導數在拋物線運動中的應用

尹海欽

導數是高中數學中的一個學習內容，也是數學應用較為廣泛的一個知識點。經常見到的數學問題可以運用導數進行求解外，拋物線運動相關題目中，也可以運用導數進行求解。拋物線運動是生活中經常見到的運動學問題，在解決這一問題時除了常規解法外，導數也是一種經常利用的求解方法。本文主要對導數在拋物線運動中的應用進行了分析，以加強導數運用的理解和認識。

平拋運動是拋物線運動中的一種重要形態，歷年高考中都會出現跟平拋運動相關的題目，因此平拋運動是高考中的一個重要出題方向。根據這一情況，高中學生在學習中應重視平拋運動相關知識的學習和復習，將其看作一個重要知識點。并在理解平拋運動基礎上，學會總結平拋運動相關規律，學會解決平拋運動實際問題。在理解平拋運動時，可以將其看作是勻速直線運動、自由落體運動的結合。如表1為平拋運動的相關基礎知識，如圖1為平拋運動示意圖。

在平拋運動中有，x方向上有[vx=v0]；y方向上有[vy=gt]，根據導數定義對x、y方向進行求導得到有：[dvxdt=0，dvydt=g]。從以上公式中可以看出對于x方向上的速度與時間的微變量關系是0，這表示速度在每時刻t的變化為0也就是勻速運動；對于y方向上的速度和時間的微變量為g，這表示速度在每時刻t的變化為g。從以上導數推到中可以看出學生只需要掌握導數的相關概念，便可推導出平拋運動中先關公式，這樣減少了記憶難度。下面是導數在平拋運動中的實例分析。

例1 求解平拋運動中初速度的方法如圖2所示為平拋運動軌跡。在該軌跡中，O為物體平拋點，物體經過平拋運動后，對軌跡中的某一點進行測量，該點坐標為（60，45），求解該物體做平拋運動時的初速度。

解：從題中可知x方向的位移sx=60，y方向是的位移為sy=45。根據導數在平拋運動中的應用可知，有[dsxdt=v0，dsydt=gt]。這樣有[sx=v0t，sy=12gt2]。將[sx]平方的到[sx2=（v0t）2]，最終可以計算出[v0=xg2y]，帶入數據最終得到[v0=2m/s]。

1.在類平拋運動中的應用。質量為m的小球在如圖3所示的斜面中進行拋物線運動。小球從A點水平拋出，拋出速度為V0。拋出后，小球在斜面上進行運動，直至B點。假設小球從A點拋出時的高度為h，求小球在該斜面上進行運動時所花費的時間？當小球運動到B時，小球的速度是多少？

解析：小球在斜面上運動時出的拋物線運動為平拋運動，斜面向下加速度[a=gsinθ]。

假設小球從A至B的運動時間為t，由題可知[hsinθ=12at2]，求出運動時間[t=1sinθ2hg]。

假設小球m斜面向下速度為vy。

則小球運動到B的速度為[v=v20+v20=v20+2gh]。

2.在復雜平拋運動中的應用。已知物體在平面上運動，y方向的位移與時間關系是[ys=5t2+5t]，在x方向上的位移與時間關系是[xs=6t3+5t2+6t]，求t=2s時物體的運動速度。

解析：根據[dysdt=vy]表示t時刻在y方向上的速度，這樣可以計算出[vy=10t+5]，同理可以計算出[vx=18t2+10t+6]，最終得到速度[v=vx2+vy2]，帶入數據得到[v=vx2+vy2=101.13m/s]。

拋物線運動是物理學運動中的一種重要形式，也是生活中常見的運動形式。因此不管是日常生活中，還是高考題目中，都經常出現求解拋物線運動的問題。解決拋物線運動的方法很多，其中導數是一種有效解決拋物線運動的知識點。導數作為高中數學中出現次數最多、應用最廣泛的知識點，如何利用導數解決拋物線運動問題是每個高中生都應掌握的解題技巧。endprint