求數(shù)列通項(xiàng)公式方法的研究

王旭輝

1數(shù)列通項(xiàng)公式的概念

所謂的數(shù)列通項(xiàng)公式，就是指數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系公式，其類似于函數(shù)問(wèn)題中的解析式，通過(guò)通項(xiàng)公式，便可迅速求得任意一項(xiàng)的具體數(shù)值或者前n項(xiàng)的總和等，由此可見(jiàn)，求通項(xiàng)公式是解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵所在，因此，只有切實(shí)掌握各種數(shù)列通項(xiàng)公式方法，才能有效解決各類數(shù)列問(wèn)題。

2數(shù)列通項(xiàng)公式的方法

2.1觀察法

觀察法指的是從橫向和縱向兩個(gè)角度來(lái)觀察目標(biāo)數(shù)列的特征，橫向角度觀察各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向角度觀察各項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系，其后將觀察所得的橫縱向規(guī)律進(jìn)行整合，以此來(lái)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，總的來(lái)說(shuō)就是對(duì)數(shù)列規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，一般適用于選擇或填空題型，流程可概括為觀察→概況→得出結(jié)論。

例如 已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)依次為11、102、1003以及10004，求an的值。

解：通過(guò)觀察可得：11=1+10，102=2+102，1003=3+103，10004=4+104，

由此可得an=n+10n。

2.2公式法

在數(shù)列教學(xué)中，等差數(shù)列和等比數(shù)列是最為常見(jiàn)的兩種數(shù)列形式，因而其也是解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵突破點(diǎn)，因此，學(xué)生必須牢牢掌握這兩種數(shù)列的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)以及兩種數(shù)列形式之間的關(guān)系。通過(guò)將等差數(shù)列概念中的減號(hào)更改為除號(hào)，將通項(xiàng)公式中的加號(hào)更換為乘號(hào)，倍乘更換為乘方，便可得出等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，而這也使得我們可以進(jìn)行兩種數(shù)列形式性質(zhì)的類比應(yīng)用。

2.3歸納法

應(yīng)用歸納法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式一般分為三個(gè)步驟，依次是：第一，按照次序羅列出數(shù)列前面的幾項(xiàng)；第二，對(duì)數(shù)列前面幾項(xiàng)的結(jié)構(gòu)規(guī)律進(jìn)行分析，并對(duì)該數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行初步猜想；第三，運(yùn)用歸納法對(duì)猜想進(jìn)行證明。該種方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于第二個(gè)步驟，即通過(guò)觀察和分析數(shù)列前幾項(xiàng)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，進(jìn)而歸納出整個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，因此，羅列出來(lái)的觀察數(shù)列項(xiàng)不宜過(guò)少，否則難以進(jìn)行通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)猜想。

例如 已知在數(shù)列{an}中，假設(shè)a1=1，an+1=[anan+1]（n∈N），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：依次設(shè)n=1，2，3，

由此可得a2=a1/a1+1=1/1+1=1/2，

a3=a2/a2+1=1/2/1/2+1=1/3，

a4=a3/a3+1=1/3/1/3+1=1/4。

又∵a1=1=1/1

∴猜想可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1/n（n∈N）。

（證明步驟略）

2.4待定系數(shù)法

該種通項(xiàng)公式方法一般適用于求解題型為an+1=pan+q（p，q均為常數(shù)）的遞推數(shù)列，即可先假設(shè)an+1-t=p（an-t），其后再設(shè)法求出參數(shù)t的值。

例如 已知在數(shù)列{an}中，an=2an-1+1（n≥2），其中a1=1，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)（an+x）=2（an-1+x），

由此可得an+1=2（an-1+1），

∴{an+1}為數(shù)列首項(xiàng)為a1+1=2，公比為2的等比數(shù)列，即an+1=2n，

∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1。

3結(jié)論

總而言之，通過(guò)考查數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，既可有效了解學(xué)生對(duì)于數(shù)列知識(shí)的理解程度，又能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生邏輯能力和變通思維的提高。因此，通過(guò)研究數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，歸納總結(jié)其中的內(nèi)在規(guī)律，能有效加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)列問(wèn)題的解決能力，進(jìn)而提升學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力。endprint