陳省身“做好的數(shù)學(xué)”思想在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

[摘 要]“做好的數(shù)學(xué)”是著名數(shù)學(xué)大師陳省身思考和研究數(shù)學(xué)的發(fā)端和終端，主要包含 “數(shù)學(xué)好玩”、“易懂難攻”、“定會(huì)有應(yīng)用”和“簡(jiǎn)單而美麗”等重要方面。教師在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“做好的數(shù)學(xué)”的思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)新課堂教學(xué)模式，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)，享受美的數(shù)學(xué)，對(duì)拓寬高職數(shù)學(xué)課程建設(shè)思路、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量有著非常重要的指導(dǎo)作用。

[關(guān)鍵詞]陳省身；好的數(shù)學(xué)；高職數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）10-0088-03

陳省身作為繼黎曼、嘉當(dāng)之后的數(shù)學(xué)大師，對(duì)全人類的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)有目共睹。先生培養(yǎng)了丘成桐、吳文俊等一大批杰出的數(shù)學(xué)人才，其數(shù)學(xué)教育思想非常值得我們研究。

對(duì)于數(shù)學(xué)教育，陳省身最為強(qiáng)調(diào)的是“做好的數(shù)學(xué)”。“做好的數(shù)學(xué)”是先生數(shù)學(xué)教育思想的核心所在。此語(yǔ)出于簡(jiǎn)明而歸于深?yuàn)W，表述有趣而內(nèi)涵豐富，是陳省身研究數(shù)學(xué)、開(kāi)展數(shù)學(xué)教育的發(fā)端和終端，貫穿了陳省身70多年數(shù)學(xué)人生的全過(guò)程。1992年，陳省身在慶祝中國(guó)自然科學(xué)基金會(huì)成立十周年的學(xué)術(shù)討論會(huì)上說(shuō)：“一個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)了解什么是好的數(shù)學(xué)，什么是不好的數(shù)學(xué)或不太好的數(shù)學(xué)。有些數(shù)學(xué)是有開(kāi)創(chuàng)性的，有發(fā)展前途的，這就是好的數(shù)學(xué)。”先生認(rèn)為，“好的數(shù)學(xué)可以不斷深入，有深遠(yuǎn)意義，能夠影響許多學(xué)科。比如說(shuō)，解方程就是好的數(shù)學(xué)，搞數(shù)學(xué)都要解方程。……這一類的數(shù)學(xué)是不斷發(fā)展的，有永恒價(jià)值，所以是好的。”先生多次指出，中國(guó)只有“做好的數(shù)學(xué)”，才能在國(guó)際數(shù)學(xué)界取得“獨(dú)立平等”的地位，才會(huì)有自己的特色，才能成為“數(shù)學(xué)大國(guó)”。陳省身“做好的數(shù)學(xué)”思想，對(duì)拓寬高職數(shù)學(xué)課程建設(shè)思路、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)改革、提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量都有著非常重要的指導(dǎo)作用。

一、“做好的數(shù)學(xué)”思想內(nèi)涵

（一）“數(shù)學(xué)好玩”

先生在晚年的時(shí)候，曾給孩子們題字“數(shù)學(xué)好玩”。好玩應(yīng)該是一種特別的熱愛(ài)。陳省身先生每天都要做數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)，每天他總是輕松地說(shuō)“做得很有意思”。他很少有抱頭苦思的時(shí)候，對(duì)學(xué)問(wèn)有一顆赤子之心。先生特別執(zhí)著于樂(lè)在其中的數(shù)學(xué)，這是他70年來(lái)專注于微分幾何研究的主要?jiǎng)恿Αｊ愂∩碚f(shuō)，如果“把事情看得太嚴(yán)重，太有功利性，就不好玩了”，“好玩就是不怎么要緊”。入之愈深，見(jiàn)之愈奇，研究越深入就越是熱愛(ài)。因此在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生覺(jué)得“數(shù)學(xué)好玩”時(shí)，便會(huì)真正地投入，會(huì)自覺(jué)地選擇數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)和熱愛(ài)數(shù)學(xué)，從而為“做好的數(shù)學(xué)”打下基礎(chǔ)。“數(shù)學(xué)好玩”就是把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)恢復(fù)到最簡(jiǎn)單的狀態(tài)——像玩一樣地學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)真正有興趣，這為數(shù)學(xué)教育指明了方向。

