孤子局域共振激發的一種物理模型

王少華，劉昊華，沈月龍

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孤子局域共振激發的一種物理模型

王少華1，劉昊華1，沈月龍2

(1. 南京大學聲學研究所，江蘇南京210093；2．中國海洋大學信息科學與工程學院，山東青島266100)

作為非線性領域的重要內容，孤子自從被發現以來就得到了廣泛的關注。雖然目前關于孤子的傳播及其相互作用性質等方面的研究已經相當成熟，但是對于孤子的產生問題仍然沒有系統的認識。孤子產生問題的深入研究，不僅對于理解自然界及物理系統中的非線性現象十分重要，對孤子現象的工程應用也極為重要。基于這些原因，一些孤子激發方法的研究不斷被提出。在非線性陣列帶隙中的能量超透射現象激發孤子理論的基礎上，局域共振孤子激發的方法被提出。該方法通過在半無限長-FPU鏈中加入缺陷來引入局域共振機制，不僅有效降低了孤子激發的臨界驅動振幅，還實現了孤子激發的可控操作。然而，雖然理論分析與數值模擬都證明了這一方法的可行性，但關于該方法的相關實驗驗證還是空白。為了進一步將該方法推向實際實驗，提出了一種簡易可行的實驗方案，并做了深入的理論分析與大量的數值模擬。該方案給出一種物理模型，該模型以線性彈簧為基本元件，利用結構的幾何非線性來構建-FPU鏈，并以耦合擺陣列來實現。通過大量數值模擬證明了該方法的可行，同時研究了孤子釋放周期與驅動頻率、振幅的關系，結果與前述理論一致。此外，還通過數值模擬研究了孤子的激發周期與缺陷處阻尼大小的關系，以及單元質量不均勻性對孤子激發與傳播的影響，為進一步實驗提供依據。

孤子；-FPU鏈；局域共振；耦合擺

0 引言

隨著孤子問題研究的不斷深入，人們對孤子的存在、傳播以及相互作用特性等問題已經有了充分的認識[1-3]。孤子是自然界中常見的非線性現象，并且可以用來解釋諸如神經信號的傳遞等生命科學的相關問題[4]。然而，要深入理解孤子相關現象，實現孤子的實際應用，就要進一步研究孤子產生的機理和激發的方法。雖然在可積系統里，給定合適的初始條件便可得到孤子，但是現實的物理系統往往是不可積的，而且很難精確地給出合適的初始條件來控制孤子的激發，因而尋找實驗上可行的有效激發孤子的方法很有必要。

一些孤子激發的新方法不斷被提出，其中Leon[5-6]等人提出在邊界處施加驅動來激發孤子的方法，使孤子激發的可操作性大大增強。這種方法的內在機制是邊界驅動激發的漸消波(evanescent wave)在驅動幅度超過某一臨界值時會產生鞍結分岔，激發孤子[7]。在這種方法的基礎上，Yu[8]等人提出局域共振的方法實現孤子的可控激發。

根據文獻[8]的理論，在半無限的-FPU鏈一端引入缺陷，并給予頻率靠近其通帶頻率下限的簡諧位移驅動，當驅動頻率接近局域模本征頻率時，缺陷處發生局域模共振，局限于缺陷處的能量不斷累積，最終穿透禁帶，以孤子的形式釋放出去。能量累積的速率與驅動條件相關，因而可通過改變驅動振幅與頻率調節孤子釋放周期。該方法不僅驅動參數明確簡潔，易于調控，使得孤子的激發更具可控性，而且具有所需驅動幅度低、能量轉化效率高等優點。局域共振激發孤子的方法與光波導陣列[9]和非線性傳輸線系統[10-11]中的邊界局域激發方式有著很大的相似性，其研究意義不僅僅局限于FPU鏈系統。

鑒于該方法的優勢，我們提出一種實驗上簡易可行的物理模型來實現-FPU彈簧鏈中局域共振激發孤子。該模型以線性彈簧為基本元件，利用結構的幾何非線性來構建-FPU鏈，并通過耦合擺陣列來實現。

1 物理模型

1.1 非線性彈簧鏈

-FPU彈簧鏈中質點運動方程如式(1)所示[8]：

圖1 非線性彈簧鏈示意圖(橫軸為彈簧鏈初始位置，縱軸為質點振動方向)

小振幅近似下該結構等效于-FPU鏈。

1.2 非線性彈簧鏈耦合單擺

上述模型要求質點振動約束在橫向振動方向上，同時不引入過大摩擦，考慮小幅振動下的耦合擺結構來實現這一模型。非線性耦合擺系統中孤子實驗已經有很多[12-16]，然而大多數模型在考慮單元間耦合力的同時不能忽略重力作用，其運動方程與式(1)有很大不同，并不能直接用來實現包絡孤子局域共振激發。將討論的結構與其有顯著區別：(1) 彈簧中引入了預伸長，從而使得彈力中出現位移的一次項成分；(2) 本文所述模型考慮擺的小幅度振動，擺桿末端近似于局限在水平面內運動，重力影響十分微弱；(3) 彈簧彈性系數較大，彈性力起主要作用。模型結構如圖2所示。

