一類截尾變量方差估計結(jié)果的證明

張銀龍

摘 要 對任意給定的隨機(jī)變量，，具有一階矩，二階矩及，運(yùn)用對偶的思想，通過確定控制二次函數(shù)，得到截尾變量方差的上界估計。這里假定。對這個問題研究源自于歐式期權(quán)中的購買選擇權(quán)。這種方法是建立在控制二次函數(shù)，以及針對具有單峰分布情形進(jìn)行測度變換的基礎(chǔ)上的。

關(guān)鍵詞 對偶 歐式期權(quán) 方差

中圖分類號：O211.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

隨機(jī)變量的矩界問題自然地出現(xiàn)在概率論、統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域。對于它的學(xué)習(xí)研究已經(jīng)有很久的歷史，可追溯到切比雪夫不等式的出現(xiàn)，對這一問題的研究才出現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。二十世紀(jì)中葉，通過對偶理論使得隨機(jī)變量的矩界問題得到充分發(fā)展，獲得了很多非常好的結(jié)果。本文針對有界變量情形，我們將運(yùn)用對偶的方法，通過建立控制二次函數(shù)，得到了變量方差的上界估計。

1主要結(jié)果與證明

定理 設(shè)隨機(jī)變量，，，，，則

且當(dāng)，時，

結(jié)果的證明將用到如下兩個引理：

引理1設(shè)隨機(jī)變量X、Y是獨立且同分布的，則。

引理2 已知X為隨機(jī)變量，K為常數(shù)，則。

證明：根據(jù)引理1，有

（與獨立同分布）

其中，，，且，。

記

本證明的關(guān)鍵是找到一個二次函數(shù)，

使其滿足

（2.1）

這里、、均為的二次函數(shù)。

因此， （2.2）

取 （2.3）

為驗證二次函數(shù)滿足（2.1），把區(qū)域劃分成四個部分：⑴，；⑵，；⑶， ；⑷，。前兩種劃分顯然是滿足的，只須對后兩種劃分進(jìn)行驗證。

設(shè)，

對（3），當(dāng)，時，對任意固定的函數(shù)中的變量y，則是一個關(guān)于x的二次函數(shù)，整理后為

這里，是關(guān)于x的開口向上的拋物線，經(jīng)過簡單的計算可以判定的對稱軸小于，即有。

對（4），當(dāng)，時，對任意固定的函數(shù)中的變量，則是一個關(guān)于y的二次函數(shù)，整理有，這里，由此可知G（x，y）是一個關(guān)于y的凹函數(shù)。因此，對于，有

綜合以上，即有

將m2、m1、K0代入上式，整理后得

當(dāng)時，其結(jié)果顯然小于平凡界。

2結(jié)語

本文利用對偶的思想，對具有二階矩的二維截尾隨機(jī)變量max（0，X1X2K）的方差上界給出了估計。應(yīng)用本文的結(jié)果可以評估股票和期權(quán)交易中的收益及風(fēng)險，尤其是對具有相關(guān)性的兩種投資組合的收益及風(fēng)險進(jìn)行評估。

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