（二）“易懂難攻”

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科，所以，數(shù)學(xué)探究的抽象程度相對(duì)其他學(xué)科更高一些。例如，數(shù)學(xué)模型就是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)的科學(xué)或工程模型，它是一種符號(hào)化和形式化的模型。數(shù)學(xué)的抽象性等特點(diǎn)常常讓一些學(xué)生感到學(xué)習(xí)困難。先生曾引用18世紀(jì)法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）的標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)為“好的數(shù)學(xué)”就是要具有抽象性和思辨性。“好的數(shù)學(xué)”應(yīng)該滿足兩個(gè)條件：第一是“易懂”，這類數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠向任何人講清楚；第二是“難攻”，這類數(shù)學(xué)問(wèn)題一定是相當(dāng)困難的，卻又不是無(wú)法攻克和研究的。“易懂”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題具有普遍性，是很基本的；“難攻”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，說(shuō)明比較深入，不是一眼就可以看穿的。比如費(fèi)爾馬定理要證明“沒(méi)有正整數(shù)解”，題目非常容易懂，能著手工作，但很難證明，那么多數(shù)學(xué)家三百多年后才得以證出。所以，“好的數(shù)學(xué)”易懂難攻，嚇退了許多人，但也有不少人能夠接受挑戰(zhàn)迎難而上，最后成為數(shù)學(xué)大家。

（三）“定會(huì)有應(yīng)用”

“應(yīng)用”是陳省身先生“做好的數(shù)學(xué)”的主旨大意。陳省身多次說(shuō)過(guò)：“我們搞數(shù)學(xué)的人相信，假使數(shù)學(xué)是好的，一定會(huì)有應(yīng)用。”雖然他在研究微分幾何的過(guò)程中從來(lái)都不刻意追求應(yīng)用，但他始終認(rèn)為“好的數(shù)學(xué)”“定會(huì)有應(yīng)用”。他覺(jué)得數(shù)學(xué)得到的結(jié)論是很有效的，這樣的結(jié)論應(yīng)用范圍非常大，在自然科學(xué)的各個(gè)方面都很有應(yīng)用。人們最初，可能用幾個(gè)數(shù)或畫幾個(gè)圖就得到了一些結(jié)論，而由此引起的應(yīng)用和發(fā)展常常超出我們的想象范圍。先生認(rèn)為，應(yīng)用在發(fā)展的過(guò)程中，不僅在數(shù)學(xué)上是最重要，而且在整個(gè)人類文化史上也是非常突出的。如先生的整體微分幾何學(xué)研究的“纖維叢理論”，就是物理學(xué)“規(guī)范場(chǎng)理論”的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這就是一個(gè)很好的范例。再如，20世紀(jì)90年代，物理學(xué)家威騰將陳省身和西蒙斯在1974年提出的幾何不變量用于物理學(xué)研究，最終成為理論物理研究的前沿方向，并成為物理學(xué)界的一個(gè)常用工具。在社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，“好的數(shù)學(xué)”同樣發(fā)揮著關(guān)鍵作用，其應(yīng)用價(jià)值越來(lái)越突出。

（四）“簡(jiǎn)單而美麗”

