例談構造法在高中數學解題中的應用

張連吉

用構造法解題時，其核心思想是“構造”，它貴在“創新”，常表現出簡潔、明快、精巧等特點。利用構造法解題時，從構造的內容可分為數、式、函數、方程、數列、不等式、復數、圖形、向量、數學模型等。下面的例子可以看出這些想法的實現是非常靈活的，沒有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以嘗試從中總結規律：一要明確構造的目的，即為什么目的而構造；二要弄清楚問題的特點，以便依據特點確定方案，實現構造。下面按構造內容的不同將構造方法分成如下幾類分別予以舉例說明。

一、構造函數

在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構造一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段。構造函數證明、解答、問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性。在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標。

二、構造方程

方程作為中學數學的重要內容之一，與數、式、函數等諸多知識密切相關。根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解。

說明：從題中給出的條件，信息量太少，如果從形式上入手，發現它們共同的形式與平面向量在坐標運算下的數量積有關，故可嘗試構造向量來解題。

五、構造復數

復數是實數的延伸，一些難以解決的實數問題通過構造轉化為復數問題，雖然數的結構會變復雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊天空”。

六、構造幾何圖形（體）

一般來講，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心。

說明：如果問題條件中的數量關系有明顯或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系，則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現，然后，借助于圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的答案。構造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質的圖形。這些幾何圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形以及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形。

構造不是無中生有，而是根據問題中的條件發現問題的本質，找到不同數學知識間得聯系，通過構造有些問題可以達到化難為簡、“柳暗花明”的目的。最后還應指出，構造法并非是上述題型的唯一解法，并且構造法也不只限于本文提到的幾種，對于同一道題既能有幾種構造法，也可以用其他方法來解。

（作者單位：云南省曲靖市第一中學）