùn)算對(duì)象發(fā)生轉(zhuǎn)移，起到意想不到的效果。

例6求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值。

解：設(shè)M=cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，

N=sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，

則MN=sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17cos8π17

=128sin2π17sin4π17…sin16π17

=128sinπ17sin2π17…sin8π17

=128·N，

而N≠0，故M=128=1256。

以上例題中，方法多樣，其中例1可以用構(gòu)造法，例2設(shè)參法，例3幾何法，例5逼近法，例6補(bǔ)項(xiàng)法，速度和準(zhǔn)確度比“設(shè)而不求”更方便。但是，“設(shè)而不求”的處理，可以打開學(xué)生的一道心扉，從而轉(zhuǎn)變他們的思維和計(jì)算方式，為后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添無窮的動(dòng)力和樂趣。endprint