數(shù)學(xué)的發(fā)展建立于社會(huì)的各種需求，數(shù)學(xué)是理性的抽象思維和想象的結(jié)合，所以就有了數(shù)學(xué)美。“好的數(shù)學(xué)”簡(jiǎn)單而美麗，是一種至美。只有簡(jiǎn)單，才能專一，做學(xué)問(wèn)才會(huì)不過(guò)多分心。陳省身說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一種奇妙有力、不可缺少的科學(xué)工具，能把奧妙變?yōu)槌ＷR(shí)、復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單。簡(jiǎn)單既是思想，也是目的。”其實(shí)人生也一樣，成功者的內(nèi)心必定簡(jiǎn)單，這也是先生常說(shuō)的話。數(shù)學(xué)的美是一種蘊(yùn)涵的美，它需要從深處去挖掘和欣賞。如歐拉給出的公式：v-e+f=2，既簡(jiǎn)單又美麗，而且由這個(gè)公式可以得出很多豐富又深刻的結(jié)論，對(duì)近代數(shù)學(xué)的拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)展起了很大的作用，成為拓?fù)鋵W(xué)與圖論的基本公式。在上下五千年的數(shù)學(xué)史中，數(shù)學(xué)的每一次進(jìn)步都使已有的定理更簡(jiǎn)潔，如微分中值定理等。年輕數(shù)學(xué)大師劉克峰教授在《我們都屬于陳類》文中曾這樣說(shuō)：“陳先生的一句話告訴我們，數(shù)學(xué)就應(yīng)該是簡(jiǎn)單美麗的，就像陳類一樣樸素地抓住問(wèn)題的靈魂。”

二、“做好的數(shù)學(xué)”思想在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

怎樣將“做好的數(shù)學(xué)”思想應(yīng)用到高職數(shù)學(xué)教學(xué)中去？除了需要教師的自身素質(zhì)和教學(xué)基本功外，其實(shí)更需要先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想和方法的有機(jī)結(jié)合。根據(jù)高職學(xué)生的特點(diǎn)，筆者以為可以從以下幾方面進(jìn)行應(yīng)用：endprint

（一）“玩好”數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)習(xí)興趣

要讓學(xué)生覺(jué)得“數(shù)學(xué)好玩”，教師必須把數(shù)學(xué)教學(xué)“玩好”。首先教師要熱愛(ài)數(shù)學(xué)教學(xué)，積極鉆研教學(xué)內(nèi)容，想方設(shè)法讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣，讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)課“好玩”，數(shù)學(xué)課堂“有趣和新奇”。

傳統(tǒng)的高職數(shù)學(xué)教學(xué)，過(guò)于強(qiáng)調(diào)傳授微積分知識(shí)，再加上許多高職院校大幅壓縮高等數(shù)學(xué)課時(shí)，內(nèi)容多與課時(shí)少的矛盾凸顯。這直接導(dǎo)致數(shù)學(xué)教師在有限的課時(shí)內(nèi)只能快速地灌輸式地講授高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本方法，學(xué)生要在這有限的課容量?jī)?nèi)掌握微積分知識(shí)的難度較大。在一些學(xué)生的眼里，數(shù)學(xué)是定理、公式的集合，數(shù)學(xué)課缺乏人情味，數(shù)學(xué)就是做題……這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)親身探究“好的數(shù)學(xué)”的樂(lè)趣。教師可通過(guò)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，體會(huì)數(shù)學(xué)家們“做好的數(shù)學(xué)”的過(guò)程。如“極限的概念”學(xué)習(xí)，可通過(guò)莊子“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”和劉徽的“割圓術(shù)”來(lái)理解極限的概念，也可通過(guò)“阿基里斯追烏龜”的故事讓學(xué)生掌握求數(shù)列極限的方法。這樣，不僅加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法的理解，更呈現(xiàn)了妙趣橫生的課堂教學(xué)效果。

另外，在引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的過(guò)程中，“好”的數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬很重要。教師要把自己置于學(xué)生之中，弄清楚他們的期望，從學(xué)生的角度、以學(xué)生最熟悉的知識(shí)點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，告訴學(xué)生為什么要討論這個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)一些啟發(fā)性和趣味性的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生努力去解決，讓學(xué)生獲得成就感，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，從而主動(dòng)探求知識(shí)，產(chǎn)生一個(gè)良性循環(huán)。

