勢(shì)能的正負(fù)取值及零勢(shì)能面選擇問題初探

王匯隆

1彈性勢(shì)能取值和零勢(shì)能面的判定

首先對(duì)彈性勢(shì)能的表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，假設(shè)存在一個(gè)彈簧，k為其勁度系數(shù)，構(gòu)成如圖1所示的彈簧振子。以ax為軸，原點(diǎn)a在ax軸上任取位置，當(dāng)彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)，振子的坐標(biāo)為x1，當(dāng)彈簧發(fā)生某一形變后，振子的坐標(biāo)設(shè)為x，根據(jù)彈性勢(shì)能的計(jì)算公式，可以得到振子位于x時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能Epx與振子位于原點(diǎn)a時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能Epa之差ΔEp，如式（1）所示：

[ΔEp=Epx-Epa=12k（x-x1）2-12kx21=12kx2-kxx1] （1）

以往我們往往將零勢(shì)能面選擇在彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)的位置，這是一種特殊情況，不具有代表性，本文討論零勢(shì)能面為過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)a的面時(shí)彈性勢(shì)能的取值，此時(shí)Epa=0，那么式（1）可以變形為式（2）：

[Epx=12kx2-kxx1] （2）

Epx就是振子處于坐標(biāo)為x時(shí)彈簧具有的彈性勢(shì)能，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)其坐標(biāo)為x1，那么式（2）可以看作彈性勢(shì)能的通用表達(dá)式。當(dāng)x1=0時(shí)，式（2）中Epx等于kx2/2，此時(shí)即為上述的特殊情況。

當(dāng)x1大于0時(shí)，x的取值變化會(huì)使其對(duì)應(yīng)的彈性勢(shì)能發(fā)生改變，首先對(duì)這種情況下的零勢(shì)能面進(jìn)行分析，從圖2中可以明顯看出在x1>0的條件下，會(huì)存在兩個(gè)零勢(shì)能面，一個(gè)為原點(diǎn)a處，另外一個(gè)為x=2x1處；之后對(duì)彈性勢(shì)能的變化情況進(jìn)行討論，當(dāng)02x1時(shí)，彈性勢(shì)能均為正值。

當(dāng)x1小于0時(shí)，如圖3所示，零勢(shì)能面的情況與x1大于0時(shí)相似，為0和2x1兩處；彈性勢(shì)能為正時(shí)x的取值范圍為小于2x1或大于0，彈性勢(shì)能取負(fù)值時(shí)x的范圍為2x1

2重力勢(shì)能取值和零勢(shì)能面的判定

與彈性勢(shì)能相比較，重力勢(shì)能相對(duì)簡(jiǎn)單一些，但重力勢(shì)能的取值更加依賴于零勢(shì)能面的選擇。重力勢(shì)能的計(jì)算公式如式（3）所示：

[Ep=GH] （3）

式（3）中G為物體的重力，H為物體距離零勢(shì)能面的高度，可以看出零勢(shì)能面的選擇直接影響重力勢(shì)能的取值。如圖4所示，一個(gè)質(zhì)量為M的小球位于距離地面A高度為h1的桌面B處，在桌面B上方存在一個(gè)高度為h2的平面C，分別取地面A、桌面B、平面C為零勢(shì)能面，小球的重力勢(shì)能取值不同，結(jié)果見表1：

表1 零勢(shì)能面不同時(shí)物體重力勢(shì)能的取值

[零勢(shì)能面 重力勢(shì)能Ep 地面A Mgh1 桌面B 0 平面C -Mgh2 ]

從表1可以看出零勢(shì)能面選擇不同，重力勢(shì)能的正負(fù)取值也各不相同，當(dāng)取地面A為零勢(shì)能面時(shí)，重力勢(shì)能取正值，當(dāng)取桌面B為零勢(shì)能面時(shí)，重力勢(shì)能為0，當(dāng)取平面C為零勢(shì)能面時(shí)，重力勢(shì)能取負(fù)值。

3結(jié)論

綜上所述，勢(shì)能的一大特點(diǎn)就是具有相對(duì)性，勢(shì)能取值的正負(fù)與零勢(shì)能面的選擇息息相關(guān)，在解題過(guò)程中根據(jù)具體情況選擇合適的零勢(shì)能面作為參考，能夠使解題的速度和正確率得到大幅度的提高。