淺析三角函數最值問題常見解題方法

周心怡

1利用有界性求解三角函數最值問題

這類題型可以總結為形式為y=asinx+bcosx的三角函數。

解題思路：首先將上述函數轉化為如下形式：

[y=a2+b2sin（x+φ）]

其中，tanφ=b/a

轉化為一個三角函數厚，利用有界性進行求解，具體例題如下。

例 已知自變量x的取值范圍為-π≤x≤π，求y=[3]sinx+3cosx的最大值和最小值。

解：將y=[3]sinx+c3osx進行變形，可得y=2[3]sin（x+π/3），根據已知的-π≤x≤π，所以轉化后，[-23π]≤x+π/3≤[43π]。根據三角函數特性，可知：

當sin（x+π/3）=-1，則有x+π/3=-π/2，計算可得x=-5π/6，此時三角函數有最小值[ymin=-23]；

當sin（x+π3）=1，則有x+π3=π/2，計算可得x=π/6時，此時三角函數有最大值[ymax=23]。

2利用降次法求解三角函數最值問題

這類型函數的形式為：

y=[asin2x]+bsinxcosx+c[cos2x]

針對這類型問題，可以先降次、整理，轉化為y=asinx+bcosx形式來求解最值。

例 自變量x的取值范圍為-π/2≤x≤π/2，求y=[2sin2x]+4sinxcosx+6[cos2x]的最小值和最大值。

解：先進性降次和整理：

y=[2sin2x]+4sinxcosx+6[cos2x]=[22sin（2x+π/4）]+4

根據已知的-π/2≤x≤π/2，所以轉化后，[-34π]≤2x+π/4≤[54π]。可知，取值范圍包括整個象限。

由三角函數的特性可知，當sin（2x+π4）=-1時，[ymin=-22]+4，sin（2x+π4）=1時，[ymax=22]+4。

3利用轉換法求解三角函數最值問題

這類型題目中函數的額典型形式為

[y=asin2x+bsinx+c（a≠0）]

針對這種函數，采用的解題策略是將函數化解為其他函數，結合有界性-1≤sinx≤1和-1≤cosx≤1，與其他函數特性來求解。最值一定存在于極值點或者封閉區間的端點。

例 求解函數y=[-8cos2x]-8sinx+12的最值。

解：

y=[-8cos2x]-8sinx+12=-8（1-[sin2x]）-8sinx+12=2[（2sinx-1）2]+2

因此：

sinx=1/2時，[ymin=2]；sinx=-1時，[ymax=20]。

4利用換元法求解三角函數最值問題

如果題目中只含有sinx±cosx，sinxcosx，求解這類題目的方法是換元法，具體例題如下。

例 求函數y=2sinxcosx+2sinx+2cosx的最大值。

解：令m=sinx+cosx，則有三角函數性質可知，[-2]≤m≤[2]，則

sinxcosx=[m2-12]

經過化解，可得：

y=[m2]+2m-1

m=[2]時，函數取最大值，此時[ymax]=[22]+1。

在求解這類問題時，要注意題目中是否有限制條件，根據限制條件的不同換元法也會受到限制，所以需要挖掘其中的隱含條件。

5利用不等式法求解三角函數最值問題

針對特殊的題型，可以采用均值不等式的方法來求解最值。均值不等式如：[a+b≥2ab]。

例 已知自變量范圍0

解：y=4（1-sinx）（1-cos2x）=8[sin2x]（1-sinx）=8×4×1/2sinx×1/2sinx（1-sinx）≤32[（12sinx+12sinx+（1-sinx）3）3]

所以，[ymax]=32/27。

6總結

在解題過程中，要靈活三角函數的知識與其他函數相結合。面對這些結合類型題，要有清晰的解題策略，掌握好三角函數有界性、二次函數特性等隱含條件，敏銳發現題中所隱藏的信息，還要熟練掌握三角函數降次、整理、換元的方法，這是基本功，應該非常熟練。最后，還要掌握換元法，以便對難題進行轉換求解，這樣才能充分掌握三角函數最值求解的解題策略和解題技巧。