淺談高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)的主要困難和原因分析

周奕彤

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位。本文將結(jié)合筆者自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)和原因進(jìn)行分析，主要采取結(jié)合例題說明的方法，探討三角函數(shù)中的難點(diǎn)問題和易錯(cuò)問題，從而在學(xué)習(xí)過程中突出重點(diǎn)，提高對(duì)三角函數(shù)難點(diǎn)問題的處理能力。

一、前言

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)比較多，并且所涉及到的公式也比較多。基于這樣的背景，要求我們?cè)诮忸}過程中，需要靈活運(yùn)用相關(guān)概念和基本公式，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為我們能夠求解的形式，最終解出正確答案。但是在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，部分高中生由于對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握的不夠扎實(shí)，再加上缺乏練習(xí)，在三角函數(shù)習(xí)題方面存在著很多疑惑。針對(duì)這種情況，筆者覺得有必要對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)及其原因進(jìn)行深入分析，從而找到改善三角函數(shù)學(xué)習(xí)狀況的有效途徑。

二、高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)難點(diǎn)

（一）三角函數(shù)轉(zhuǎn)換問題

F（x）=Asin（ωx+φ）+b形式的表達(dá)式是一種比較復(fù)雜的三角函數(shù)題目，一般考察的是我們對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度。此外，解答相關(guān)題目需要對(duì)三角函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過整理找出相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而解出答案。在此過程中，通常要利用降冪擴(kuò)角公式對(duì)三角函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，通過恒等變換，將其化解為f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式。

例題1 已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1，求：①f（x）的最小正周期；②f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值。

在求解此類題目時(shí)，首先要進(jìn)行三角函數(shù)變換，題目中的f（x）=4cosxsin（x+π/6）-1可以通過恒等變換得到f（x）=2sin（2x+π/6），轉(zhuǎn)換后可以較為容易的得出f（x）的最小正周期為π。求解f（x）在[-π/6，π/4]上的最小值，當(dāng)2x+π/6=π/2時(shí)取得最小值，即x=-π/6，f（x）min=-1。

（二）三角函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合問題

三角函數(shù)和二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的融合在高中三角函數(shù)學(xué)習(xí)中也非常常見，盡管知識(shí)內(nèi)容存在一定的互通性，但學(xué)習(xí)時(shí)卻是分步進(jìn)行的，因此差異顯著。具體而言，二者的融合往往是將三角函數(shù)作為內(nèi)涵數(shù)，而將二次函數(shù)作為外函數(shù)復(fù)合，或者將二次函數(shù)作為內(nèi)涵數(shù)，將三角函數(shù)作為外函數(shù)再復(fù)合，以換元的方法構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，該方法涉及到“降冪擴(kuò)角”，部分高中生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握不夠牢固，必然帶來學(xué)習(xí)上的問題。比如題目：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。解析該題目，首先要對(duì)已知條件進(jìn)行簡(jiǎn)化，使其變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)，再進(jìn)行還原，以復(fù)合函數(shù)的解析方式完成解題。

（三）三角形相關(guān)問題

三角形相關(guān)問題是三角函數(shù)中最常見、最基本的問題，但由于三角形問題可能存在多個(gè)三角的復(fù)合或者三角形與圓形、梯形的復(fù)合，其復(fù)雜程度也會(huì)隨之提升，而不同三角形的性質(zhì)也有差異。高中生在學(xué)習(xí)時(shí)，思路不夠開闊、知識(shí)掌握不牢，都會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難，如基本的三角形內(nèi)切圓，三角形某一條邊上的高隨著切點(diǎn)的變化移動(dòng)也會(huì)不斷改變，求其最大值、最小值和變化規(guī)律等問題。以上幾方面習(xí)題涉及到函數(shù)、集合、最值等知識(shí)，要求高中生牢固掌握基本概念和運(yùn)算方式，一定程度上講，這也給知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)、掌握帶來了影響。

