淺議導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系

唐浩然

1引言

眾所周知，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，獲得的導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的眾多特性，例如在某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減，在自變量取值范圍內(nèi)函數(shù)的最大值或最小值，還有函數(shù)的極值以及凹凸性等。在進(jìn)行不等式證明時(shí)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，在對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的上述性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不等式的證明。本文對(duì)導(dǎo)數(shù)與不等式之間的關(guān)系進(jìn)行了論述，分別采用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法，論證了這兩種方法在不等式證明中的應(yīng)用，為不等式證明提供了一種簡(jiǎn)便的解題方法。

2函數(shù)單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)判別法與不等式證明的關(guān)系

函數(shù)的單調(diào)性反映出某一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的增減情況，而函數(shù)的單調(diào)性可以通過(guò)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判別，當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)大于零時(shí)，說(shuō)明函數(shù)在這一區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減。如果要證明不等式，可以從構(gòu)造函數(shù)的角度入手，對(duì)這個(gè)構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來(lái)證明不等式成立。也就是說(shuō)，不等式成立與否可以看作比大小的問(wèn)題，這種大小的比較可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在某一范圍內(nèi)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體步驟為首先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，即根據(jù)不等式的情況構(gòu)造合適的函數(shù)，之后對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，判斷在某一取值范圍內(nèi)的單調(diào)性。

以實(shí)例說(shuō)明導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性在不等式證明的應(yīng)用。即證明x在（0，+∞）范圍內(nèi)不等式-x-x2/2+ln（1+x）<0成立。首先構(gòu)造如式（1）所示的函數(shù)：

[fx=-x-x22+ln （1+x）] （1）

對(duì)式（1）求導(dǎo)得到式（2）所示的導(dǎo)數(shù)：

[fx=-1-x+1x+1] （2）

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，說(shuō)明式（1）所示的函數(shù)f（x）在（0，+∞）范圍內(nèi)單調(diào)遞減，也就是說(shuō)在（0，+∞）范圍內(nèi)f（x）都小于f（0），將0帶入式（1），可以得到f（0）=0，那么f（x）

3函數(shù)最值的導(dǎo)數(shù)判別法與不等式證明的關(guān)系

有些不等式的證明涉及到恒成立問(wèn)題，即不等式恒小于一個(gè)值或恒大于一個(gè)值。同樣，這類問(wèn)題也可以將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行求解證明。要證明不等式恒大于（小于）某一個(gè)值，可以將不等式左側(cè)轉(zhuǎn)化為一個(gè)特定的函數(shù)，只要求出這個(gè)函數(shù)的最值，且最值永遠(yuǎn)小于或大于不等式右側(cè)的值即可證明不等式恒成立。求解函數(shù)的最值可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行，求出導(dǎo)數(shù)的的最值在進(jìn)行函數(shù)最值的求解。在證明不等式恒成立時(shí)需要注意變量取值區(qū)間的端點(diǎn)成立與否，這是進(jìn)行大小比較的先決條件。

以具體實(shí)例說(shuō)明：定義變量x的范圍為[-π/2，π/2]，在這個(gè)范圍內(nèi)任取兩個(gè)值x1和x2，現(xiàn)要證明如式（3）所示的不等式一定成立：

[fx1-f（x2）<π] （3）

式（3）中x1和x2滿足式（4）所示的函數(shù)關(guān)系：

[fx=sin2x-x] （4）

將式（4）所示的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如式（5）所示：

[f'x=2cos2x-1] （5）

式（4）所示的函數(shù)在[-π/2，π/2]內(nèi)連續(xù)，如果f（x）=0，那么x在這個(gè)范圍內(nèi)有兩個(gè)取值，分別為π/6和-π/6，帶入式4，當(dāng)x=π/6時(shí)f（π/6）=[32-π6]，當(dāng)x=-π/6時(shí)f（-π/6）=[32+π6]，由于π/6和-π/6位于[-π/2，π/2]區(qū)間內(nèi)，且x等于-π/2和π/2時(shí)f（x）分別等于π/2和-π/2，而f（x）在[-π/2，π/2]范圍內(nèi)的最大值和最小值分別為π/2和-π/2。因此任取x1和x2都存在如式（6）所示的關(guān)系：

[fx1-f（x2）<π2-（-π2）] （6）

可以看出式（3）所示的不等式恒成立。

從上述分析可以看出這種證明不等式恒大于或恒小于某一個(gè)值的問(wèn)題完全可以轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值或最大值的問(wèn)題。在證明過(guò)程中將不等式轉(zhuǎn)化為合適的函數(shù)以及選取合適的臨界范圍是這種問(wèn)題的重要步驟。

4結(jié)論

綜上所述，不等式是否成立可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明。將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值等特性，不僅可以完美的完成不等式的證明，還能夠使得證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了。