圖2 模型結構示意圖

圖2中，一系列單擺以軸承懸于同一水平桿上，其末端由勁度系數為的彈簧耦合起來。每個單擺由長為的擺桿和半徑為的質量塊構成。單元間隔，其中0是彈簧的自由長度，1是彈簧在平衡位置的預伸長。圖中第一個單擺受到外界驅動，第二個單擺(即圖中質點0所標注單擺)處引入質量缺陷，即其質量塊質量與其他各處不同。受力分析得第根擺桿的動動方程為

從而式(5)可近似為式(6)，與前述式(1) 的形式相同。

1.3 實驗影響因素的分析

上述模型中并未考慮實際實驗中現實因素的影響，這些影響可能會對實驗結果產生影響，有必要對其進行分析。

擺桿在擺動過程中，重心會在豎直方向上發生變動，其重力力矩顯然不恒為零，因而會對運動方程造成影響，有必要對其進行分析。根據力矩定義可得，第根擺桿的重力力矩為

系統中各種阻尼是必須要考慮的因素。該系統中，空氣阻力與軸承的摩擦力是阻尼的主要來源。忽略擺桿末端質點形狀的影響，第根擺桿受到的空氣阻力力矩[17]為

為了分析以上各量對系統運動方程的影響，將重力力矩、空氣阻力力矩與軸承摩擦力矩分別與式(6)中彈性力力矩進行量級比較。為此，在前面假設的基礎上，考慮實驗現實，先給出系統中各參數的取值如表1所示。

表1 模型結構參數

除了上述因素，影響系統實驗結果的因素還有很多，諸如擺桿非絕對剛性，系統單元質量以及擺桿長度的不均勻性等，經過另外的分析，我們確定了這些因素可以控制在合理范圍內。

2 數值計算結果

2.1 無量綱化

為簡化運動方程形式，同時方便下文數值模擬結果與文獻[8]的結果進行對比，利用式(14)

對式(10)做變量代換得：

其中，為非缺陷處的單擺等效質量，為各單元質量相對于歸一化后的等效質量。根據局域共振理論，=0處為質量小于普通質點的質量缺陷，因而滿足關系：

其中，=-1處為位移驅動，顯然邊界處(即=0處)質點運動方程與其他各處不同。令表示邊界位移驅動引起的擺桿擺動角度，則小振幅驅動()時驅動處擺桿末端近似有，即位移驅動可表示為

缺陷處質點的運動方程，即邊界運動方程如式(20)所示(這里是直接引用式(15)在缺陷處的情形，即下標取作0時的情形)：

其中，μ為缺陷處的阻尼系數。

2.2 孤子的激發與傳播

式(15)與式(20)分別為彈簧鏈中擺桿及邊界處擺桿的運動方程，將表1中各參數分別代入兩式，采用變步長的四階Runge-Kutta法進行數值模擬。模擬中取單元個數為130個，并在末端30個單元加入適當阻尼來衰減反射波。

圖3給出了孤子激發的空間及時間波形圖。所有圖形均是在缺陷質量=0.7、驅動幅值-1=0.35、以及Δ=0.08的條件下得到的。圖3(a)中三幅圖分別為三個不同時刻前100個質點的位移分布。圖中紅色點表示缺陷質點(=0)，黑色點表示普通質點(≠0)，藍色點表示位移驅動(=-1)。圖3(b)則是=15處的質點位移隨時間的變化圖。由圖中可看出，孤子能夠在彈簧鏈中穩定傳播，孤子振幅遠大于驅動振幅，且釋放周期基本穩定，這些均與文獻中的結論一致。

(a) 不同時刻前100個單元的位移分布圖

(b)=15處的時間波形圖

圖3 孤子空間與時間波形圖

Fig.3 Waveform of solitons in space and time domains

2.3 孤子激發的臨界驅動強度

圖4給出了不同驅動頻率下孤子激發的臨界驅動強度(圖4(b))，與文獻[10]中所述的理想-FPU鏈模型(圖4(a))對比。本文所述模型的臨界驅動強度以?表示，而文獻[10]所述模型的臨界驅動強度以表示。各圖中四條曲線分別表示缺陷質量=0.7、0.75、0.8、1.0時的臨界驅動強度隨驅動頻率變化的趨勢。當=0.7、0.75、0.8時，由式(14)得局域模本征頻率分別為=1.004 6、1.0、1.005 6，由圖可知，兩圖中這三條曲線中臨界驅動強度均隨著驅動頻率偏離局域模本征頻率逐漸增大，基本成線性遞增趨勢；兩圖中=1時的臨界驅動強度均明顯大于其他三種情形，其曲線變化趨勢與其余曲線稍有不同，反映出有無缺陷時孤子激發機制有所不同。然而，仔細比較圖4(a)與圖4(b)可發現，相同頻率下，圖4(b)中臨界驅動強度大都小于圖4(a)，即耦合擺模型的臨界驅動強度小于理想-FPU鏈模型的值。