三、高中三角函數(shù)難點(diǎn)問題及錯(cuò)解的原因分析

（一）基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)掌握不牢靠

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)掌握不牢靠是高中生進(jìn)行三角函數(shù)學(xué)習(xí)、解題時(shí)出現(xiàn)困難和錯(cuò)誤的主要原因之一。三角函數(shù)的解題帶有非常明顯的規(guī)律性，即一切圖形的變化均遵循基本的函數(shù)規(guī)律，計(jì)算方式也是相同的，也即通常所說的“萬變不離其宗”，比如基本的和差角公式，基礎(chǔ)公式為：cos（a+b）=cosacosb-sinasinb；cos（a-b）=cosacosb+sinasinb，兩個(gè)公式中，a為角A的對(duì)邊，b為角B的對(duì)邊，C則是斜邊，無論三角形怎么變化，所選角度有何種不同，計(jì)算都可以根據(jù)該公式進(jìn)行。如果對(duì)相關(guān)知識(shí)掌握不牢，解題、學(xué)習(xí)時(shí)也就難以尋找到切入點(diǎn)和方式，自然就會(huì)產(chǎn)生困難、出現(xiàn)錯(cuò)誤。

（二）題目涉及知識(shí)點(diǎn)多

高中三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)相對(duì)固定，但在題目中，各類知識(shí)卻是融合在一起的，教科書中的例題、基本的習(xí)題往往不具備這些特點(diǎn)，這意味著高中生如果不能有效掌握前后所學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)、解題時(shí)也會(huì)出現(xiàn)困難。如前文所說的三角函數(shù)和二次函數(shù)的融合問題，題目為：f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx的最小值和最大值。該題目需通過“降冪擴(kuò)角”解答，又涉及到復(fù)合函數(shù)、取值的區(qū)間，如果對(duì)題目稍加改動(dòng)，還可能涉及到函數(shù)單調(diào)性，眾多知識(shí)點(diǎn)中，任意一個(gè)掌握不牢固題目就可能無法解答。這也是高中生能夠完成單一知識(shí)題目解析、無法進(jìn)行多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合類題目解答的問題所在。

（三）變量關(guān)系難以確定

三角函數(shù)和其他函數(shù)相同，都會(huì)涉及到各類變量，如前文提到的三角形內(nèi)切圓，三角形某一條邊的高取值會(huì)隨著切點(diǎn)的變化而變化，該題目中涉及到的兩個(gè)基礎(chǔ)變量為三角形某一條邊的高和切點(diǎn)，高的取值大小隨著切點(diǎn)的變化而變化，這是兩個(gè)變量的基本關(guān)系。在解題時(shí)，如果沒有把握這一要點(diǎn)，將高的取值與不相關(guān)的變量聯(lián)系到一起，所獲得的計(jì)算結(jié)果很大可能就是錯(cuò)誤的。我們?cè)谶M(jìn)行學(xué)習(xí)、解題時(shí)，應(yīng)注意對(duì)變量關(guān)系的把控。

（四）缺少整體性思維

對(duì)常見的高中三角函數(shù)題目進(jìn)行分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)基本規(guī)律，即各類題目往往融合了多個(gè)知識(shí)，這要求高中生在學(xué)習(xí)和解題過程中要具備基本的整體性思維，先分析題目涉及到的知識(shí)內(nèi)容，再針對(duì)各項(xiàng)知識(shí)分別進(jìn)行思考，尋找切入點(diǎn)。如某一題目涉及到高中知識(shí)的同時(shí)，還涉及到初中勾股定理等內(nèi)容，就要求高中生站在整體的角度上先對(duì)題目進(jìn)行拆分，之后具體進(jìn)行解題。

四、結(jié)束語

綜上所述，三角函數(shù)學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，對(duì)其中的難點(diǎn)知識(shí)和易錯(cuò)題目進(jìn)行分析，可以幫助我們提高警惕，加深認(rèn)識(shí)，牢固掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并在解題過程中采用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ岣呓忸}準(zhǔn)確率。此外，我們應(yīng)逐漸形成轉(zhuǎn)化思維和整體性思維，善于找到三角函數(shù)類型題的突破口，采用簡(jiǎn)潔的方法得出正確答案。endprint