（二）加強(qiáng)探究實(shí)踐，創(chuàng)新課堂模式

好的數(shù)學(xué)“易懂難攻”。對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，學(xué)習(xí)缺乏自信心，即使非常“易懂”的數(shù)學(xué)對(duì)他們來(lái)說(shuō)也是“不易懂”，許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有畏難情緒。所以在教學(xué)中，更應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生不怕困難的數(shù)學(xué)探究精神，幫助學(xué)生堅(jiān)定克服困難的毅力和勇氣。可以嘗試“任務(wù)引領(lǐng)式”的課堂教學(xué)模式。

“任務(wù)引領(lǐng)式”教學(xué)首先要設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)中學(xué)生操作探究實(shí)踐的活動(dòng)方案，也就是讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中參與討論的方案，這是教師備課教案的組成部分。因此活動(dòng)方案的設(shè)計(jì)是關(guān)鍵。這要求教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和掌握知識(shí)的實(shí)際情況來(lái)設(shè)計(jì)好“任務(wù)清單”。教師所設(shè)計(jì)的任務(wù)要能層層遞進(jìn)地激勵(lì)學(xué)生自主參加到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，讓學(xué)生易于思考數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。高職數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂通常都是大班上課，學(xué)生的人數(shù)較多，在人數(shù)較多的情況下分組是不現(xiàn)實(shí)的，比較適宜采用“先分后合，分合有度”的任務(wù)實(shí)施模式。“先分”就是對(duì)于布置的任務(wù)先要求學(xué)生分別獨(dú)立思考和解決，“后合”是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到的困難可以同桌或前后桌一起商量，就近討論，相互查漏補(bǔ)缺、取長(zhǎng)補(bǔ)短。另外，教師可以采用搶答、書面抽查、補(bǔ)充解答等多種形式，對(duì)學(xué)生問(wèn)題的解決方法進(jìn)行各種交流。對(duì)于主動(dòng)展示、思維有創(chuàng)新、積極補(bǔ)充解答的學(xué)生在評(píng)分時(shí)給予傾斜。

（三）增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)

生活處處有數(shù)學(xué)，好的數(shù)學(xué)是一定會(huì)有應(yīng)用的。高職數(shù)學(xué)教學(xué)更需要應(yīng)用。我們要多用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)生活，把課堂上的數(shù)學(xué)知識(shí)延伸到實(shí)際生活中去，在教學(xué)中以實(shí)際問(wèn)題為案例，結(jié)合專業(yè)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

在教材的每章、每節(jié)或每個(gè)新內(nèi)容的開(kāi)頭或結(jié)尾，我們可以利用教材內(nèi)在的應(yīng)用素材，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)、生產(chǎn)生活實(shí)際設(shè)計(jì)一些實(shí)際問(wèn)題為案例，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的情境。例如， 學(xué)習(xí)“無(wú)窮小的概念”時(shí)教師可以在黑板上隨手畫一只大熊貓，請(qǐng)學(xué)生求它的面積；學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)的概念”時(shí)可以結(jié)合圖片提問(wèn)“如何求劉翔110米跨欄某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度”；學(xué)習(xí)完“曲率”后，可以請(qǐng)學(xué)生思考：鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時(shí)，若接頭處的曲率突然改變，容易發(fā)生事故，為了行駛平穩(wěn)，往往在直道和彎道之間接入一段緩沖段，使曲率連續(xù)地由零過(guò)渡到1 / R（R為圓弧軌道的半徑），通常用三次拋物線y=（1 / 6RL）x3，x？綴[0，x0]作為緩沖段OA，其中L為OA的長(zhǎng)度，請(qǐng)驗(yàn)證“緩沖段OA在始端O的曲率為零，并且當(dāng)L / R很小時(shí)，在終端A的曲率近似為1 / R”。