(a)-FPU鏈模型中臨界驅動強度隨驅動頻率變化

(b) 耦合擺模型中臨界驅動強度隨驅動頻率變化

圖4-FPU鏈模型與耦合擺模型中臨界驅動強度隨驅動頻率變化

Fig.4 Change of driving intensity threshold with driving frequency var-iation in-FPU chain model and coupling pendulums model

2.4 孤子釋放周期的調控

孤子釋放周期受到驅動強度、驅動頻率的調制，并與缺陷處阻尼大小相關。驅動強度對孤子釋放周期的調制在文獻[10]中已經做過研究，本文在新模型中重復該結論以證明新模型的合理性。缺陷處阻尼對于孤子的激發有重要的影響，文獻[10]中并未給出缺陷處阻尼對孤子釋放周期的影響，本文旨在提出一種實驗中可行的物理模型，因而對阻尼的作用作出更進一步的分析，從而為進一步的實驗設計提供依據。

(a) 孤子平均激發周期隨驅動強度-1變化

(b) 孤子平均激發周期隨缺陷處阻尼系數μ變化

圖5 孤子平均激發周期隨驅動強度-1與缺陷處阻尼系數μ變化

Fig.5 Average emission periodversus driving intensity-1and damping coefficient of the impurity

3 結論

本文提出一種實驗上實現孤子局域共振激發的簡易可行的物理模型，并進行了理論分析和大量的數值模擬。理論分析與數值模擬證明，該方案在實驗上實現局域共振激發孤子是切實可行的。然而，該模型與理想的-FPU鏈還有一些差異：(1) 該結構激發孤子需要的臨界驅動幅值相較理想的-FPU鏈略低；(2) 同樣驅動條件下，該結構釋放孤子的周期更短。

數值模擬表明，隨著缺陷處阻尼系數增大，孤子的幅度與寬度均減小，孤子的平均激發周期減小。這為該模型在實驗上實現-FPU鏈孤子局域共振激發提供了理論依據。關于進一步的實驗研究，我們會在以后的工作中給出。

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A new physical model for the localized resonant emission of solitons

WANG Shao-hua1, LIU Hao-hua1, SHEN Yue-long2

(1. Key Laboratory of Modern Acoustic, Nanjing University, Nanjing 210093, Jiangsu, China;2. Information Science and Engineering College, Ocean University of China, Qingdao 266100, Shandong, China)

As one of the major field of nonlinear science, solitons have gotten lots of attention academically since they are discovered. However, although theories on their properties have been sufficient and mature, study on creation of solitons is still incomplete. Thorough research on creation of solitons is not only fundamental to understanding solitonic phenomena occurring in nature and physical systems, but also important to engineering applications of solitons. For those reasons, plenty of researches on approaches to solitons emission have been proposed continually. For an improvement upon the methods based on the energy supra-transmission in band gaps of nonlinear lattices, the so-called resonant emission method is proposed. According to this method, mechanism of local resonation is applied by introducing impurity in a semi-infinite-FPU chain. By doing this, the new methodnot only reduces drive amplitude that is needed to induce soliton emission dramatically, but also make solitons emission manageable. Althoughtheoretical analysis and numerical calculation have proved the method’s feasibility, experimental verification is not proposed. To push the theory further forward to experiment, we proved a feasible experimental scheme with simple physical model, and operated thorough theoretical analysis and numerical investigation.The new model is consist of simple linear springs, and realizes the β-FPU chain by designing the geometrical nonlinearity of the structure intelligently. The numerical investigations in our work have not only confirmed the feasibility of the scheme, but also have studied the special relationship between the duration of soliton emission and the driving amplitude and frequency. The results are consistent with the conclusion from the fore-mentioned paper. In addition, to provide reference for further experiments, we studied the special relationship between the duration of solitonemission and the damping on impurity union, as well as the influence of unions’ inhomogeneity on the emission and propagation of solitons.

soliton;-FPU chain; localized resonant; coupling pendulum

O322

A

1000-3630(2017)-03-0197-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.03.001

2016-10-18;

2017-02-02

國家自然科學基金資助項目(11174140)、國家973項目(2013CB632904)

王少華(1988－), 男, 河南三門峽人, 碩士研究生, 研究方向為非線性周期結構中的孤子。

王少華, E-mail: shitoucheng_w@sina.com