另外，如交通路徑、彩票抽獎(jiǎng)、水電費(fèi)、貸款、通訊費(fèi)、人口增長(zhǎng)、細(xì)胞分裂、利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，都是日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生注意數(shù)學(xué)應(yīng)用的事例，開(kāi)闊視野。在解決實(shí)際問(wèn)題中，學(xué)生能夠深切地感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）融入審美教育，享受美的數(shù)學(xué)

開(kāi)普勒說(shuō)“數(shù)學(xué)是這個(gè)世界之美的原型”，維納說(shuō)“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。數(shù)學(xué)教育離不開(kāi)美學(xué)教育，數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單美是激發(fā)學(xué)生求知欲和內(nèi)驅(qū)力的重要源泉。好的數(shù)學(xué)一定“簡(jiǎn)單美麗”。數(shù)學(xué)美的追求促進(jìn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展。楊振寧教授在1975年讀懂“陳省身-韋伊定理”時(shí)，便有了一次難忘的審美經(jīng)歷，他忽然間領(lǐng)悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹用優(yōu)美這一價(jià)值觀念發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)觀念竟然能完全吻合，令人感到意外。楊振寧當(dāng)時(shí)感到“真的有觸電的感覺(jué)”，而且“還有更深的，更觸及心靈深處的地方”。

只有讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，才能讓學(xué)生真正愛(ài)上數(shù)學(xué)。如果在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，能讓學(xué)生有美妙的數(shù)學(xué)審美經(jīng)歷，不僅能激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，而且對(duì)于提高學(xué)生類比、聯(lián)想、想象等特殊思維能力和創(chuàng)造力都能起到十分重要的作用。教師在教學(xué)中要滲透數(shù)學(xué)美的教學(xué)。比如微積分中遇到的很多常用曲線，不僅形式美，而且很多都有一段歷史傳奇、神奇應(yīng)用和奇特背景。再比如，在學(xué)習(xí)定積分的應(yīng)用時(shí)，由雙曲線y=1 / x在x≥1部分繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面Gabriel喇叭，可以證明這個(gè)喇叭所圍成的體積是有限的，但它的表面積卻是無(wú)限的。也就是說(shuō)，這個(gè)喇叭可以用有限的涂料把它填滿，但再多的涂料卻無(wú)法將它的表面涂滿，因?yàn)樗谋砻娣e是無(wú)限的，這就是數(shù)學(xué)的奇異美。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性，傳統(tǒng)教育又往往使數(shù)學(xué)與生活實(shí)際相脫離。陳省身“做好的數(shù)學(xué)”思想具有導(dǎo)向性、開(kāi)放性和前瞻性的特征，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的借鑒意義和深遠(yuǎn)影響。從“數(shù)學(xué)好玩”開(kāi)始，做好的數(shù)學(xué)，高職數(shù)學(xué)教學(xué)一定會(huì)變得“好玩”。先生認(rèn)為，“一個(gè)人一生中的時(shí)間是一個(gè)常數(shù)，應(yīng)該集中精力做好一件事”；教師教數(shù)學(xué)“不能只教學(xué)生簡(jiǎn)單地記住一堆事實(shí)，或掌握一套技巧，而需要開(kāi)發(fā)與學(xué)科有關(guān)的東西”；“只要有了人，有研究的精神，在哪里都能做事情”。讓我們牢記先生的教誨，“做好的數(shù)學(xué)”，把高職數(shù)學(xué)教得更好。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 張奠宙，王善平.陳省身傳[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，2004.

[2] 金惠紅.陳省身“做好的數(shù)學(xué)”觀探微[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（1）.

[3] 金惠紅.陳省身數(shù)學(xué)教育思想對(duì)數(shù)學(xué)文化發(fā)展的影響維度分析[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（4）.

[4] 陳業(yè)勤，譚靜，劉嘉.高職數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的融入探索與實(shí)踐[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（9）.

[5] 邵紅能.微分幾何的“一代宗師”陳省身[J].文史春秋，2014（6）.

[6] 沈波.高職院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀及改革初探[J].教育教學(xué)論壇，2016（7）.

[責(zé)任編輯：劉鳳華]endprint